贵州省遵义市私立贵龙中学高三数学总复习 函数的单调性与最值课件 新人教A版 .ppt

第4讲 函数的单调性与最值 1 函数的单调性定义 f x1 f x2 单调增区间 设函数y f x 的定义域为a 区间i a 如果对于区间i 内的任意两个值x1 x2 当x1 x2时 都有y f x 在区间i上是单调增函数 i称为y f x 的 那么就说 如果对于区间i内的任意两个值x1 x2 当x1 x2时 都有 那么就说y f x 在区间i上是单调减函数 i 称为y f x 的 f x1 f x2 单调减区间 2 用导数的语言来讲函数的单调性 设函数y f x 如果在某区间i上间i上的增函数 如果在某区间i上 那么f x 为区 那么f x 为区间i 上的减函数 f x 0 f x 0 3 函数的最大 小 值设函数y f x 的定义域为a 如果存在定值x0 a 使得对 于任意x a 有 恒成立 那么称f x0 为y f x 的最大 恒 值 如果存在定值x0 a 使得对于任意x a 有成立 那么称f x0 为y f x 的最小值 f x f x0 f x f x0 x r 的值域是 1 已知函数f x 的值域是 2 3 则函数f x 2 的值域为 d a 4 1 c 4 1 0 5 b 0 5 d 2 3 2 函数f x 11 x 2 b a 0 1 b 0 1 c 0 1 d 0 1 d 3 函数y x2 6x的减区间是 a 2 b 2 c 3 d 3 4 二次函数f x x2 2ax b在区间 4 上是减函数 你能确定的是 c a a 4 b a 2 c a 4 d b 2 5 已知f x 3xx 3 x 4 6 则f x 的最大值与最小值分 别为 12 6 考点1 判断函数的单调性 1 判断函数f x 的奇偶性 2 若f x 在区间 2 上是增函数 求实数a的取值范围 解析 1 当a 0时 f x x2为偶函数 当a 0时 f x 既不是奇函数也不是偶函数 2 方法一 设x2 x1 2 x1x2 x1 x2 a x1 x2x1x2 由x2 x1 2得x1x2 x1 x2 16 x1 x20 要使f x 在区间 2 上是增函数 只需f x1 f x2 0恒成立 则a 16 要使f x 在区间 2 上是增函数 则a 2x3 16 恒成立 故当a 16时 f x 在区间 2 上是增函数 互动探究 1 已知f x xx a x a 1 若a 2 试证f x 在 2 内单调递增 2 若a 0且f x 在 1 内单调递减 求a的取值范围 则f x1 f x2 2 x1 x2 x1 2 x2 2 x1 2 x2 2 0 x1 x2 0 f x1 f x2 f x 在 2 内单调递增 1 证明 任设x1 x2 2 3 y 2 5 y x 2 解 任设1 x1 x2 则 考点2函数的最值与值域例2 求下列函数的值域 1 y 3x 2x 2 2 y x2 2x 3 5 x 2 x2 xx x 1 4 y x 2x 1 4x x x 1 0 y 3 解题思路 关于x的一次分式函数 这种题目可通过求关于x的方程在定义域内有解的条件来求得值域 也可以经过变形 分离常量 观察得出结果 有理分式函数 去分母化成关于x的二次方程 用判别式可求值域 也可把函数解析式化成a b 2 a b是常数 的形式来求值域 用换元法将无理函 数化为有理函数或将已知等式化成关于x的二次方程 用判别式求函数的值域 解析 1 方法一 y 3x 2x 2 3x 6 8 3 x 2 8x 2 由于 8x 2 3 方法一 y 2 1 2 x x 1 函数y 3x 2x 2 的值域是 y y r且y 3 3x 2方法二 由y 得x x 2 2 y 1 y 3 y 3 2 y x2 2x 3 x 1 2 4 x 5 2 其图像是开口向下 顶点为 1 4 在x 5 2 上对应的抛物线上的一段弧 当x 5时 ymin 12 当x 2时 ymax 3 y x2 2x 3 5 x 2 的值域是 12 3 x2 xx x 1 1 ax b 故x 2时 f x 极大值 f 2 4 x 2时 f x 极小值 f 2 4 所求函数的值域为 4 4 4 反函数法 适用于形如y cx d 类的函数 常用的求值域的方法有 1 代入法 适用于定义域为有限集的函数 2 分离系数法 若函数y f x 解析式中含有 x x2 sinx cosx等元素 又能用y表示出来 则利用这些元素的有界性解出y的范围 3 配方法 适用于二次函数类的函数 mx nx p 3 y 2 5 判别式法 适用于形如y ax2 bx c2 类的函数 6 换元法 主要处理一些根式类的函数 7 不等式法 借助于不等式的性质和均值不等式等工具求最值 8 最值法 通过求导求出最值 互动探究 2 求下列函数的值域 1 y 3x 25 4x 2 y x2 x 2 3x2 1x 2 考点3 借助于导数判断函数的单调性 解题思路 可用分离参数的方法 再结合不等式恒成立知识求解 也可求出整个函数的递增 减 区间 再用所给区间是所求区间的子区间知识求解 解析 函数f x 的导数f x x2 ax a 1 令f x 0 解得x 1或x a 1 当a 1 1即a 2时 函数f x 在 1 上为增函数 不合题意 当a 1 1 即a 2时 函数f x 在 1 上为增函数 在 1 a 1 内为减函数 在 a 1 上为增函数 依题意应有 当x 1 4 时 f x 0 当x 6 时 f x 0 所以4 a 1 6 解得5 a 7 所以a的取值范围是 5 7 在研究函数的单调性时 当函数解析式中既含有指数函数 对数函数 又含有二次或三次函数 定义法判断单调性较为困难 用导数来研究较为方便 本题关键之处在于就变量系数值进行分类讨论 互动探究 3 设f x g x 分别是定义在r上的奇函数和偶函数 当x 0时 f x g x f x g x 0 且g 3 0 则不等式f x g x 0的解集是 d a 3 0 3 c 3 3 b 3 0 0 3 d 3 0 3 解析 当x0 所以函数f x g x 在 0 上为增函数 又f x g x 为奇函数 f x g x 在 0 上为增函数 且f 3 g 3 0 f 3 g 3 0 故f x g x 0的解集为 3 0 3 错源 没有考虑定义域 误解分析 1 忽略x需满足4x x2 0这个条件 2 对复合 函数单调性的判断出错 互动探究 4 2011届兰州一中考试 函数 y x sinx y x cosx y x cosx y x 2x的图像 部 如图2 4 1 但顺序被打乱 c 照从左到右将图像对应的函数序号安排正确的一组是 图2 4 1 则按 a b c d f mx mf x 0恒成立 则实数m的取值范围是 解析 已知f x 为增函数且m 0 若m 0 由复合函数的单调性可知f mx 和mf x 均为增函数 此时不符合题意 当m 本题是较为典型的恒成立问题 解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解 属于难题 求函