高考数学第一轮总复习 5.3 等比数列及其前n项和课件 文 新人教A版.ppt

第三节等比数列及其前n项和 知识梳理 1 等比数列及其相关概念 前面一项 同一个常数 常数 g2 ab 2 等比数列的通项公式若等比数列 an 的首项是a1 公比是q 则其通项公式为 3 等比数列的前n项和公式 1 当公比q 1时 sn 2 当公比q 1时 sn an a1qn 1 n n na1 4 等比数列的常见性质 1 项的性质 an amqn m am kam k am2 m k m k n a 若m n p q 2k m n p q k n 则am an ak2 b 若数列 an bn 项数相同 是等比数列 则 an an an2 an bn 0 仍然是等比数列 ap aq c 在等比数列 an 中 等距离取出若干项也构成一个等比数列 即an an k an 2k an 3k 为等比数列 公比为qk 2 和的性质 sm n sn qnsm 若等比数列 an 共2k k n 项 则 q 公比不为 1的等比数列 an 的前n项和为sn 则sn s2n sn 仍成等比数列 其公比为qn 当公比为 1时 sn s2n sn 不一定构成等比数列 s3n s2n s3n s2n 3 等比数列 an 的单调性 满足 an 是 数列 满足 an 是 数列 当时 an 为 数列 当q 0时 an 为摆动数列 递增 递减 常 4 其他性质 an 为等比数列 若a1 a2 an tn 则tn 成等比数列 当数列 an 是各项都为正数的等比数列时 数列 lgan 是公差为lgq的等差数列 考点自测 1 思考 给出下列命题 满足an 1 qan n n q为常数 的数列 an 为等比数列 g为a b的等比中项 g2 ab 如果 an 为等比数列 bn a2n 1 a2n 则数列 bn 也是等比数列 如果数列 an 为等比数列 则数列 lnan 是等差数列 其中错误的命题是 a b c d 解析 选d 错误 q 0时 an 不是等比数列 错误 g为a b的等比中项 g2 ab 反之不真 如a 0 b 0 g 0 错误 如数列1 1 1 1 错误 数列 an 中可能有小于零的项 2 已知数列 an 是各项均为正数的等比数列 若a2 2 2a3 a4 16 则an等于 a 2n 2b 23 nc 2n 1d 2n 解析 选c 设该等比数列的公比为q 则a3 2q a4 2q2 由此得4q 2q2 16 即q2 2q 8 0 解得q 2或者q 4 舍去 所以an a2qn 2 2n 1 3 2014 吉首模拟 在等比数列 an 中 前n项和为sn 若s3 7 s6 63 则公比q的值是 a 2b 2c 3d 3 解析 选a 易得q 1 由题意得两式相除得1 q3 9 所以q 2 4 设等比数列 an 的前n项和为sn 若 解析 选b 设数列 an 的公比为q 则 1 q3 3 q3 2 于是 5 设 an 是由正数组成的等比数列 a1 a9是方程x2 8x 12 0的两根 则a4a5a6 解析 因为a52 a1 a9 12 an 0 所以a5 所以a4a5a6 a53 答案 6 若数列 an 满足 a1 1 an 1 an n n 其前n项和为sn 则 解析 由a1 1 an 1 an知 an 是首项为1 公比为的等比数列 所以s4 又a4 a1q3 故 15 答案 15 考点1等比数列的基本运算 典例1 1 2013 江西高考 等比数列x 3x 3 6x 6 的第四项等于 a 24b 0c 12d 24 2 2013 新课标全国卷 等比数列 an 的前n项和为sn 已知s3 a2 10a1 a5 9 则a1 解题视点 1 先根据等比中项的性质求出x的值 再利用通项公式求第四项 2 利用s3 a1 a2 a3 根据通项公式求出q2 再解方程求得a1 规范解答 1 选a 因为等比数列的前三项为x 3x 3 6x 6 所以 3x 3 2 x 6x 6 即x2 4x 3 0 解得x 1或x 3 当x 1时 3x 3 0不合题意 舍去 故x 3 此时等比数列的前三项为 3 6 12 所以等比数列的首项为 3 公比为2 所以等比数列的第四项为 3 24 1 24 2 选c 由s3 a2 10a1 得a1 a2 a3 a2 10a1 即a3 9a1 即a1q2 9a1 解得q2 9 又因为a5 9 所以a1q4 9 解得a1 互动探究 若本例题 2 已知条件不变 求其前n项和sn 解析 由本例 2 知a1 q 3 所以当q 3时 sn 当q 3时 sn 因此sn 3n 1 或sn 1 3 n 易错警示 关注等比数列项的符号规律等比数列的通项公式是an a1qn 1 不管公比q的正负 q2 0 因此我们可以知道 等比数列中奇数项符号相同 偶数项符号也相同 但在做题时 我们往往会忽视这一点 尤其是在用到等比中项的时候 本例第 1 题就易出现两种情况不能决定取舍的问题 规律方法 解决等比数列有关问题的常见思想方法 1 方程的思想 等比数列中有五个量a1 n q an sn 一般可以 知三求二 通过列方程 组 求关键量a1和q 问题可迎刃而解 2 数形结合的思想 通项an a1qn 1可化为an qn 因此an是关于n的函数 点 n an 是曲线y qx上一群孤立的点 3 分类讨论的思想 等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论 当q 1时 an 的前n项和sn na1 当q 1时 an 的前n项和sn 4 整体思想 应用等比数列前n项和公式时 常把qn或当成整体进行求解 等比数列设项技巧对称设元法 一般地 连续奇数个项成等比数列 可设为 x xq 连续偶数个项成等比数列 可设为 xq xq3 注意 此时公比q2 0 并不适合所有情况 这样即可减少未知量的个数 也使得解方程较为方便 变式训练 2013 四川高考 在等比数列 an 中 a2 a1 2 且2a2为3a1和a3的等差中项 求数列 an 的首项 公比及前n项和 思路点拨 首先需要明确等比数列中2a2为3a1和a3的等差中项 然后设出公比 利用方程的思想进行求解 解析 设该数列的公比为q 由已知可得a1q a1 2 4a1q 3a1 a1q2 所以 a1 q 1 2 q2 4q 3 0 解得q 3或q 1 由于a1 q 1 2 因此q 1不合题意 应舍去 故公比q 3 首项a1 1 所以 数列 an 的前n项和sn 加固训练 1 在等比数列 an 中 若公比q 1 且a2a8 6 a4 a6 5 则 解析 选d 因为a2a8 6 所以a4a6 6 又因为a4 a6 5 q 1 所以a4 2 a6 3 所以 2 设 an 是任意等比数列 它的前n项和 前2n项和与前3n项和分别为x y z 则下列等式中恒成立的是 a x z 2yb y y x z z x c y2 xzd y y x x z x 解析 选d 特例法 取等比数列1 2 4 令n 1得x 1 y 3 z 7代入验算 3 设 an 是等差数列 bn 是等比数列 记 an bn 的前n项和分别为sn tn 若a3 b3 a4 b4 且则 解析 设数列 an 的公差为d 数列 bn 的公比为q 因为 5 所以 5 即2a1 7d 5b1q2 1 q 因为a3 b3 a4 b4 所以可得故2 3 2q 7 q 1 5 1 q 解得q 3 所以答案 考点2等比数列的判定与证明 典例2 1 2013 福建高考 已知等比数列 an 的公比为q 记bn am n 1 1 am n 1 2 am n 1 m cn am n 1 1 am n 1 2 am n 1 m m n n 则以下结论一定正确的是 a 数列 bn 为等差数列 公差为qmb 数列 bn 为等比数列 公比为q2mc 数列 cn 为等比数列 公比为d 数列 cn 为等比数列 公比为 2 2013 陕西高考 设 an 是公比为q的等比数列 推导 an 的前n项和公式 设q 1 证明数列 an 1 不是等比数列 解题视点 1 判定一个数列是等差或等比数列 可利用作差或作比 看看结果是不是常数 2 推导数列 an 的前n项和公式要注意分q 1或q 1两种情况讨论 利用错位相减法求解 证明数列 an 1 不是等比数列 一般要用反证法 只需证明前三项不符合等比数列的条件即可 规范解答 1 选c 显然 bn 是等比数列但公比为qm cn 是等比数列 证明如下 cn am n 1 1 am n 1 2 am n 1 m cn 1 amn 1 amn 2 amn m qmqm qm qm m 2 分两种情况讨论 1 当q 1时 数列 an 是首项为a1的常数数列 所以sn a1 a1 a1 na1 2 当q 1时 sn a1 a2 an 1 an qsn qa1 qa2 qan 1 qan 上面两式错位相减 1 q sn a1 a2 qa1 a3 qa2 an qan 1 qan a1 qan sn 综上 sn 使用反证法 不妨设 an 是公比q 1的等比数列 假设数列 an 1 是等比数列 则 a2 1 2 a1 1 a3 1 即 a1q 1 2 a1 1 a1q2 1 整理得a1 q 1 2 0得a1 0或q 1均与题设矛盾 故数列 an 1 不是等比数列 易错警示 注意对公比的讨论本例第 2 题容易忽略对公比是否为1的讨论而致误 在解决等比数列问题时 要注意公比是否有限制条件 确定是否应进行讨论 规律方法 等比数列的判定方法 1 定义法 若 q q为非零常数 n n 或 q为非零常数且n 2 n n 则 an 是等比数列 2 中项公式法 若数列 an 中 an 0且an 12 an an 2 n n 则数列 an 是等比数列 3 通项公式法 若数列通项公式可写成an c qn 1 c q均是不为0的常数 n n 则 an 是等比数列 4 前n项和公式法 若数列 an 的前n项和sn k qn k k为常数且k 0 q 0 1 则 an 是等比数列 提醒 1 前两种方法是判定等比数列的常用方法 常用于证明 而后两种方法常用于选择题 填空题中的判定 2 若要判定一个数列不是等比数列 则只需判定存在连续三项不成等比数列即可 变式训练 已知数列 an 的前n项和为sn 且对任意的n n 有an sn n 1 设bn an 1 求证 数列 bn 是等比数列 2 设c1 a1且cn an an 1 n 2 求 cn 的通项公式 解析 1 由a1 s1 1及a1 s1 得a1 又由an sn n及an 1 sn 1 n 1 得an 1 an an 1 1 所以2an 1 an 1 所以2 an 1 1 an 1 即2bn 1 bn 所以数列 bn 是以b1 a1 1 为首项 为公比的等比数列 2 方法一 由 1 知2an 1 an 1 所以2an an 1 1 n 2 所以2an 1 2an an an 1 所以2cn 1 cn n 2 又c1 a1 可解得c2 所以数列 cn 是首项为 公比为的等比数列 所以cn 方法二 由 1 知bn 所以an 所以cn 又c1 a1 也适合上式 所以cn 加固训练 1 已知数列 an 满足a1 an n 2 n n 1 试判断数列是否为等比数列 并说明理由 2 设cn ansin数列 cn 的前n项和为tn 求证 对任意的n n tn 解析 1 由所以又 1 3 0 所以数列是首项为3 公比为 2的等比数列 2 由 1 得所以所以所以 2 已知数列 an 中 a1 点 n 2an 1 an 在直线y x上 其中n 1 2 3 1 令bn an 1 an 1 求证数列 bn 是等比数列 2 求数列 an 的通项 解析 1 a1 2an 1 an n 则a2 a2 a1 1 1 又bn an 1 an 1 bn 1 an 2 an 1 1 所以所以 bn 是以 为首项 以为公比的等比数列 2 所以an 1 an 1 所以a2 a1 1 a3 a2 1 an an 1 1 将以上各式相加得 所以an a1 n 1 所以 3 已知数列 an 是等差数列 a2 6 a5 18 数列 bn 的前n项和是tn 且tn bn 1 1 求数列 an 的通项公式 2 求证数列 bn 是等比数列 3 记cn an bn 求证cn 1 cn 解析 1 由已知解得a1 2 d 4 所以an 2 n 1 4 4n 2 2 由于tn 1 bn 令n 1 得b1 1 b1 解得b1 当n 2时 tn 1 1 bn 1 得bn bn 1 bn 所以bn bn 1 又b1 0 所以所以数列 bn 是以为首项 为公比的等比数列 3 由 2 可得cn an bn 因为n 1 故cn 1 cn 0 所以cn 1 cn 考点3等比数列性质的应用 考情 等比数列的性质是高考重点考查的内容之一 题型有选择题 填空题 近几年也与方程 不等式 三角函数等内容交汇考查 主要考查通项公式的变式 等比中项的变形 前n项和公式的变形等求值运算或判断证明等问题 高频考点通关 典例3 1 2012 新课标全国卷 已知 an 为等比数列 a4 a7 2 a5a6 8 则a1 a10 a 7b 5c 5d 7 2 2012 北京高考 已知 an 为等比数列 下面结论中正确的是 a a1 a3 2a2b c 若a1 a3 则a1 a2d 若a3 a1 则a4 a2 解题视点 1 利用等比数列的性质将a5a6替换为a4a7 然后联立方程组求得a4 a7的值 最后将a4 a7及公比q的值整体代入a1 a10求出其值 2 利用等比数列的基本量和基本不等式进行计算 规范解答 1 选d 方法一 因为 an 为等比数列 所以a5a6 a4a7 8 联立所以q3 或q3 2 故a1 a10 a7 q3 7 方法二 因为 an 为等比数列 所以a5a6 a4a7 8 又a4 a7 2 联立方程组可得a4 4 a7 2或a4 2 a7 4 根据等比数列性质 a1 a4 a7 a10也成等比数列 若a4 4 a7 2 得a1 8 a10 1 a1 a10 7 若a4 2 a7 4 得a10 8 a1 1 仍有a1 a10 7 综上选d 2 选b 通关锦囊 通关题组 1 2014 黄石模拟 已知各项均为正数的等比数列 an 中 a1a2a3 5 a7a8a9 10 则a4a5a6 a 5b 7c 6d 4 解析 选a 设数列 an 的公比是q 则有所以 a4a5a6 2 a1a2a3 a7a8a9 5 10 50 则a4a5a6 5 2 2014 南昌模拟 在各项均为正数的等比数列 an 中 a1 a3 a5 a7 4a42 则下列结论中正确的是 a 数列 an 是递增数列b 数列 an 是递减数列c 数列 an 是常数列d 数列 an 有可能是递增数列也有可能是递减数列 解析 选c 各项均为正数的等比数列 an 中 因为 a1 a3 a5 a7 4a42成立 即a1a5 a1a7 a3a5 a3a7 4a42成立 利用等比数列的定义和性质化简可得a32 a42 a42 a52 4a42 进一步化简得a32 a52 2a42 设公比为q 则得a12q4 a12q8 2a12q6 化简可得1 q4 2q2 即 q2 1 2 0 所以q2 1 故q 1 由于各项均为正数的等比数列 故q 1舍去 故此等比数列是常数列 3 2014 南平模拟 设各项都是正数的等比数列 an sn为前n项和 且s10 10 s30 70 那么s40 解析 依题意 数列s10 s20 s10 s30 s20 s40 s30成等比数列 因此有 s20 s10 2 s10 s30 s20 即 s20 10 2 10 70 s20 故s20 20或s20 30 又s20 0 因此s20 30 s20 s10 20 s40 10 20 40 80 150 答案 150 4 2013 江苏高考 在正项等比数列 an 中 a5 a6 a7 3 则满足a1 a2 an a1a2 an的最大正整数n的值为 解析 设正项等比数列 an 的首项为a1 公比为q q 0 则由a5 得a6 a7 a5q a5q2 q q2 3 即q q2 6 解得q 2 代入a5 a1q4 a124 a1 式子a1 a2 an a1a2 an变为即化简得经验证n 2 3 12时 a1 a2 an a1a2 an 当n 13时a1 a2 an a1a2 an 故所求最大正整数n的值为12 答案 12 加固训练 1 2012 安徽高考 公比为2的等比数列 an 的各项都是正数 且a3a11 16 则a5 a 1b 2c 4d 8 解析 选a a3a11 16 a72 16 a7 4 a5 22 a5 1 2 2014 黄冈模拟 在等比数列 an 中 8a2 a5 0 是 an 为递增数列 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 既不充分又不必要条件d 充要条件 解析 选c 由8a2 a5 0 得到a5 8a2 又a5 q3a2 则q 2 而a1 0时 数列 an 为递增数列 a1 0时 数列 an 为递减数列 当 an 为递增数列时 q不一定等于2 则 8a2 a5 0 是 an 为递增数列 的既不充分又不必要条件 3 2014 商丘模拟 已知x 1 y 1 且lnx lny成等比数列 则xy的最小值是 解析 由已知条件得lnx lny 即lnx lny 又lnx lny 当且仅当x y时等号成立 所以 ln xy 2 1 又x 1 y 1 所以ln xy 1 即xy e xy的最小值为e 答案 e 创新体验 以数列为载体的创新问题 典例 2014 连云港模拟 定义一个 等积数列 在一个数列中 如果每一项与它后一项的积都是同一常数 那么这个数列叫 等积数列 这个常数叫做这个数列的公积 已知数列 an 是等积数列 且a1 2 公积为5 则这个数列的前n项和sn的计算公式为 审题视点 解析 这个数列为2 2 2 若n是偶数 则sn 若n是奇数 则故sn 答案 sn 创新点拨 1 高考考情 先定义一个 一类 新数列 然后要求根据新定义推断这个新数列的一些性质或判断一个数列是否属于这类新数列的问题是近年来高考中逐渐兴起的一个命题方向 考查频次较高 2 命题形式 常见的有新定义 新法则 新运算等 形式新颖 常给人耳目一新的感觉 备考指导 1 准确转化 解决数列新定义问题 首先要弄清新定义的本质含义 紧扣题目所给定义进行等价转化 2 方法选取 对于数列新定义问题 可结合等差数列 等比数列的性质以及解决数列问题时常用的方法求解 新题快递 1 若数列 an 满足 p p为正常数 n n 则称 an 为 等方比数列 甲 数列 an 是等方比数列 乙 数列 an 是等比数列 则 a 甲是乙的充分条件但不是必要条件b 甲是乙的充要条件c 甲是乙的必要条件但不是充分条件d 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 解析 选c 乙 甲 但甲乙 如数列2 2 2 2 2 是等方比数列 但不是等比数列 2 定义 等平方和数列 在一个数列中 如果每一项与它的后一项的平方和都等于同一个常数 那么这个数列叫做等平方和数列 这个常数叫做该数列的平方和 已知数列 an 是等平方和数列 且a1 1 平方和为5 且an 0 则a2015 这个数列的前n项和sn的计算公式为 解析 由定义知a12 a22 5 a1 1 所以a22 4 因为an 0 所以a2 2 又由a22 a32 5 所以a32 1 因为a3 0 所以a3 1 由此可知a4 2 a5 1 即数列 an 的奇数项均为1 偶数项均为2 所以a20