高考数学总复习 第一章 第二节命题及其关系、充分条件与必要条件课件 理.ppt

第二节命题及其关系 充分条件与必要条件 第一章集合与常用逻辑用语 考纲要求 1 理解命题的概念 2 了解 若p 则q 形式命题的逆命题 否命题与逆否命题 会分析四种命题的相互关系 3 理解充分条件 必要条件与充要条件的意义 4 会用反证法证明命题 课前自修 知识梳理 一 命题用语言 符号或式子表达的可以判断真假的陈述句 叫命题 判断为真的命题是真命题 判断为假的命题是假命题 二 四种命题的形式原命题 若p 则q p为命题的条件 q为命题的结论 逆命题 若q 则p 即交换原命题的条件和结论 否命题 若p 则q 即同时否定原命题的条件和结论 逆否命题 若q 则p 即交换原命题的条件 结论之后同时否定它们 三 四种命题的关系四 四种命题的真假性之间的关系若两个命题互为逆否命题 则它们有相同的真假性 若两个命题为互逆命题或互否命题 则它们的真假性没有关系 五 用推出符号 概括充分 必要 充要条件若p q qp 则p是q的充分不必要条件 若pq q p 则p是q的 条件 若p q q p 则p是q的 条件 若pq qp 则p是q的 条件 六 用反证法证明命题的一般步骤1 假设命题的结论不成立 即假设结论的反面成立 2 从这个假设出发 经过正确的逻辑推理 得出矛盾 3 由矛盾判定假设不成立 从而肯定命题的结论成立 出现矛盾的几种常见形式有 1 与定义 定理 公理矛盾 2 与已知条件矛盾 3 与假设矛盾 4 自相矛盾 既不充分也不必要 必要不充分 充要 基础自测 1 2012 肇庆市一模 m 1 是 函数f x x2 x m有零点 的 a 充分不必要条件b 充要条件c 必要不充分条件d 非充分必要条件 解析 函数f x x2 x m有零点 则 1 4m 0 得m 所以m 1 反之不然 故选c 答案 c 2 2012 深圳市调研 已知命题p 存在正实数a b 使得lg a b lga lgb 命题q 空间两条直线异面的充分必要条件是它们不同在任何一个平面内 则它们的真假是 a p q都是真命题b p是真命题 q是假命题c p q都是假命题d p是假命题 q是真命题3 2012 佛山一中期中 下面四个条件中 使a b成立的充分不必要条件是 a a b 1b a b 1c a2 b2d a3 b3 解析 a b 1 b a b 1是a b的充分条件 又a b b 1 a b是a b 1的必要条件 a b 1是a b的充分不必要条件 故选a 答案 a 解析 取a b 2 则有lg a b lga lgb成立 故命题p是真命题 命题q是异面直线的定义 是真命题 故选a 答案 a 考点探究 考点一 例1 已知命题 若函数f x ex mx在 0 上是增函数 则m 1 则下列结论正确的是 a 否命题是 若函数f x ex mx在 0 上是减函数 则m 1 是真命题b 逆命题是 若m 1 则函数f x ex mx在 0 上是增函数 是假命题c 逆否命题是 若m 1 则函数f x ex mx在 0 上是减函数 是真命题d 逆否命题是 若m 1 则函数f x ex mx在 0 上不是增函数 是真命题 四种命题及其真假 点评 由原命题写出其他三个命题时 应先将命题化为 若p 则q 的形式 再利用其他三个命题与原命题的关系 直接写出相应的命题 当一个命题有大前提而要写出其他三个命题时 必须保留大前提且不作改换 另外 在判断命题的真假时 如果不易直接判断它的真假 可以转化为判断其逆否命题的真假 解析 由题意 f x ex m 0在 0 上恒成立 即m ex在 0 上恒成立 故m 1 这说明原命题正确 反之 若m 1 则f x 0在 0 上恒成立 故逆命题正确 但对增函数的否定不是减函数 而是 不是增函数 故选d 答案 d 变式探究 1 1 设a b是向量 命题 若a b 则 a b 的逆命题是 a 若a b 则 a b b 若a b 则 a b c 若 a b 则a bd 若 a b 则a b 2 2011 中山市期末 有下列四个命题 命题 若xy 1 则x y互为倒数 的逆命题 命题 面积相等的三角形全等 的否命题 命题 若m 1 则x2 2x m 0有实根 的逆否命题 命题 若a b b 则a b 的逆否命题 其中是真命题的是 填上你认为正确的命题的序号 解析 1 原命题的条件是a b 作为逆命题的结论 原命题的结论是 a b 作为逆命题的条件 即得逆命题 若 a b 则a b 故选d d 考点二 例2 2012 天津市模拟 设p q是两个命题 p x 3 0 q x2 x 0 则p是q的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件 充分 必要 充要条件的判定 解析 p 0 x 3 1 3 x 4 4 x 3或3 x 4 q 结合数轴知p是q的充分不必要条件 故选a 答案 a 点评 在进行充分条件 必要条件的判断时 首先要明确哪个论断是条件 哪个论断是结论 而且将条件进行适当的化简及合理的表示条件间的推出关系也是解决问题的关键 常用的判断方法有三种 直接法 集合法 等价法 利用集合法进行判断时 借助数轴能直观显示两个集合的关系 从而使问题易于求解 对于条件或结论是否定形式的充分条件 必要条件的判断 要善于利用等价命题进行判断 解析 当m 1时 a 0 1 a b 0 1 2 反之 若a b 0 1 2 b 1 2 则m2 1或m2 2 m 1 是 a b 0 1 2 的充分不必要条件 故选a 答案 a 变式探究 2 2012 北京市东城区一模 若集合a 0 m2 b 1 2 则 m 1 是 a b 0 1 2 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 考点三 例3 已知ab 0 求证 a b 1的充要条件是a3 b3 ab a2 b2 0 思路点拨 利用充分条件和必要条件的定义 通过推证条件与结论之间的推出关系来证明 证明 必要性 a b 1 a b 1 0 a3 b3 ab a2 b2 a b a2 ab b2 a2 ab b2 a b 1 a2 ab b2 0 充要条件的证明 充分性 a3 b3 ab a2 b2 0 即 a b 1 a2 ab b2 0 又 ab 0 a 0且b 0 a2 ab b2 0 a b 1 0 即a b 1 综上可知 当ab 0时 a b 1的充要条件是a3 b3 ab a2 b2 0 点评 有关充要条件的证明问题 要分清哪个是条件 哪个是结论 由 条件 结论 是证明命题的充分性 由 结论 条件 是证明命题的必要性 证明要分两个环节 一是充分性 二是必要性 对于充要条件问题 我们不仅要会利用定义进行证明 而且要掌握充要条件的探求 变式探究 3 设n n 一元二次方程x2 4x n 0有整数根的充要条件是n 解析 x 2 因为x是整数 即2 为整数 所以为整数 且n 4 又因为n n 取n 1 2 3 4验证可知n 3 4符合题意 反之 n 3 4时 可推出一元二次方程x2 4x n 0有整数根 答案 3或4 考点四 例4 若p2 q2 2 求证 p q 2 思路点拨 用反证法 即证明逆否命题 若p q 2 则p2 q2 2 成立 反证法的应用 证明 假设p q 2 4 p2 q2 2pq 4 p2 q2 2 p2 q2 2 这与 p2 q2 2 相矛盾 假设不成立 因此原命题成立 点评 使用反证法的基本步骤是 1 假设命题的结论不成立 即假设结论的反面成立 2 从这个假设出发 经过正确的逻辑推理 得出矛盾 3 由矛盾判定假设不成立 从而肯定命题的结论成立 实际上是通过证明命题 若p 则q 的逆否命题 若q 则p 成立从而得到 若p 则q 成立的结论 在证明过程中 一定要注意对假设的利用 变式探究 4 证明 若a b c r 则a b c 中至少有一个不小于2 证明 用反证法 假设a b c 三个都小于2 则a b c 6 但 a b c r a 2 同理b 2 c 2 a b c 6 产生矛盾 故假设不成立 a b c r 时 a b c 中至少有一个不小于2 易错警示 案例 充要条件判断不准致误 2012 蚌埠市质检 设p x 1或x 1 q x 2或x 1 则p是q的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 错解 p 1 x 1 q 2 x 1 由 1 x 1可得 2 x 1 而由 2 x 1得不到 1 x 1 p是q的必要不充分条件 故选b 正解 由已知可得p 1 x 1 q 2 x 1 由 1 x 1可得 2 x 1 而由 2 x 1得不到 1 x 1 p是q的充分不必要条件 故选a 答案 a 错因分析 此处解答有两个错误 1 的否定是 而不是 所以p和q求错 2 充分与必要的推导方向弄反了 课时升华 1 判断命题的充分 必要条件的方法 1 定义法 判断p是q的什么条件 其本质就是判断p q或q p是否成立 只要把题目中所给条件按逻辑关系画出箭头表示 再利用定义判断即可 2 等价法 当所给命题的充分性 必要性不易判断时 可以对命题进行等价转化 即用其逆否命题进行判断 3 集合法 记条件p q对应的集合分别为a b 若a b 则p是q的充分条件 更进一步 若a b 则p是q的充分不必要条件 若b a 则p是q的必要条件 更进一步 若b a 则p是q的必要不充分条件 若a b 则p是q的充要条件 若ab且ba 则p是q的既不充分也不必要条件 2 判断命题的充分 必要关系应注意四点 1 分清题目的条件和结论 2 能够将文字语言转化为符号语言进行推理 3 注意运用转化与化归思想 将正面较难判断的命题转化为它的等价命题来判断 4 当判断多个命题之间的关系时 常用图示法 以箭头表示推导方向 这样能使问题更直观 更易于判断 3 反证法的理论依据是 原命题为真 它的逆否命题也为真 在直接证明原命题成立有困难时 就可以转化为证明它的逆否命题成立 4 解答有关命题的问题可能出现的几种错误 1 对四种命题的结构不明确导致判断错误 2 否命题 与 命题的否定 不是同一个概念 否命题 要对 原命题 的条件和结论同时否定 而 命题的否定 只要否定 原命题 的结论即可 3 充分 必要条件的推导方向容易弄错 4 证明充要条件时 要注意 充分性 和 必要性 都要证明 不能遗漏任何一方面 感悟高考 品味高考 1 2012 湖南卷 命题 若 则tan 1 的逆否命题是 a 若 则tan 1b 若 则tan 1c 若tan 1 则 d 若tan 1 则 解析 若p 则q 的逆否命题为 若q 则p 若 则tan 1 的逆否命题是 若tan 1 则 故选c 答案 c 2 2012 江西卷 下列命题中 假命题为 a 存在四边相等的四边形不是正方形b z1 z2 c z1 z2为实数的充分必要条件是z1 z2互为共轭复数c 若x y r 且x y 2 则x y至少有一个大于1d 对于任意n n 都是偶数 解析 对于b 若z1 z2互为共轭复数 不妨设z1 a bi a b d z2 a bi a b d 则z1 z2 2a 为实数 设z1 a bi a b d z2 c di c d d 则z1 z2 a c b d i 若z1 z2为实数 则有b d 0 但a c没有关系 所以b为假命题 故选b 答案 b 高考预测 1 2012 江门市调研 已知命题p sin sin 且cos cos 命题q 则命题p是命题q的 a 必要不充分条件b 充分不必要条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 解析 若 则有 sin sin 且cos cos