江苏高考数学复习平面解析几何第50课抛物线教师用书.docx

第50课 抛物线最新考纲内容要求ABC顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质1抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫作抛物线点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线2抛物线的标准方程与几何性质标准方程y22px (p0)y22px(p0)x22py (p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴x轴y轴焦点FFFF离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR焦半径|PF|x0x0y0y01(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线()(2)方程yax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x.()(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形()(4)AB为抛物线y22px(p0)的过焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1y2p2，弦长ABx1x2p.()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)若抛物线y4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是_M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y，设M(x，y)，则y1，y.3抛物线yx2的准线方程是_y1yx2，x24y，准线方程为y1.4已知抛物线y22px(p0)的准线经过点(1,1)，则该抛物线焦点坐标为_(1,0)抛物线y22px(p0)的准线为x且过点(1,1)，故1，解得p2，所以抛物线的焦点坐标为(1,0)5(2016浙江高考)若抛物线y24x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是_9设点M的横坐标为x，则点M到准线x1的距离为x1，由抛物线的定义知x110，x9，点M到y轴的距离为9.抛物线的定义及应用(1)已知抛物线C：y2x的焦点为F，点A(x0，y0)是C上一点，AFx0，则x0_.(2)已知抛物线y24x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则ACBD的最小值为_(1)1(2)2(1)由y2x，知2p1，即p，因此焦点F，准线l的方程为x.设点A(x0，y0)到准线l的距离为d，则由抛物线的定义可知dAF.从而x0x0，解得x01.(2)由y24x，知p2，焦点F(1,0)，准线x1. 根据抛物线的定义，AFAC1，BFBD1.因此ACBDAFBF2AB2.所以ACBD取到最小值，当且仅当AB取得最小值，又AB2p4为最小值故ACBD的最小值为422.规律方法1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理如本例充分运用抛物线定义实施转化，使解答简捷、明快2若P(x0，y0)为抛物线y22px(p0)上一点，由定义易得PFx0；若过焦点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为ABx1x2p，x1x2可由根与系数的关系整体求出变式训练1已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若4 ，则QF_. 【导学号：62172274】34 ，FP4FQ，.如图，过Q作QQl，垂足为Q，设l与x轴的交点为A，则AF4，QQ3.根据抛物线定义可知QFQQ3.抛物线的标准方程如图501，已知抛物线y22px(p0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA与OB的长分别为1和8，求抛物线的方程图501解设直线OA的方程为ykx，k0，则直线OB的方程为yx，由得x0或x.A点坐标为，同理得B点坐标为(2pk2，2pk)，由OA1，OB8，可得得k664，即k24.则p2.又p0，则p，故所求抛物线方程为y2x.规律方法1.求抛物线的标准方程的方法：(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量2由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离；从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程变式训练2写出适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)抛物线的焦点与双曲线3x2y23的一个焦点重合；(2)焦点到准线的距离为3.解(1)双曲线3x2y23的焦点坐标为(2,0)，当焦点坐标为(2,0)时，抛物线的标准方程为y28x；当焦点坐标为(2,0)时，抛物线的标准方程为y28x.综上可知，抛物线的标准方程为y28x.(2)由题意可知p3，故2p6，故所求抛物线的标准方程为y26x或x26y.抛物线的几何性质已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y1y2p2，x1x2；(2)为定值；(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切. 【导学号：62172275】证明(1)由已知得抛物线焦点坐标为.由题意可设直线方程为xmy，代入y22px，得y22p，即y22pmyp20.(*)则y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2p2.因为y2px1，y2px2，所以yy4p2x1x2，所以x1x2.(2).因为x1x2，x1x2ABp，代入上式，得(定值)(3)设AB的中点为M(x0，y0)，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，则MN(ACBD)(AFBF)AB.所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切规律方法在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点解题，同时要注意抛物线定义的应用，如焦点弦问题：ABx1x2p，其中A，B为焦点弦的两个端点变式训练3过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点若AF3，则AOB的面积为_由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)(y10，y20)的焦点的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：(1)y1y2p2，x1x2；(2)若直线AB的倾斜角为，则ABx1x2p.易错与防范1认真区分四种形式的标准方程(1)区分yax2(a0)与y22px(p0)，前者不是抛物线的标准方程(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2mx或x2my(m0)2直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式3抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线当直线与抛物线有一个公共点，并不表明直线与抛物线相切课时分层训练(五十)A组基础达标(建议用时：30分钟)1(2016四川高考改编)抛物线y24x的焦点坐标是_(1,0)由y24x知p2，故抛物线的焦点坐标为(1,0)2已知点F是抛物线C：y24x的焦点，点A在抛物线C上，若AF4，则线段AF的中点到抛物线C的准线的距离为_3由题意易知F(1,0)，F到准线的距离为2，A到准线的距离为AF4，则线段AF的中点到抛物线C的准线的距离为3.3(2017南京模拟)抛物线y24x的焦点到双曲线x21的渐近线的距离是_. 【导学号：62172276】由双曲线x21知其渐近线方程为yx，即xy0，又y24x的焦点F(1,0)，焦点F到直线的距离d.4已知抛物线C与双曲线x2y21有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是_y24x因为双曲线的焦点为(，0)，(，0)设抛物线方程为y22px(p0)，则，p2.所以抛物线方程为y24x.5过抛物线y24x的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A，B两点，则弦长AB为_8设A(x1，y1)，B(x2，y2)易得抛物线的焦点是F(1,0)，所以直线AB的方程是yx1.联立消去y得x26x10.所以x1x26，所以ABx1x2p628.6已知点A(2,3)在抛物线C：y22px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为_点A(2,3)在抛物线C的准线上2，p4，焦点F(2,0)kAF.7若抛物线y22px的焦点与椭圆1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为_x2由椭圆1，知a3，b，所以c2a2b24，所以c2.因此椭圆的右焦点为(2,0)，又抛物线y22px的焦点为.依题意，得2，于是抛物线的准线x2.8设P是抛物线y24x上的一个动点，则点P到点A(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值为_. 【导学号：62172277】如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x1，由抛物线的定义知：点P到直线x1的距离等于点P到F的距离于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小连结AF交抛物线于点P，此时最小值为AF.9如图502，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a0)经过C，F两点，则_.图5021由题意可得C，F，则1(舍去1)10(2017徐州模拟)抛物线y22px(p0)的焦点为F，其准线与双曲线y2x21相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p_.2y22px的准线为x.由于ABF为等边三角形因此不妨设A，B.又点A，B在双曲线y2x21，从而1，所以p2.11已知抛物线y22px(p0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值一定等于_4若焦点弦ABx轴，则x1x2，所以x1x2；y1p，y2p，y1y2p2，4.若焦点弦AB不垂直于x轴，可设AB的直线方程为yk，联立y22px得k2x2(k2p2p)x0，则x1x2.y1y2p2，4.12设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点M在C上，MF5.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为_. 【导学号：62172278】y24x或y216x由已知得抛物线的焦点F，设点A(0,2)，点M(x0，y0)则，.由已知得，0，即y8y0160，因而y04，M.由MF5，得5，又p0，解得p2或p8.故C的方程为y24x或y216x.B组能力提升(建议用时：15分钟)1设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，则AB_.12F为抛物线C：y23x的焦点，F，AB的方程为y0tan 30，即yx.联立得x2x0，x1x2，即xAxB.由于ABxAxBp，AB12.2(2016全国卷改编)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点已知AB4，DE2，则C的焦点到准线的距离为_4设抛物线的方程为y22px(p0)，圆的方程为x2y2r2.AB4，DE2，抛物线的准线方程为x，不妨设A，D.点A，D在圆x2y2r2上，85，p4(负值舍去)C的焦点到准线的距离为4.3(2017南京模拟)如图503，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若BC2BF，且AF3，则此抛物线的方程为_图503y23x如图，分别过A，B作AA1l于A1，BB1l于B1，由抛物线的定义知：AFAA1，BFBB1，BC2BF，BC2BB1，BCB130，AFx60，连结A1F，则AA1F为等边三角形，过F作FF1AA1于F1，则F1为AA1的中点，设l交x轴于K，则KFA1F1AA1AF，即p，抛物线方程为y23x.4O为坐标原点，F为抛物线C：y24x的焦点，P为C上一点，若PF4，则POF的面积为_2如图，设点P的坐标为(x0，y0)，由PFx04，得x03，代入抛物线方程得，y4324，所以|y0|2，所以SPOFOF|y0|22.5(2017南通调研)已知P是抛物线y24x上的一个动点，Q是圆(x3)2(y1)21上的一个动点，N(1,0)