浙江省杭州西兴中学九年级数学上册 第四章 相似三角形复习课件 （新版）浙教版.ppt

第四章相似三角形复习课 第一课时 一 比例线段 知识要点1 1 成比例的数 线段 其中 a b c d叫做组成比例的项 a d叫做比例外项 b c叫做比例内项 比例的性质 1 若a b c d成比例 且a 2 b 3 c 4 那么d 6 2 下列各组线段的长度成比例的是 a 2 3 4 1b 1 5 2 5 6 5 4 5 c 1 1 2 2 3 3 4 4d 1 2 2 4 练习 d 6 5 3 4 已知1 x x 2 2 x 3 求x 2 若 求 3 若 求 1或 4 7 3 1 5 4 5 5 6已知1 2 3三个数 请你再添上一个数 写出一个比例式 6或2 3或1 5 一 比例线段 2 比例中项 练习 当两个比例内项相等时 那么线段b叫做a和c的比例中项 一 比例线段 3 黄金分割 练习 定义 对应角相等 对应边成比例的三角形叫做相似三角形 相似比 相似三角形的对应边的比 叫做相似三角形的相似比 二 相似三角形 知识要点2 三角形相似的判定方法有哪几种 预备定理 de bc ade abc 二 相似三角形 相似三角形判定定理1 两个角对应相等的两个三角形相似 二 相似三角形 相似三角形判定定理2 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 二 相似三角形 相似三角形判定定理3 三边对应成比例的两个三角形相似 abc def 二 相似三角形 相似三角形的判定 1 平行于三角形一边的直线和其他两边相交 所构成的三角形与原三角形相似 2 有两个角对应相等的两个三角形相似 3 两边对应成比例 且夹角相等的两个三角形相似 4 三边对应成比例的两个三角形相似 二 相似三角形 a d e b a c b a b c d ade绕点a 旋转 d c a d e b c a b c d e b c a d e 点e移到与c点 重合 acb rt cd ab 相似三角形基本图形的回顾 相似三角形的性质 1 相似三角形的对应角相等 对应边成比例 2 相似三角形的周长比等于相似比 对应高的比等于相似比 3 相似三角形的面积比等于相似比的平方 二 相似三角形 二 知识应用 1 找一找 1 如图1 已知 de bc ef ab 则图中共有 对三角形相似 2 如图2 已知 abc中 acb rt cd ab于d de bc于e 则图中共有 个三角形和 abc相似 3 4 4 4 已知 四边形abcd内接于 o 连结ac和bd交于点e 则图中共有 对三角形相似 5 已知 四边形abcd内接于 o 连结ac和bd交于点e 且ac平分 bad 则图中共有 对三角形相似 6 2 6 将两块完全相同的等腰直角三角形摆放成如图所示的样子 假设图形中的所有点 线都在同一平面内 试写出一对相似三角形 不全等 ade bae cda都相似 1 如图 正方形abcd的边长为8 e是ab的中点 点m n分别在bc cd上 且cm 2 则当cn 时 cmn与 ade相似 1或4 练一练 2 在平面直角坐标系 b 1 0 a 3 3 c 3 0 点p在y轴的正半轴上运动 若以o b p为顶点的三角形与 abc相似 则点p的坐标是 p 0 1 5 或 0 2 3 练一练 3 如图 在 abc中 ab 5 ac 4 e是ab上一点 ae 2 在ac上取一点f 使以a e f为顶点的三角形与 abc相似 那么af 练一练 4 如图 在直角梯形中 bad d acb 90 cd 4 ab 9 则ac 6 5 如图 已知点p是边长为4的正方形abcd内的一点 且pb 3 bf bp 试问在射线bf上是否存在一点e 使以点b e c为顶点的三角形与 abp相似 若存在 请求出be的长 若不存在 请说明理由 f 练一练 练一练 6 在 abc中 ab 8cm bc 16cm 点p从点a开始沿ab边向b点以2cm 秒的速度移动 点q从点b开始沿bc向点c以4cm 秒的速度移动 如果p q分别从a b同时出发 经几秒钟 bpq与 bac相似 或ap ac ac ab 练一练 7 如图点p是 abc的ab边上的一点 要使 apc acb 则需补上哪一个条件 8 如图 点c d在线段ab上 pcd是等边三角形 1 当ac cd db满足怎样关系时 pca bdp 2 当 pca bdp时 求 apb的度数 练一练 9 如图d e分别ab ac是上的点 aed 72o a 58o b 50o 那么 ade和 abc相似吗 若ae 2 ac 4 则bc是de的倍 练一练 10 若 acp abc ap 4 bp 5 则ac acp与 abc的相似比是 周长之比是 面积之比是 6 2 3 2 3 练一练 4 9 11 如图 已知 abc cdb 90 ac 5cm bc 3cm 当bd取多少cm时 abc和 bdc相似 4 2 以正方形的边长等量过渡 3 请找出图中的相似三角形 练一练 13 在平行四边形abcd中 ae be 1 2 若s aef 6cm2 则s cdf cm2 54 s adf cm2 18 练一练 14 如图 中 则 四边形 四边形 答案 画一画 1 如图 在 abc和 def中 a d 700 b 500 e 300 画直线a 把 abc分成两个三角形 画直线b 把 def分成两个三角形 使 abc分成的两个三角形和 def分成的两个三角形分别相似 要求标注数据 300 300 200 200 画一画 2 在方格纸中 每个小格的顶点叫做格点 以格点为顶点的三角形叫做格点三角形 在如图4 4的格纸中 abc是一个格点三角形 1 在右图中 请你画一个格点三角形 使它与 abc相似 相似比不为1 2 在右图中 请你再画一个格点三角形 使它与 abc相似 相似比不为1 但与图1中所画的三角形大小不一样 例1 如图 正方形abcd中 e是dc中点 fc bc 求证 ae ef 证明 四边形abcd是正方形 bc cd ad d c 90 e是bc中点 fc bc ade ecf 1 2 d 90 1 3 90 2 3 90 ae ef 例2 如图 de bc ef ab 且s ade 25 s cef 36 求 abc的面积 解 de bc ef ab a cef aed c ade efc de bc ade abc s ade 25 s abc 121 例3 如图 o是 abc的外接圆 ab ac 求证 ab2 ae ad 证明 连接bd ab ac adb abe 又 bad eab abc aeb ab2 ae ad 证明 cd ab e为ac的中点 de ae eda a eda fdb a fdb acb rt a fcd 900 cba fdb fcd f f fdb fcd bd cd df cf bd cf cd df 例4如图 cd是rt abc斜边上的高 e为ac的中点 ed交cb的延长线于f c e a d f b 求证 bd cf cd df 例5 过abcd的一个顶点a作一直线分别交对角线bd 边bc 边dc的延长线于e f g 求证 ea2 ef eg 分析 要证明ea2 ef eg 即证明成立 而ea eg ef三条线段在同一直线上 无法构成两个三角形 此时应采用换线段 换比例的方法 可证明 aed feb aeb ged 证明 ad bfab bc aed feb aeb ged 例6 如图 在 abc中 acb 900 四边形bedc为正方形 ae交bc于f fg ac交ab于g 求证 fc fg 证明 四边形bedc为正方形 cf de acf ade 又 fg ac be agf abe 由 可得 又 de be fc fg 例7 如图 ab ad bc de ac ae 1 求证 bad cae 2 若已知ab 6 bd 3 ac 4 求ce的长 1 得 abc ade bac dae bac dac dae dac 即 bad cae 2 由 bad cae abd ace 证明 相似三角形性质应用 2 如图 ad bc d为垂足 ad 8 bc 10 efgh是 abc内接矩形 h g是bc上的两个动点 但h不到达点b g不到达点c 设eh x ef y 1 求y与x之间的函数关系式 并求自变量x的取值范围 2 当ef eh 9时 求矩形efgh的周长和面积 相似三角形性质应用 相似三角形性质应用 4 如图 在等腰 abc中 bac 90 ab ac 1 点d是bc边上的一个动点 不与b c重合 在ac上取一点e 使 ade 45 1 求证 abd dce 2 设bd x ae y 求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围 并求出当bd为何值时ae取得最小值 3 当 ade是等腰三角形时 求ae的长 拓展提高 1 如图 在等腰 abc中 bac 90 ab ac 1 点d是bc边上的一个动点 不与b c重合 在ac上取一点e 使 ade 45 1 求证 abd dce adc是 abd的外角 adc ade 2 b 1 2 1 证明 ab ac bac 90 b c 45 又 ade 45 ade b 1 2 abd dce 2 设bd x ae y 求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围 并求出当bd为何值时ae取得最小值 解 abd dce 1 如图 在等腰 abc中 bac 90 ab ac 1 点d是bc边上的一个动点 不与b c重合 在ac上取一点e 使 ade 45 3 当 ade是等腰三角形时 求ae的长 ad ae ae de de ad 如图 在等腰 abc中 bac 90 ab ac 1 点d是bc边上的一个动点 不与b c重合 在ac上取一点e 使 ade 45 1 分类讨论 5 如图 在直角梯形abcd中 ab cd a 900 ab 2 ad 5 p是ad上一动点 不与a d重合 交 于点 abp与 dpe是否相似 请说明理由 设 x y 求y与x之间的函数关系式 并指出自变量x的取值范围 3 请你探索在点p运动的过程中 四边形abed能否构成矩形 如果能 求出ap的长 如果不能 请说明理由 4 请你探索在点p运动的过程中 bpe能否成为等腰三角形 如果能 求出ap的长 如果不能 请说明理由 2 5 x y 5 x 拓展提高 6 如图 梯形abcd中ad bc abc 90 ad 9 bc 12 ab 10 在线段bc上任取一p 作射线pe pd 与线段ab交于点e 1 试确定cp 5时点e的位置 2 若设cp x be y 试写出y关于自变量x的函数关系式 并求出自变量x的取值范围 提示 体会这个图形的 模型 作用 将会助你快速解题 拓展提高 7 如图 已知抛物线与x轴交于a b两点 与y轴交于c点 1 求此抛物线的解析式 2 抛物线上有一点p 满足 pbc 90 求点p的坐标 3 在 2 的条件下 问在y轴上是否存在点e 使得以a o e为顶点的三角形与 pbc相似 若存在 求出点e的坐标 若不存在 请说明理由 2 3 q 6 拓展提高 8 某生活小区的居民筹集资金1600元 计划在一块上 下底分别为10m 20m的梯形空地上种植花木 如下图 1 他们在 amd和 bmc地带种植太阳花 单价为8元 m2 当在 amd地带 图中阴影部分 中种满花后 共用去了160元 请计算种满 bmc地带所需的费用是多少元 2 若其余地带要种的有玫瑰花和茉莉花两种花木可供选择 单价分别为12元 m2 10元 m2 应选择哪种花木 刚好用完所筹集的资金 3 若梯形abcd为等腰梯形 面积不变 如图2 请你设计一种花坛图案 即在梯形内找到一点p 使得 apb dpc 且 ap