高中数学 2.2.2反证法课件 新人教A版选修22(1).ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 人教a版 选修2 2 推理与证明 第二章 2 2直接证明与间接证明 第二章 2 2 2反证法 理解反证法的概念 掌握反证法的特点及证题的步骤 重点 反证法概念的理解以及反证法的证题步骤 难点 反证法的应用 我们在立体几何证题中曾经使用过反证法 那么反证法的定义 反证法的原理 用反证法证题的注意事项是怎样的呢 反证法 思维导航 1 反证法的定义一般地 假设原命题不成立 经过正确的推理 最后得出 因此说明假设 从而证明了原命题 这样的证明方法叫做反证法 反证法是间接证明的一种基本方法 2 反证法证题的原理 1 反证法的原理是 否定之否定等于肯定 2 用反证法解题的实质就是否定结论 导出矛盾 从而说明原结论正确 新知导学 矛盾 错误 成立 3 反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾 这个矛盾可以是与 矛盾 或与 矛盾 或与 公认的简单事实矛盾等 矛盾是在推理过程中发现的 不是推理之前设计的 已知条件 假设 定义 公理 定理 4 反证法的适用对象作为一种间接证明方法 反证法尤其适合证明以下几类数学问题 1 直接证明需分多种情况的 2 结论本身是以否定形式出现的一类命题 否定性命题 3 关于唯一性 存在性的命题 4 以 至多 至少 等形式出现的命题 5 条件与结论联系不够明显 直接由条件推结论的线索不够清晰 的反面是比原结论更具体 更容易研究的命题 结论 结论 1 应用反证法推出矛盾的推导过程中 要把下列哪些作为条件使用 原结论的相反判断 即假设 原命题的结论 公理 定理 定义等 原命题的条件a b c d 答案 c 解析 由反证法的规则可知 都可作为条件使用 故应选c 牛刀小试 2 2015 郑州市登封高二期中 用反证法证明某命题时 对其结论 自然数a b c中恰有一个偶数 正确的反设为 a a b c都是奇数b a b c都是偶数c a b c中至少有两个偶数d a b c中至少有两个偶数或都是奇数 答案 d 解析 自然数a b c中恰有一个偶数 即a b c中有两奇一偶 故其反面应为都是奇数或两偶一奇或都是偶数 故选d 3 如果两个实数之和为正数 则这两个数 a 一个是正数 一个是负数b 两个都是正数c 至少有一个正数d 两个都是负数 答案 c 解析 假设两个数分别为x1 x2 且x1 0 x2 0 则x1 x2 0 这与两个数之和为正数矛盾 所以两个实数至少有一个正数 故应选c 4 任何三角形的外角都至少有两个钝角 的否定应是 答案 存在一个三角形 其外角最多有一个钝角 解析 全称命题的否定形式为特称命题 而 至少有两个 的否定形式为 至多有一个 故该命题的否定为 存在一个三角形 其外角最多有一个钝角 5 用反证法证明 若函数f x 在区间 a b 上是增函数 那么方程f x 0在区间 a b 上至多只有一个实数根 解析 证明 假设方程f x 0在区间 a b 上至少有两个根 设 为其中的两个实根 因为 不妨设 又因为函数f x 在区间 a b 上是增函数 所以f f 这与假设f f 0矛盾 所以方程f x 0在区间 a b 上至多只有一个实数根 求证 若两条平行直线a b中的一条与平面 相交 则另一条也与平面 相交 分析 直接证明直线与平面相交比较困难 故可考虑用反证法 注意该命题的反面情形不止一种 需一一驳倒 才能推出命题结论正确 用反证法证明直接证明不易入手的问题 解析 不妨设直线a与平面 相交 b与a平行 从而要证b也与平面 相交 假设b不与平面 相交 则必有下面两种情况 1 b在平面 内 由a b a 平面 得a 平面 与题设矛盾 2 b 平面 则平面 内有直线b 使b b 而a b 故a b 因为a 平面 所以a 平面 这也与题设矛盾 综上所述 b与平面 只能相交 方法规律总结 用反证法证明数学命题的步骤第一步 审题 分清命题的条件和结论 第二步 反设 做出与命题结论相矛盾的假设 第三步 归谬 由假设出发 应用演绎推理方法 推出矛盾的结果 第四步 下结论 断定产生矛盾结果的原因 在于开始所做的假设不真 于是原结论成立 从而间接地证明了命题为真 已知p3 q3 2 求证p q 2 解析 假设p q 2 那么p 2 q 所以p3 2 q 3 8 12q 6q2 q3 将p3 q3 2代入消去p 得6q2 12q 6 0 即6 q 1 2 0 这与6 q 1 2 0矛盾 故假设错误 所以p q 2 点评 本题已知条件为p q的三次幂 而结论中只有p q的一次幂 若直接证明 应考虑到用立方根 同时用放缩法 但很难证 故考虑采用反证法 用反证法证明 至多 至少 等类型问题 分析 本题中 含有 至少存在一个 可考虑使用反证法 方法规律总结 1 当命题中出现 至少 至多 不都 都不 没有 唯一 等指示性词语时 宜用反证法 2 用反证法证题 必须准确写出命题的否定 把命题所包含的所有可能情形找全 范围既不缩小 也不扩大 常用反设词如下 用反证法证明存在性 唯一性命题 已知 一点a和平面 求证 经过点a只能有一条直线和平面 垂直 分析 证明 根据点a和平面 的位置关系 分两种情况证明 1 如图 点a在平面 内 假设经过点a至少有平面 的两条垂线ab ac 那么ab ac是两条相交直线 它们确定一个平面 平面 和平面 相交于经过点a的一条直线 因为ab 平面 ac 平面 a 所以ab a ac a 在平面 内经过点a有两条直线都和直线a垂直 这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾 2 如图 点a在平面 外 假设经过点a至少有平面 的两条垂线ab和ac b c为垂足 那么ab ac是两条相交直线 它们确定一个平面 平面 和平面 相交于直线bc 因为ab 平面 ac 平面 bc ab bc ac bc 在平面 内经过点a有两条直线都和bc垂直 这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾 综上 经过一点a只能有平面 的一条垂线 方法规律总结 1 证明 有且只有一个 的问题 需要证明两个命题 即存在性和唯一性 当证明结论以 有且只有 只有一个 唯一存在 等形式出现的命题时 由于反设结论易于导出矛盾 所以宜用反证法证明 2 若结论的反面情况有多种 则必须将所有的反面情况一一驳倒 才能推断结论成立 已知直线m与直线a和b分别交于a b且a b 求证 过a b m有且只有一个平面 即过a b m有一个平面 假设过a b m还有一个平面 异于平面 则a b a b 这与a b 过a b有且只有一个平面相矛盾 因此 过a b m有且只有一个平面 用反证法证明否定性命题 设 an 是公比为q的等比数列 sn是它的前n项和 1 求证 数列 sn 不是等比数列 2 数列 sn 是等差数列吗 为什么 分析 本题 1 是否定性命题 可以尝试反证法 2 当q 1时 sn 是等差数列 当q 1时 sn 不是等差数列 否则有s1 s2 s3成等差数列 即2s2 s1 s3 2a1 1 q a1 a1 1 q q2 由于a1 0 2 1 q 2 q q2 q q2 q 1 q 0 与q 0矛盾 方法规律总结 应用反证法的注意事项1 用反证法证题时 首先要搞清反证法证题的思路步骤 其次注意反证法是在条件较少 不易入手时常用的方法 2 结论中含有 不 不是 不可能 不存在 没有 等词语的否定性命题 结论的反面比较具体 适于应用反证法 3 注意否定命题时 要准确无误 4 用反证法证题时 必须把结论的否定作为条件使用 否则就不是反证法 有时在证明命题 若p 则q 的过程中 虽然否定了结论q 但是在证明过程中没有把 q 当作条件使用 也推出了矛盾或证得了结论 那么这种证明过程不是反证法 5 用反证法证题 最后要产生一个矛盾命题 常见的主要矛盾有 1 与数学公理 定理 公式 定义或已被证明了的结论相矛盾 2 与假设矛盾 3 与已知条件矛盾 4 与公认的简单事实矛盾 矛盾是在推理过程中发现的 不是推理之前设计的 平面上有四个点 没有三点共线 证明以每三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形 证明 假设以每三点为顶点的四个三角形都是锐角三角形 记这四个点为a b c d 考虑 abc 则有点d在 abc之内或之外两种情况 1 如果点d在 abc之内 图1 根据假设以d为顶点的三个角都是锐角 其和小于270 这与一个圆周角等于360 矛盾 准确写出反设 2015 郑州市登封高二期末 已知a b c 0 ab bc ca 0 abc 0 求证 a 0 b 0 c 0 错解 假设a 0 b 0 c 0 则a b c 0 abc 0与题设条件a b c 0 abc 0矛盾 假设不成立 原命题成立 辨析 错解没有弄清原题待证的结论是什么 导致反设错误 求证 a 0 b 0 c 0 的含义是 求证a b c三数都是正数 故反设应为 假设a b c中至少有一个不大于0 正解 证法1 假设a b c中至少有一个不大于0 不妨设a 0 若a0 得bc0得 b c a 0 ab bc ac a b c bc0矛盾 又若a 0 则abc 0与abc 0矛盾 故 a 0 不成立