函数的定义域值域最值.doc

第五讲函数的定义域与值域(最值)1.函数的定义域函数的定义域是指使函数有意义的_自变量_的取值范围.注意:(1)确定函数定义域的原则:当函数y=f(x)用表格给出时,函数的定义域是指表格中实数x的集合;当函数y=f(x)用图象给出时,函数的定义域是指图象在x轴上投影所覆盖的实数的集合;当函数y=f(x)用解析式给出时,函数的定义域是指使解析式有意义的实数的集合;当函数y=f(x)由实际问题给出时,函数的定义域由实际问题的意义确定.(2)定义域可分为自然定义域与限定定义域两类:如果只给函数解析式(不注明定义域),其定义域应为使解析式有意义的自变量的取值范围,称为自然定义域;如果函数受应用条件或附加条件制约,其定义域称为限定定义域.(3)复合函数定义域的求法:若已知函数f(x)的定义域为a,b,其复合函数fg(x)的定义域应由不等式ag(x)b解出.2. 函数的值域在函数y=f(x)中,与自变量x的值相对应的y的值叫函数值,_的集合叫做函数的值域.注意:确定函数的值域的原则当函数y=f(x)用表格给出时,函数的值域是指表格中实数y的集合;当函数y=f(x)用图象给出时,函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合;当函数y=f(x)用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域及其对应关系唯一确定;当函数由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义确定.1.函数f(x)= +lg(3x+1)的定义域是( B ) 3.如果函数y=f(4x-3)的定义域是 ,则函数f(x)的定义域是( ) 5.函数y=f(x)的值域是 -2,2 ,则函数y=f(x-2)的值域是_.类型一:函数的定义域解题准备:(1)已知解析式求定义域的问题,应根据解析式中各部分的要求,首先列出自变量应满足的不等式或不等式组,然后解这个不等式或不等式组,解答过程要注意考虑全面,最后定义域必须写成集合或区间的形式;(2)确定函数的定义域当f(x)是整式时,其定义域为R.当f(x)是分式时,其定义域是使得分母不为0的实数的集合.当f(x)是偶次根式时,其定义域是使得根号内的式子大于或等于0的实数的集合.对于x0,x不能为0,因为00无意义.f(x)=tanx的定义域为f(x)=logax(a0,且a1)的定义域为x|x0.由实际问题确定的函数,其定义域要受实际问题的约束,要具体问题具体分析.分段函数的定义域是各段中自变量取值范围的并集.抽象函数f(2x+1)的定义域为(0,1),是指x(0,1)而非02x+11;已知函数f(x)的定义域为(0,1),求f(2x+1)的定义域时,应由02x+11得出x的范围即为所求.典例1求函数f(x)= 的定义域.只需要使解析式有意义,列不等式组求解.要使函数有意义,则只需要: 即, 解得-3x0或2x3.故函数的定义域是(-3,0)(2,3).解 (1)f(x)的定义域是 ,要使f(x2)有意义,必有0x21,解得-1x1.f(x2)的定义域为 .由0 -11得1 2.1x4(x0时, 才有意义)函数f( -1)的定义域为(2)f 的定义域为 ,0x9,1x+110,0lg(x+1)1f(x)的定义域为 .由02x1,解得x0.f(2x)的定义域为(-,0.类型三:函数的值域解题准备:(1)要记住各种基本函数的值域;要记住具有什么结构特点的函数用什么样的方法求值域.(2)对各种求函数值域的方法要熟悉,遇到求值域的问题,应注意选择最优解法.(3)求函数的值域,不但要重视对应法则的作用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用.(4)函数的值域常常化归为求函数的最值问题,要重视函数单调性在确定函数最值过程中的应用.典例3求下列函数的值域: 本题主要考查函数值域问题,考查运算能力数形转化的思想,对于(1),利用换元法转化为二次函数的值域问题;对于(2),利用基本不等式或利用函数的单调性求解;对于(3),由函数的有界性或由几何法求解;对于(4),用求导数法求解. 当x1x2-2或2x1x2时,f(x)递增,当-2x0或0xg(x)时,求函数 的最小值.误区一:应用题中函数的定义域不考虑实际意义典例1如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点P在AD上移动,BQCQ,Q为垂足,设BP=x,CQ=y,试求y关于x的函数关系式.误区二:求函数值域不考虑定义域典例2求函数f(x)= 的值域.典例:f(x)是定义在R上的奇函数,且满足下列条件:(1)x,yR,有f(x+y)=f(x)+f(y);(2)当x0时,f(x)0,b0;a+b(或ab)为定值;取等号条件a=b.三个条件缺一不可.(5)函数的单调性法确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性求出函数的值域,例如,f(x)=ax+ (a0,b0).当利用不等式法等号不能成立时,可考虑用函数的单调性.(6)数形结合法如果所给函数有较明显的几何意义,可借助几何法求函数的值域,形如: 可联想两点(x1,y1)与(x2,y2)连线的斜率.(7)函数的有界性法形如y= ,可用y