高中数学（新知初探+题型探究+典例展示）2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系课件 新人教A版必修2.ppt

2 1 2空间中直线与直线之间的位置关系 第二章点 直线 平面之间的位置关系 学习导航学习目标重点难点重点 判断空间两直线的位置关系 求异面直线所成的角 难点 异面直线的判定及异面直线所成的角的求解 1 空间中两条直线的位置关系 无 无 有且只有一个 做一做1 平面内一点与平面外一点连线和这个平面内直线的关系是 答案 相交或异面 平行 传递性 a c 想一想空间中垂直于同一直线的两直线平行吗 提示 不一定 可能平行 也可能相交或异面 3 等角定理 1 文字语言 空间中如果两个角的两边分别对应 那么这两个角相等或 2 符号语言 已知在 aob和 a o b 中 ao a o bo b o 则 aob a o b 或 aob a o b 180 如图 1 2 所示 平行 互补 做一做2 已知 bac 30 ab a b ac a c 则 b a c a 30 b 150 c 30 或150 d 大小无法确定解析 选c 当 b a c 与 bac开口方向相同时 b a c 30 方向相反时 b a c 150 4 异面直线所成的角 或夹角 已知a b是两条异面直线 过空间任意一点o作直线 我们把a 与b 所成的 叫做异面直线a与b所成的角 或夹角 角度范围为 0 90 如果异面直线所成的角是90 称异面直线垂直 a a b b 锐角 或直角 做一做3 若正方体abcd a1b1c1d1中 bae 25 则异面直线ae与b1c1所成的角的大小为 答案 65 题型一直线位置关系的判定 a b c是空间中的三条直线 下面给出的几种说法 若a b b c 则a c 若a b b c 则a c 若a与b相交 b与c相交 则a与c相交 若a b与c成等角 则a b 其中正确的是 只填序号 题型探究 解析 正确 是公理4 错 a与c平行 相交 异面都有可能 错 a与c相交 异面 平行都有可能 错 a与b三种位置关系都有可能 答案 名师点评 判定两条直线的位置关系时 若要判定直线平行或相交可用平面几何中的定义处理 判定异面直线的方法往往用定义和反证法 借助几何模型判定两直线的位置关系 也是常用的一种方法 更直观 跟踪训练1 2013 淮北高一检测 如图 aa1是长方体的一条棱 这个长方体中与aa1异面的棱的条数是 a 6b 4c 5d 8解析 选b 与aa1异面的棱有bc b1c1 cd c1d1共4条 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 m m1分别是棱ad和a1d1的中点 1 求证 四边形bb1m1m为平行四边形 2 求证 bmc b1m1c1 证明 1 在正方形add1a1中 m m1分别为ad a1d1的中点 mm1綊aa1 又 aa1綊bb1 mm1 bb1 且mm1 bb1 四边形bb1m1m为平行四边形 题型二公理4与等角定理的应用 2 法一 由 1 知四边形bb1m1m为平行四边形 b1m1 bm 同理可得四边形cc1m1m为平行四边形 c1m1 cm 由平面几何知识可知 bmc和 b1m1c1都是锐角 bmc b1m1c1 法二 由 1 知四边形bb1m1m为平行四边形 b1m1 bm 同理可得四边形cc1m1m为平行四边形 c1m1 cm 又 b1c1 bc bcm b1c1m1 bmc b1m1c1 名师点评 空间中 如果两个角的两边分别对应平行 那么这两个角相等或互补 当两个角的两边方向都相同时或都相反时 两个角相等 否则两个角互补 因此 在证明两个角相等时 只说明两个角的两边分别对应平行是不够的 互动探究2 在本例中 若n1是d1c1的中点 求证 四边形m1n1ca是梯形 在正方体abcd a1b1c1d1中 求 1 异面直线ab与a1d1所成的夹角 2 ad1与dc1所成的夹角 解 1 a1b1 ab 而a1d1 a1b1 a1d1 ab ab与a1d1所成的夹角为90 题型三异面直线所成的角 2 连接ab1 b1d1 ab1 dc1 ab1与ad1所成的夹角即为dc1与ad1所成的夹角 又ad1 ab1 b1d1 ab1d1为正三角形 ad1与ab1所成的夹角为60 ad1与dc1所成的夹角为60 名师点评 利用 平移角 的方法作角时 往往过其中一条直线的端点或中点 结合平行四边形或者三角形中位线作平行线 跟踪训练3 如图 已知长方体abcd a1b1c1d1中 a1a ab e f分别是bd1和ad中点 则异面直线cd1 ef所成的角的大小为 答案 90 1 求证角相等也有两种方法 一是应用等角定理 在证明的过程中常用到公理4注意两角对应边方向的讨论 二是应用三角形全等或相似 2 求两异面直线所成的角的一般步骤 作 根据所成角的定义 用平移法作出异面直线所成的角 证 证明作出的角就是要求的角 计算 求角的值 常利用解三角形 可用 一作二证三计算 来概括 如例3 方法感悟 3 有以下方法可以判断两条直线是异面直线 定义法 直观判断法 由定义判断两条直线不可能在同一个平面内 或者用下面的结论 过平面外一点与平面内一点的直线 和平面内不经过该点的直线是异面直线 排除法 排除两直线共面 平行或相交 则两直线是异面直线 已知三棱锥a bcd中 ab cd 且直线ab与cd成60 角 点m n分别是bc ad的中点