高考数学一轮复习 2.9函数模型及其应用课件 文 湘教版.ppt

2 9函数模型及其应用 三种函数模型的性质 平行一样 平行一样 2 应用函数模型求解应用问题的程序图表 实际问题 实际问题的解 数学模型 数学模型的解 抽象概括 还原说明 推理 演算 1 如图下面的四个容器高度都相同 将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中 注满为止 用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系 其中不正确的有 a 1个b 2个c 3个d 4个 解析 将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中 容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来 图 应该是匀速的 故上面的图象不正确 中的变化率应该是越来越慢的 正确 中的变化率先逐渐变慢 然后逐渐变快 正确 中的变化率先逐渐变快 然后逐渐变慢 也正确故只有 是错误的 选a 答案 a 3 某电信公司推出两种手机收费方式 a种方式是月租20元 b种方式是月租0元 一个月的本地网内通话时间t 分钟 与电话费s 元 的函数关系如图所示 当通话150分钟时 这两种方式电话费相差 a 10元b 20元c 30元d 403元 解析 依题意可设sa t 20 kt sb t mt 又sa 100 sb 100 100k 20 100m 得k m 0 2 于是sa 150 sb 150 20 150k 150m 20 150 0 2 10 即两种方式电话费相差10元 选a 答案 a 1 在实际问题中 有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型 其增长特点是直线上升 自变量的系数大于0 或直线下降 自变量的系数小于0 2 有些问题的两变量之间是二次函数关系 如面积问题 利润问题 产量问题等 一般利用函数图象的开口方向和对称轴与单调性解决 但一定要注意函数的定义域 否则极易出错 某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线的一段 已知跳水板ab长为2m 跳水板距水面cd的高bc为3m ce 5m cf 6m 为安全和空中姿态优美 训练时跳水曲线应在离起跳hm h 1 时达到距水面最大高度4m 规定 以cd为横轴 cb为纵轴建立直角坐标系 1 当h 1时 求跳水曲线所在的抛物线方程 2 若跳水运动员在区域ef内入水时才能达到压水花的训练要求 求达到压水花的训练要求时h的取值范围 解析 1 由题意知最高点为 2 h 4 h 1 设抛物线方程为y a x 2 h 2 4 当h 1时 最高点为 3 4 方程为y a x 3 2 4 将a 2 3 代入 得3 a 2 3 2 4 解得a 1 当h 1时 跳水曲线所在的抛物线方程为y x 3 2 4 2 将点a 2 3 代入y a x 2 h 2 4得ah2 1 所以a 由题意 得方程a x 2 h 2 4 0在区间 5 6 内有一解 令f x a x 2 h 2 4 x 2 h 2 4 则f 5 3 h 2 4 0 且f 6 4 h 2 4 0 解得1 h 达到压水花的训练要求时h的取值范围为 分段函数模型及其应用 1 现实生活中有很多问题都可以用分段函数表示 如出租车计费 个人所得税等问题 分段函数是解决实际问题的重要模型 2 分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同 可先将其看做几个问题 将各段的变化规律分别找出来 再将其合到一起 要注意各段自变量的变化范围 特别是端点值 3 构造分段函数时 要力求准确简捷 做到分段合理 不重不漏 分段函数也是分类讨论问题 变式训练 2 2014 郴州模拟 某旅游景点预计2014年1月份起前x个月的旅游人数的和p x 单位 万人 与x的关系近似地满足p x x x 1 39 2x x n 且x 12 已知第x个月的人均消费额q x 单位 元 与x的近似关系是q x 35 2x x n 且1 x 6 x n 且7 x 12 1 写出2014年第x个月的旅游人数f x 单位 人 与x的函数关系式 2 试问2014年第几个月旅游消费总额最大 最大月旅游消费总额为多少元 解析 1 当x 1时 f 1 p 1 37 当2 x 12 且x n 时 f x p x p x 1 x x 1 39 2x x 1 x 41 2x 3x2 40 x 验证x 1也满足此式 所以f x 3x2 40 x x n 且1 x 12 2 第x个月旅游消费总额为g x 3x2 40 x 35 2x x n 且1 x 6 3x2 40 x x n 且7 x 12 即g x 6x3 185x2 1400 x x n 且1 x 6 480 x 6400 x n 且7 x 12 当1 x 6 且x n 时 g x 18x2 370 x 1400 令g x 0 解得x 5或x 舍去 当1 x 5时 g x 0 当5 x 6时 g x 0 当x 5时 g x max g 5 3125 万元 当7 x 12 且x n 时 g x 480 x 6400是减函数 当x 7时 g x max g 7 3040 万元 综上 2014年5月份的旅游消费总额最大 最大旅游消费总额为3125万元 指数函数 对数函数模型 一片森林原来面积为a 计划每年砍伐一些树 且每年砍伐面积的百分比相等 当砍伐到面积的一半时 所用时间是10年 为保护生态环境 森林面积至少要保留原面积的 已知到今年为止 森林剩余面积为原来的 1 求每年砍伐面积的百分比 2 到今年为止 该森林已砍伐了多少年 3 今后最多还能砍伐多少年 解析 1 设每年降低的百分比为x 0 x 1 则a 1 x 10 即 1 x 10 12 解得x 1 2 设经过m年剩余面积为原来的 则a 1 x m a 即 解得m 5 故到今年为止 已砍伐了5年 3 设从今年开始 以后砍了n年 则n年后剩余面积为a 1 x n 令a 1 x n a 即 1 x n 解得n 15 故今后最多还能砍伐15年 变式训练 3 在连续两年高考中 湖北都避开了渐渐落入套路的概率统计应用问题 而是结合社会热点问题来考查数学知识的应用能力 命题设问清晰 与实际生活联系紧密 所需要用到的函数也是一些常见函数 如一次函数 二次函数 反比例函数等 同时为了区分出考生的能力层次 不忘在其中加进了分段或讨论要求 使得命题既新颖又不落俗套 同时保证了命题背景的公平性 求解这类问题时 除了需要正确理解题意 提高数学知识的运用能力外 还要求平时多了解社会 常结合课本知识来开展一些研究性学习活动 这样的函数应用问题一旦出现 一般为中档难度题 多以解答题的形式为主 但也不排除出现选择题或填空题的可能 1 2014 陕西卷 如图 某飞行器在4千米高空水平飞行 从距着陆点a的水平距离10千米处开始下降 已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分 则该函数的解析式为 a b c d 2 2013 陕西卷 在如图所示的锐角三角形空地中 欲建一个面积最大的内接矩形花园 阴影部分 则其边长x为 m 解析 如图 过a作ah bc于h 交de于f 易知 则s x 40 x 当且仅当40 x x 即x 20时取等号 所以满足题意的边长x为20m 答案 20 3 2012 江苏卷 如图 建立平面直角坐标系xoy x轴在地平面上 y轴垂直于地平面 单位长度为1千米 某炮位于坐标原点 已知炮弹发射后的轨迹在方程y kx 1 k2 x2 k 0 表示的曲线上 其中k与发射方向有关 炮的射程是指炮弹落地点的横坐标 1 求炮的最大射程 2 设在第一象限有一飞行物 忽略其大小 其飞行高度为3 2千米 试问它的横坐标a不超过多少时 炮弹可以击中它 请说明理由 解析 1 令y 0 得kx 1 k2 x2 0