高中数学 3.1.1方程的根与函数的零点教学课件 新人教A版必修1.ppt

方程的根与函数的零点 在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中 方程的求解是其中璀璨的一座 虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法 但这一切却经历了相当漫长的岁月 我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程的求解的问题 如约公元50年 100年编成的 九章算术 就给出了求一次方程 二次方程和三次方程根的具体方法 方程解法史话 花拉子米 约780 约850 给出了一次方程和二次方程的一般解法 阿贝尔 1802 1829 证明了五次以上一般方程没有求根公式 方程解法史话 秦九韶 公元1202 1261 系统地总结和发展了高次方程数值解法 提出了 正负开方术 此法可以求出任意次代数方程的正根 问题 探究 方程 x2 2x 1 0 x2 2x 3 0 y x2 2x 3 y x2 2x 1 函数 函数的图象 方程的实数根 x1 1 x2 3 x1 x2 1 无实数根 函数的图象与x轴的交点 1 0 3 0 1 0 无交点 x2 2x 3 0 y x2 2x 3 问题 探究 问题2求出表中一元二次方程的实数根 画出相应的二次函数图象的简图 并写出函数的图象与x轴的交点坐标 方程ax2 bx c 0 a 0 的根 函数y ax2 bx c a 0 的图象 判别式 b2 4ac 0 0 0 函数的图象与x轴的交点 有两个相等的实数根x1 x2 没有实数根 x1 0 x2 0 x1 0 没有交点 两个不相等的实数根x1 x2 问题3若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程及相应的二次函数的图象与x轴交点的关系 上述结论是否仍然成立 对于函数y f x 叫做函数y f x 的零点 方程f x 0有实数根 函数的零点定义 等价关系 使f x 0的实数x 零点的求法 代数法 图象法 互动交流 2 区别 1 联系 数值上相等 求函数零点就是求方程的根 存在性相同 函数y f x 有零点 方程f x 0有实数根 函数y f x 的图象与x轴有交点 零点对于函数而言 根对于方程而言 问题4 函数的零点与方程的根有什么联系和区别 例1 求函数f x lg x 1 的零点 求函数零点的步骤 1 令f x 0 2 解方程f x 0 3 写出零点 观察下列三组画面 请你推断哪组画面一定能说明小马已经成功过河 观察与探究 观察函数的图象并填空 在区间 a b 上f a f b 0 或 在区间 a b 上 有 无 零点 在区间 b c 上f b f c 0 或 在区间 b c 上 有 无 零点 在区间 c d 上f c f d 0 或 在区间 c d 上 有 无 零点 有 有 有 问题 探究 问题5 函数y f x 在某个区间上是否一定有零点 怎样的条件下 函数y f x 一定有零点 观察下面函数图象思考 虽然函数f x 满足了f 1 f 1 0 但它在区间 1 1 上却没有零点 为什么 观察与探究 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有f a f b 0 那么 函数y f x 在区间 a b 内有零点 即存在c a b 使得f c 0 这个c也就是方程f x 0的根 函数零点存在性定理 c c 练习 判断正误 若不正确 请使用函数图象举出反例 1 已知函数y f x 在区间 a b 上连续 且f a f b 0 则f x 在区间 a b 内没有零点 3 已知函数y f x 在区间 a b 上连续 且在区间 a b 内存在零点 则有f a f b 0 4 已知函数y f x 在区间 a b 满足f a f b 0 则f x 在区间 a b 内存在零点 函数零点存在性定理的理解 函数零点存在定理的四个注意点 1函数是连续的 2定理不可逆 3至少存在一个零点 不排除更多 4在零点存在性定理的条件下 如果函数具有单调性 函数y f x 在区间 a b 上存在唯一零点 由表3 1和图3 1 3可知 f 2 0 即f 2 f 3 0 说明这个函数在区间 2 3 内有零点 由于函数f x 在定义域 0 内是增函数 所以它仅有一个零点 解 用计算器或计算机作出x f x 的对应值表 表3 1 和图象 图3 1 3 4 1 3069 1 0986 3 3863 5 6094 7 7918 9 9459 12 0794 14 1972 例题2求函数f x lnx 2x 6的零点个数 函数零点存在性定理的应用 你能判断出方程 x x2 3实数根的个数吗 试一试 1 口诀 函数零点方程根 形数本是同根生 是否存在端点判 函数连续要记清 归纳整理 整体认识 本节课你收获了什么 一个关系 函数零点与方程根的关系 两种思想 函数方程思想 数形结合思想 三种题型 求函数零点 确定零点个数 求零点所在区间 归纳整理 整体认识 布置作业 1 利用函数图象判断下列方程有几个根 1 2x x 2 3 2 ex