众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系.ppt

众数 中位数 平均数与频率分布直方图的关系 用样本数字特征估计总体数字特征 制作老师 欧阳文丰 一众数 中位数 平均数的概念 中位数 将一组数据按大小依次排列 把处在最中间位置的一个数据 或最中间两个数据的平均数 叫做这组数据的中位数 众数 在一组数据中 出现次数最多的数据叫做这组数据的众数 众数 中位数 平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数 只是描述的角度不同 其中以平均数的应用最为广泛 平均数 一组数据的算术平均数 即x 1 平均数 由数据及频率计算平均数 即x x1f1 x2f2 xkfk 其中fk是xk的频率 2 加权平均数 由数据及其权数和样本容量计算平均数 即x x1n1 x2n2 xknk n 其中nk是xk的权数 n为样本容量 且n1 n2 nk n 3 已知xn的平均数为x 则kxn b的平均数为kx b 平均数 一组数据的算术平均数 即 二 众数 中位数 平均数与频率分布直方图的关系 在只有频率分布直方图的情况下 也可以估计总体特征 而且直方图比较直观便于形象地进行分析 1 众数在样本数据的频率分布直方图中 就是最高矩形的中点的横坐标 当最高矩形的数据组为 a b 时 那么 a b 2就是众数 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 o0 511 522 533 544 5月平均用水量 t 例题分析 月均用水量的众数是2 25t 如图所示 2 2 5 2 2 25 2 从频率分布直方图中估计中位数 中位数是样本数据所占频率的等分线 当最高矩形的数据组为 a b 时 设中位数为 a x 根据中位数的定义得知 中位数左边立方图的小矩形面积为0 5 列方程得 当最高矩形的数据组之前所有小矩形的面积之和为fm 频率直方图的面积计算 即组距乘以频率 组距 x 最高矩形的 频率 组距 fm 0 5求解x 那么a x即为中位数 思考题 如何从频率分布直方图中估计中位数 中位数左边立方图的小矩形面积为0 5 0 2的小矩形面积之和为 0 5 0 08 0 16 0 30 0 44 0 49 0 44 0 5 0 49 0 01 0 01 0 5 0 02 如图在直线t 2 02之前所有小矩形的面积为0 5 所以该样本的中位数为2 02 练习 广东11变式题1 为了调查某厂工人生产某种产品的能力 随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量 产品数量的分组区间为 分布直方图如图3 则这20名工人中一天生产 的中位数 该产品数量在 由此得到频率 3 平均数是频率分布直方图的 重心 是直方图的平衡点 n个样本数据的平均数由公式 x 假设每组数据分别为 a1 b1 a2 b2 ak bk 时 且每组数据相应的频率分别为f1 f2 fk 那么样本的平均数 或总体的数学期望 由下列公式计算即可 由频率分布直方图估计样本平均数 或总体数学期望 公式 x a1 b1 2 f1 a2 b2 2 f2 ak bk 2 fk 其中每组数据的频率还可以由频率直方图的面积计算而得 即组距乘以频率 组距 练习 广东11变式题2 为了调查某厂工人生产某种产品的能力 随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量 产品数量的分组区间为 分布直方图如图3 则这20名工人中一天生产 的平均数 该产品数量在 由此得到频率 总体分布的估计 练习 对某电子元件进行寿命追踪调查 情况如下 1 列出频率分布表 2 画出频率分布直方图 3 估计电子元件寿命在100h 400h以内的概率 4 估计电子元件寿命在400h以上的概率 5 估计总体的数学期望 总体分布的估计 总体分布的估计 思考 从样本数据可知 所求得该样本的众数 中位数和平均数 这与我们从样本频率分布直方图得出的结论有偏差 你能解释一下原因吗 频率分布直方图损失了一些样本数据 得到的是一个估计值 且所得估值与数据分组有关 注 在只有样本频率分布直方图的情况下 我们可以按上述方法估计众数 中位数和平均数 并由此估计总体特征 三 用频率分布直方图估计总体数字的特征的利弊 总体的各种数值特征都可以由两种途径来估计 直接利用样本数据或由频率分布直方图来估计 两种方法各有利弊 比如 1 通过频率分布直方图的估计精度低 2 通过频率分布直方图的估计结果与数据分组有关 3 在不能得到样本数据 只能得到频率分布直方图的情况下 也可以估计总体特征 而且直方图比较直观便于形象地进行分析 四 三种数字特征的优缺点 1 众数体现了样本数据的最大集中点 但它显然对其他数据信息的忽视使得无法客观地反映总体特征 2 中位数是样本数据所占频率的等分线 它不受少数几个极端值的影响 这在某些情况下是优点 但它对极端值不敏感有时也会成为缺点 3 由于平均数与每一个样本的数据有关 所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变 这是众数 中位数都不具有的性质 但平均数受数据中的极端值的影响较大 使平均数在估计总体时可靠性降低 1 在一次歌手大奖赛上 七位评委为歌手打出的分数如下 9 4 8 4 9 4 9 9 9 6 9 4 9 7 去掉一个最高分和一个最低分后 所剩数据的平均值和方差分别为 2 已知数据的平均数是3 方差为2 求数据的平均数 方差 标准差 9 5 0 016 解 平均数是6 方差是8 标准差是 去掉最高分和最低分合理吗 如果求的平均数 方差 标准差 已知ai的平均数x 方差y 标准差z 则b kai的平均数是b kx 方差是k的平方与y的乘积 标准差是k与z的乘