高中数学 3.2第1课时抛物线及其标准方程课件 北师大版选修21.ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 北师大版 选修2 1 圆锥曲线与方程 第三章 3 2抛物线第1课时抛物线及其标准方程 第三章 1 叫作抛物线 点f叫作抛物线的 直线l叫作抛物线的 焦点到准线的距离 定长p 叫作抛物线的 2 抛物线y2 2px p 0 的焦点坐标是 准线方程是 3 过抛物线焦点的直线与抛物线相交 被抛物线所截得的线段 称为抛物线的 4 通过抛物线的焦点作垂直于坐标轴而交抛物线于a b两点的线段 称为抛物线的通径 通径 ab 的长等于 平面内到定点f的距离等于到定直线l 定点不在定直线上 的距离的点的轨迹 焦点 准线 焦准距 焦点弦 2p 1 对抛物线定义的理解 1 定义条件 直线l不经过定点f 2 一动三定 一动 即动点p 三定 即定点f 定直线l和定值 也就是p到定点f与定直线的距离的比值是定值1 2 抛物线标准方程的特点 1 方程特点 抛物线的标准方程是关于x y的二元二次方程 等号的左边是其中一个变量的平方 另一边是另一个变量的一次项 2 参数p 在抛物线的方程中只有一个参数p 它的几何意义是焦点到准线的距离 因此p 0 p越大 抛物线开口越开阔 反之越扁狭 3 四种标准方程的位置的相同点 原点在抛物线上 焦点在坐标轴上 准线与焦点在原点两侧 且准线与其中一条坐标轴垂直 3 抛物线的焦点及开口方向 4 定义的应用抛物线上一点到焦点的距离与它到准线的距离相等 因此 这两种距离可以相互转化 凡涉及抛物线上一点到焦点的距离都可以转化为到准线有距离 应用定义通常可方便解决求抛物线的标准方程以及抛物线的最值等类型的问题 1 抛物线y2 20 x的焦点坐标是 a 10 0 b 5 0 c 0 10 d 0 5 答案 b 4 在平面直角坐标系xoy中 若抛物线y2 4x上的点p到该抛物线的焦点的距离为6 则点p的横坐标x 答案 5 解析 设p x0 y0 抛物线y2 4x的准线x 1 则p到准线的距离为x0 1 p到焦点的距离为6 由抛物线定义得x0 1 6 x0 5 5 抛物线y ax2的准线方程是y 2 则a的值为 求满足下列条件的抛物线的标准方程 并求对应抛物线的准线方程 1 过点 3 2 2 焦点在直线x 2y 4 0上 分析 从方程形式看 求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p 因此只需一个条件即可 求抛物线的标准方程 总结反思 求抛物线标准方程的方法 直接法 直接利用题中已知条件确定焦参数p 待定系数法 先设出抛物线的方程 再根据题中条件 确定焦参数p 当焦点位置不确定时 应分类讨论或设抛物线方程为y2 mx或x2 my 已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式 已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式 需根据四种抛物线的图象及开口方向确定 根据下列条件写出抛物线的标准方程 1 准线方程为x 1 2 焦点在x轴的正半轴上 焦点到准线的距离是2 若动圆与圆 x 2 2 y2 1外切 又与直线x 1 0相切 则动圆圆心的轨迹方程是 a y2 8xb y2 8xc y2 4xd y2 4x 分析 设动圆的半径为r 圆心为o x y 且o 到点 2 0 的距离为r 1 o 到直线x 1的距离为r 所以o 到 2 0 的距离与到直线x 2的距离相等 由抛物线的定义知y2 8x 答案 a 抛物线的定义及其应用 若抛物线y2 2px p 0 上有一点m 其横坐标为 9 它到焦点的距离为10 求点m的坐标 抛物线焦点弦性质 如图 抛物线顶点在原点 圆x2 y2 4x 0的圆心恰是抛物线的焦点 1 求抛物线的方程 2 一直线的斜率等于2 且过抛物线焦点 它依次截抛物线和圆于a b c d四点 求 ab cd 解析 1 圆的方程为 x 2 2 y2 22 知圆心坐标为 2 0 即抛物线的焦点为f 2 0 p 4 抛物线方程为y2 8x 2 由题意知直线ad的方程为y 2 x 2 即y 2x 4 代入y2 8x 得x2 6x 4 0 设a x1 y1 d x2 y2 则x1 x2 6 ad x1 x2 p 6 4 10 又圆直径 bc 4 ab cd ad bc 10 4 6 已知定点m a 0 试在抛物线y2 2px p 0 上求一点n 使得 mn 最小 分析 在抛物线上任取一点n 再利用两点间距离公式表示出 mn 与抛物线有关的最值问题 在抛物线y2 2x上求一点p 使其到直线l x y 4 0的距离最小 并求最小距离 总结反思 解法一应用点到直线的距离公式建立目标函数 将原问题转化为函数的最值问题 解法二转化为求与已知直线平行并且与抛物线只有一个公共点 相切