高中数学 第三章 3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用课件 新人教A版选修23.ppt

3 2独立性检验的基本思想及其初步应用 2 2列联表 等高条形图及独立性检验的思想和方法1 2 2列联表 1 分类变量的概念变量的不同 值 表示个体所属的 像这样的变量称为分类变量 不同类别 2 2 2列联表一般地 假设有两个分类变量x和y 它们的取值分别为 x1 x2 和 y1 y2 其样本频数列联表 称为2 2列联表 为 2 等高条形图与表格相比 图形更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响 常用 展示列联表数据的频率特征 等高条形图 3 独立性检验的思想和方法 随机变量k2 a b c d 临界值k0 观测值k k k0 犯错误的 概率 判断 正确的打 错误的打 1 分类变量中的变量与函数中的变量是同一概念 2 独立性检验的方法就是反证法 3 列联表频率分析法 等高条形图可初步分析两分类变量是否有关系 而独立性检验中k2取值则可通过统计表从数据上说明两分类变量的相关性的大小 4 通过2 2列联表若求出样本数据恰好满足ad bc 则说明两分类变量相关性很强 提示 1 错误 分类变量 如性别变量 可取值为男 女 这里的性别为变量 它不一定为数值 而函数中的变量一定为实数 故此种说法错误 2 错误 独立性检验是在假设两分类变量无关的基础上推出一个小概率事件 在一定可信度的基础上说明假设是否成立的方法 而反证法是按照一定的逻辑推出与已知或已经成立的结论相矛盾的证明方法 两者不尽相同 故此种说法错误 3 正确 列联表或等高条形图能直观地感受两分类变量是否相关 具体可用独立性检验的方法从可信度上检验两分类变量相关性的大小 故此种说法正确 4 错误 通过2 2列联表若求出样本恰好满足ad bc 则说明两个分类变量几乎不可能有关 故此种说法错误 答案 1 2 3 4 知识点拨 1 对分类变量的理解 1 分类变量的取值一定是离散的 而且不同的取值仅表示个体所属的类别 如性别变量 只取男 女两个值 商品的等级变量只取一级 二级 三级等 2 分类变量的取值有时可用数字来表示 但这时的数字除了分类以外没有其他的含义 如用 0 表示 男 用 1 表示 女 2 在实际问题中常用的几个数值 k 6 635表示认为 x与y有关系 犯错误的概率不超过0 01 k 3 841表示认为 x与y有关系 犯错误的概率不超过0 05 k 2 706表示认为 x与y有关系 犯错误的概率不超过0 1 k 2 706就认为没有充分证据显示 x与y有关系 3 独立性检验的基本思想与反证法的思想的相似之处 类型一关于 相关 的检验 典型例题 1 2013 滨州高二检测 通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动 得到如下的列表 由算得 附表 参照附表 可得在犯错误的概率不超过 的前提下 认为 爱好该项运动与性别有关 2 某校对学生的课外活动进行调查 结果整理成下表 试用你所学过的知识分析 能否在犯错误的概率不超过0 005的前提下 认为 喜欢体育还是文娱与性别有关系 解题探究 1 附表中 p k2 k 的作用是什么 2 犯错误的概率不超过0 005对应的k值是多少 探究提示 1 附表中 p k2 k 的作用是借助k2的观测值k分析所作出的假设是否正确 2 犯错误的概率不超过0 005对应的k值是7 879 解析 1 因为k 7 8 6 635 所以根据独立性检验的定义可知在犯错误的概率不超过0 01的前提下 认为 爱好该项运动与性别有关 答案 0 01 2 假设 喜欢体育还是文娱与性别没有关系 因为a 21 b 23 c 6 d 29 n 79 所以 即在犯错误的概率不超过0 005的前提下认为 喜欢体育还是文娱与性别有关系 拓展提升 两个分类变量相关关系的判断1 等高条形图法在等高条形图中 可以估计满足条件x x1的个体中具有y y1的个体所占的比例也可以估计满足条件x x2的个体中具有y y1的个体所占的比例 两个比例的值相差越大 x与y有关系成立的可能性就越大 2 观测值法通过2 2列联表 先计算k2的观测值k 然后借助k的含义判断 两个分类变量有关系 这一结论成立的可信程度 变式训练 高中流行这样一句话 文科就怕数学不好 理科就怕英语不好 下表是一次针对高三文科学生的调查所得的数据 能否在犯错误的概率不超过0 01的前提下 认为 文科学生总成绩不好与数学成绩不好有关 解题指南 先计算k 然后判断k与6 635的关系 解析 根据题意计算得因此 在犯错误的概率不超过0 01的前提下 我们认为 文科学生总成绩不好与数学成绩不好有关 类型二关于 无关 的检验 典型例题 1 考察棉花种子经过处理与得病之间的关系得到如下表数据 根据以上数据 则在犯错误的概率不超过0 05的前提下 认为 a 种子生病与是否经过处理有关b 种子生病与是否经过处理无关c 种子是否经过处理决定是否生病d 以上都是错误的 2 为了探究学生选报文 理科是否与对外语的兴趣有关 某同学调查了361名高二在校学生 调查结果如下 理科对外语有兴趣的有138人 无兴趣的有98人 文科对外语有兴趣的有73人 无兴趣的有52人 能否在犯错误的概率不超过0 1的前提下 认为 学生选报文 理科与对外语的兴趣有关 解题探究 1 如何判断种子生病与是否经过处理的关系 2 犯错误的概率不超过0 1 对应的k值是多少 探究提示 1 通过数据先计算k值 然后结合k的含义进行判断 2 犯错误的概率不超过0 1 对应的k值是2 706 解析 1 选b 0 1641 3 841 又p k2 3 841 0 05 故种子生病与是否经过处理无关 2 根据题目所给的数据得到如下列联表 根据列联表中数据由公式计算得因为1 871 10 4 2 706 所以 在犯错误的概率不超过0 1的前提下 不能认为 学生选报文 理科与对外语的兴趣有关 拓展提升 有关 无关 的检验方法 无关 的检验方法同 有关 的检验方法相同 也可以利用 等高条形图 和 观测值k 只是选取的判断点不一样罢了 变式训练 研究人员选取170名青年男女大学生的样本 对他们进行一种心理测验 发现有60名女生对该心理测验中的最后一个题目的态度是 肯定的18名 否定的42名 110名男生在相同的题目上肯定的有22名 否定的有88名 问 能否在犯错误的概率不超过0 1的前提下 认为 性别与态度之间存在某种关系 解析 根据题目所给的数据得到如下列联表 根据表中的数据得因为2 158 2 706 所以 在犯错误的概率不超过0 1的前提下 不能认为 性别与态度之间存在某种关系 类型三独立性检验的综合应用 典型例题 1 某小学对232名小学生调查发现 180名男生中有98名有多动症 另外82名没有多动症 52名女生中有2名有多动症 另外50名没有多动症 用独立性检验的方法判断多动症与性别 填 有关 或 无关 2 2013 黄冈高二检测 某企业有两个分厂生产某种零件 按规定内径尺寸 单位 mm 的值落在 29 94 30 06 的零件为优质品 从两个分厂生产的零件中各抽出了500件 量其内径尺寸 得结果如表 甲厂 乙厂 1 试分别估计两个分厂生产零件为优质品的概率 2 由以上统计数据填下面2 2列联表 并问 在犯错误的概率不超过0 01的前提下 是否能认为 两个分厂生产的零件的质量有差异 解题探究 1 判断多动症与性别是否有关系的关键是什么 2 由题2中所给数据可以得出甲厂与乙厂的优质品数分别是多少 探究提示 1 判断多动症与性别是否有关系的关键是计算k 2 甲厂的优质品数是360件 乙厂的优质品数是320件 解析 1 由题目数据列出如下列联表 由表中数据可得到所以 在犯错误的概率不超过0 001的前提下 认为多动症与性别有关系 答案 有关 2 1 甲厂抽查的产品中有360件优质品 从而甲厂生产的零件的优质品率估计为乙厂抽查的产品中有320件优质品 从而乙厂生产的零件的优质品率估计为 2 由表中数据得因此 在犯错误的概率不超过0 01的前提下 认为 两个分厂生产的零件的质量有差异 拓展提升 解独立性检验问题的基本步骤 1 认真读题 指出相关数据 得出2 2列联表 2 根据2 2列联表中的数据 计算k2的观测值k 3 通过观测值k与临界值k0的比较 4 在犯错误的概率不超过 的前提下能否推断 x与y有关系 变式训练 某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查 并用茎叶图表示30人的饮食指数 如图所示 说明 图中饮食指数低于70的人 饮食以蔬菜为主 饮食指数高于70的人 饮食以肉类为主 1 根据茎叶图 帮助这位同学说明其亲属30人的饮食习惯 2 根据以上数据完成如表所示的2 2列联表 3 在犯错误的概率不超过0 01的前提下 是否能认为 其亲属的饮食习惯与年龄有关 解析 1 30位亲属中50岁以上的人多以食蔬菜为主 50岁以下的人多以食肉类为主 2 2 2列联表如表所示 3 故在犯错误的概率不超过0 01的前提下认为 其亲属的饮食习惯与年龄有关 易错误区 因不理解独立性检验的含义致误 典例 2013 漳州高二检测 某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用 把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录进行比较 提出假设h 这种血清不能起到预防感冒的作用 利用2 2列联表计算得k2 3 918 经查临界值表知p k2 3 841 0 05 则下列表述中正确的是 a 在犯错误的概率不超过0 05的前提下认为 这种血清能起到预防感冒的作用 b 若有人未使用该血清 那么他一年中有95 的可能性得感冒c 这种血清预防感冒的有效率为95 d 这种血清预防感冒的有效率为5 解析 选a 由题意可知根据k2 3 918 3 841 又p k2 3 841 0 05 因此说明了在犯错误的概率不超过0 05的前提下认为 这种血清能起到预防感冒的作用 b c d表达有误 误区警示 防范措施 1 强化对概念或原理的理解数学概念或原理是一切知识生成和拓展的基础 正确理解数学概念或原理是解决数学问题的关键 要确认 两个分类变量有关系 这一结论成立的可信程度 首先假设该结论不成立 即假设结论 两个分类变量没有关系 成立 在该假设下我们构造的随机变量k2应该很小 如果由观测数据计算得到的k2的观测值很大 则在一定程度上说明假设不合理 本例的求解主要涉及独立性检验的思想 即对 p k2 3 841 0 05 的含义理解是解题的关键 2 独立性检验同反证法的关系两者有着密切的联系 无非前者应用了小概率事件不可能发生的原理 如本例中 假设h 这种血清不能起到预防感冒的作用 类题试解 2013 福州高二检测 在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中 下列说法正确的是 a 若k2的观测值为k 6 635 则在犯错误的概率不超过0 01的前提下认为吸烟与患肺病有关系 那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病b 从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0 01的前提下认为吸烟与患肺病有关系时 我们说某人吸烟 那么他有99 的可能患有肺病 c 若从统计量中求出在犯错误的概率不超过0 05的前提下认为吸烟与患肺病有关系 是指有5 的可能性使得推断出现错误d 以上三种说法都不正确 解析 选c a b是对k2的误解 在犯错误的概率不超过0 01的前提下认为吸烟和患肺病有关 是指通过大量的观察试验得出的一个数值 并不是100个人中必有99个人患肺病 也可能这100个人都健康 故选项a b均不正确 c正确 1 下列关于等高条形图说法正确的是 a 等高条形图表示高度相等的条形图b 等高条形图表示的是分类变量的频数c 等高条形图表示的是分类变量的百分比d 等高条形图表示的是分类变量的实际高度 解析 选c 由等高条形图的含义可知c正确 2 以下关于独立性检验的说法中 错误的是 a 独立性检验的依据是小概率原理b 独立性检验得到的结论一定正确c 样本不同 独立性检验的结论可能有差异d 独立性检验不是判定两分类变量是否相关的唯一方法 解析 选b 独立性检验得到的结论不一定正确 如我们得出在犯错误的概率不超过0 1的前提下认为a与b有关 只是说这种判断的正确性为0 9 具体问题中a与b可能有关 可能无关 故答案选b 3 分类变量x和y的列联表如下 则下列说法中正确的是 a ad bc越小 说明x与y的相关性越弱b ad bc越大 说明x与y的相关性越强c ad bc 2越大 说明x与y的相关性越强d ad bc 2越接近于0 说明x与y的相关性越强 解析 选c 结合独立性检验的思想可知 ad bc 越大 x与y的相关性越强 从而 ad bc 2越大 说明x与y的相关性越强 4 若由一个2 2列联表中的数据计算得k 4 013 那么在犯错误的概率不超过 的前提下认为两个变量之间有关系 解析 因随机变量k2的观测值k 4 013 3 841 因此 在犯错误的概率不超过0 05的前提下 认为两个变量之间有关系 答案 0 05 5 在调查的480名男人中有38名患有色盲 52