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第二节平面向量基本定理及坐标表示 一 平面向量基本定理如果e1和e2是一平面内的两个的向量 那么该平面内的任一向量a 的一对实数a1 a2 使a a1e1 a2e2 其中 不共线向量e1 e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 记为 e1 e2 a1e1 a2e2叫做向量a关于基底 e1 e2 的分解式 不平行 存在唯一 二 平面向量的正交分解及坐标表示1 平面向量的正交分解如果基底的两个基向量e1 e2 则称这个基底为 在下分解向量 叫做正交分解 2 平面向量的坐标表示 1 在直角坐标系xoy内 分别取与x轴和y轴方向相同的两个单位向量e1 e2 这时 就在坐标平面内建立了一个正交基底 e1 e2 e1 e2分别是与x轴和y轴同方向的 这个基底也叫做直角坐标系xoy的基底 量a在基底 e1 e2 下的坐标 即a a1 a2 显然 0 e1 e2 互相垂直 正交基底 正交基底 单位向量 0 0 1 0 0 1 2 平面向量基本定理的理解 1 平面内任意两个不共线的向量都可以作为这个平面的基底 单位正交基底是进行向量运算最简单的一组基底 2 平面内任一向量都可以表示为给定基底的线性组合 并且表示方法是唯一的 但不同的基底表示形式是不同的 3 用基底表示向量的实质是向量的线性运算 3 基底的不唯一性只要两个向量不共线 就可以作为平面的一组基底 对基底的选取不唯一 平面内任意向量a都可被这个平面的一组基底e1 e2线性表示 且在基底确定后 这样的表示是唯一的 1 2013年广州模拟 已知向量a 2 1 b x 2 若a b 则a b等于 a 2 1 b 2 1 c 3 1 d 3 1 解析 由a b可得2 2 1 x 0 故x 4 所以a b 2 1 故选a 答案 a 2 课本习题改编 若向量a 1 1 b 1 1 c 4 2 则c a 3a bb 3a bc a 3bd a 3b答案 b 答案 b 4 设平面向量a 3 5 b 2 1 则a 2b 解析 a 3 5 b 2 1 a 2b 3 5 4 2 7 3 答案 7 3 答案 4 答案 1 d 2 c 答案 d 答案 d 答案 a 高手支招 利用平面向量基本定理确定动点轨迹图形或建立系数间的等量关系 是平面向量基本定理创新命题的一大亮点 常与面积轨迹图形的判断 最值的求法相交汇 答案 a 2 2011年高考重庆卷 已知向量a 1 k b 2 2 且a b与a共线 那么a b的值为 a 1b 2c 3d 4解析 a b
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