江苏省苏州市第五中学高考数学总复习 第4讲 数列求和课件.ppt

第4讲数列求和 2 数列求和的几种常用方法 1 分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成 则求和时可用分组求和法 分别求和后相加减 2 裂项相消法把数列的通项拆成两项之差 在求和时中间的一些项可以相互抵消 从而求得其和 3 错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的 那么这个数列的前n项和即可用此法来求 如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的 4 倒序相加法如果一个数列 an 的前n项中首末两端等 距离 的两项的和相等或等于同一个常数 那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法 如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的 5 并项求和法在一个数列的前n项和中 可两两结合求解 则称之为并项求和 形如an 1 nf n 类型 可采用两项合并求解 例如 sn 1002 992 982 972 22 12 1002 992 982 972 22 12 100 99 98 97 2 1 5050 感悟 提升 两个防范一是用裂项相消法求和时 注意裂项后的系数以及搞清未消去的项 如 1 二是含有字母的数列求和 常伴随着分类讨论 如 2 中a需要分a 0 a 1 a 1且a 0三种情况求和 只有当a 1且a 0时可用错位相减法求和 考点一分组转化法求和 例1 已知数列 an 的通项公式是an 2 3n 1 1 n ln2 ln3 1 nnln3 求其前n项和sn 规律方法 1 等差数列 等比数列以及由等差数列 等比数列通过加 减构成的数列 它们可以使用等差数列 等比数列的求和公式求解 2 奇数项和偶数项分别构成等差数列或者等比数列的 可以分项数为奇数和偶数时使用等差数列或等比数列的求和公式 训练1 2014 湖州质检 在等比数列 an 中 已知a1 3 公比q 1 等差数列 bn 满足b1 a1 b4 a2 b13 a3 1 求数列 an 与 bn 的通项公式 2 记cn 1 nbn an 求数列 cn 的前n项和sn 规律方法使用裂项法求和时 要注意正负项相消时消去了哪些项 保留了哪些项 切不可漏写未被消去的项 未被消去的项有前后对称的特点 实质上造成正负相消是此法的根源与目的 考点三错位相减法求和 例3 2013 湖南卷 设sn为数列 an 的前n项和 已知a1 0 2an a1 s1 sn n n 1 求a1 a2 并求 an 的通项公式 2 求数列 nan 的前n项和 审题路线 1 令n 1求a1 令n 2求a2 利用an sn sn 1 n 2 推导an与an 1的关系式 由an与an 1的递推式求an 2 由 1 知数列 nan 错位相减法求和 得出结论 2 由 1 知 nan n 2n 1 记数列 n 2n 1 的前n项和为bn 于是bn 1 2 2 3 22 n 2n 1 2bn 1 2 2 22 3 23 n 2n 得 bn 1 2 22 2n 1 n 2n 2n 1 n 2n 从而bn 1 n 1 2n 规律方法 1 一般地 如果数列 an 是等差数列 bn 是等比数列 求数列 an bn 的前n项和时 可采用错位相减法求和 一般是和式两边同乘以等比数列 bn 的公比 然后作差求解 2 在写出 sn 与 qsn 的表达式时应特别注意将两式 错项对齐 以便下一步准确写出 sn qsn 的表达式 训练3 2013 嘉兴二模 在数列 an 中 a1 2 an 1 3an 2 1 记bn an 1 求证 数列 bn 为等比数列 2 求数列 nan 的前n项和sn 1 证明由an 1 3an 2 可得an 1 1 3 an 1 因为bn an 1 所以bn 1 3bn 又b1 a1 1 3 所以数列 bn 是以3为首项 以3为公比的等比数列 数列求和的方法技巧 1 倒序相加 用于等差数列 与二项式系数相关联的数列的求和 2 错位相减 用于等差数列与等比数列的积数列的求和 3 分组求和 用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和 答题模板7 求数列 an 的前n项和问题 典例 14分 2013 浙江卷 在公差为d的等差数列 an 中 已知a1 10 且a1 2a2 2 5a3成等比数列 1 求d an 2 若d 0 求 a1 a2 an 反思感悟 1 本题求解用了分类讨论思想 求数列 an 的和时 因为an有正有负 所以应分两类分别求和 2 常出现的错误 当n 11时 求 an 的和 有的学生认为就是s11 110 当n 12时 求 an 的和 有的学生不能转化为2 a1 a2 a11 a1 a2 an 导致出错 答题模板求数列 an 的前n项和一般步骤如下 第一步 求数列 an 的前n项和 第二步 令an 0 或an 0 确定分类标准 第三步 分两类分别求前n项和 第四步 用分段函数形式下结论 第五步 反思回顾 查看 a