高中数学 411 圆的标准方程课件 新人教A版必修2.ppt

4 1圆的方程 4 1 1圆的标准方程 1 平面内到定点的距离等于定长的点的集合是圆 圆心为c a b 半径为r的圆的方程为 此方程称为圆的标准方程 圆心在原点 半径为r的圆的方程为 2 点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d 圆的半径为r 当时 点在圆外 当时 点在圆上 当时 点在圆内 3 若点p m n 在圆x2 y2 r2的内部 则m n r的关系式是 若点p m n 在圆x2 y2 r2的外部 则m n r的关系式是 x a 2 y b 2 r2 x2 y2 r2 d r m2 n2 r2 m2 n2 r2 d r d r 4 以 3 4 为圆心 且过点 0 0 的圆的方程为 a x2 y2 25b x2 y2 5c x 3 2 y 4 2 25d x 3 2 y 4 2 25 答案 c 5 根据下列条件 求圆的方程填空 1 圆心c 2 1 过点a 2 2 2 圆心c 1 3 与直线3x 4y 6 0相切 答案 1 x 2 2 y 1 2 25 2 x 1 2 y 3 2 9 3 x 1 2 y 1 2 5或 x 1 2 y 3 2 5 分析 只要确定了圆心坐标和半径就可以写出圆的方程 3 设圆心坐标为 a b 圆的方程为 x a 2 y b 2 5 已知圆过点 0 1 2 1 代入圆的方程中得 所求圆的方程为 x 1 2 y 1 2 5或 x 1 2 y 3 2 5 本节学习重点 圆的标准方程的推导以及根据具体条件正确的求出圆的标准方程 本节学习难点 运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题 1 确定圆的几何要素 圆心确定圆的位置 半径确定圆的大小 只要圆心和半径确定下来 圆也就确定下来了 求圆的方程主要用待定系数法 圆的标准方程中含有三个待定系数a b r 故确定圆需要三个独立条件 若条件中涉及圆心 半径 弦长或圆心位于特殊位置时 一般考虑应用圆的标准方程 1 当圆心在某条直线上时 一 可设出圆心坐标 将圆心用一个字母表示 二 也可以考虑若圆心在另一条直线上 则圆心为两直线的交点 2 当圆经过不共线三点时 一 可由两边的中垂线求得圆心 进而求出半径 二 也可设标准方程 将三点坐标代入 解三元一次方程组求得a b r 2 注意圆的几何性质 如圆心到圆上点的距离等于圆的半径 圆心到圆的切线的距离等于圆的半径 圆心在弦的垂直平分线上 垂径定理 半径2 半弦2 弦心距2 等等在解决圆的问题中的作用 3 通过求圆的方程进一步明确求曲线 轨迹 的方程的步骤 注意事项 坐标法求曲线的轨迹方程步骤 建系 设点 列式 化简 证明 最后一步证明可省略 但实际解决问题时 最后一般要注意曲线的范围 即剔除不合要求的点和找回失去的点 有的题目还要分类讨论 例1 已知两点p1 0 5 和p2 4 1 求以p1p2为直径的圆的方程 并判断m 1 6 q 3 5 是在圆上 圆外 圆内 分析 1 根据所给已知条件可得圆心坐标和半径 2 判断点在圆上 圆外 圆内的方法是 根据已知点与圆心的距离与半径的大小关系来判断 例2 求经过两点a 1 4 b 3 2 且圆心在y轴上的圆的方程 解析 解法1 圆心在y轴上 可设圆的标准方程是x2 y b 2 r2 该圆经过a b两点 弦ab的垂直平分线方程为y 3 2 x 1 即y 2x 1 总结评述 求圆的标准方程就是求圆心坐标和圆的半径 解法1是先设出圆的标准方程 而后用待定系数法求出圆心坐标和圆半径 解法2抓住圆的性质及题目的特点 求出线段ab的垂直平分线方程并与y轴的方程联立组成方程组 先求出了圆心的坐标 而后求出圆的半径 如果照顾到圆心在一条直线上 y轴 故圆心坐标可用一个未知数来表示 由圆心到a b两点距离相等 可求出此未知数 自己解一下 并求解下题 求过点a 6 0 b 1 5 且圆心在直线l 2x 7y 8 0上的圆的方程 答案 x 3 2 y 2 2 13 与x轴切于点 5 0 并且在y轴上截取弦长为10的圆的方程为 解法2 设所求圆的方程为 x a 2 y b 2 r2 r 0 圆与x轴相切于点 5 0 r b a 5 圆在y轴上截得的弦长为10 点评 圆与x轴相切时 圆的半径r与圆心的纵坐标的关系是r b 圆与y轴相切时圆的半径r与圆心的横坐标的关系是r a 解法1根据题意直接设圆的方程为 x 5 2 y b 2 b2 利用弦长得出了b的方程 解出b求得圆的方程 例3 有一种大型商品 a b两地都有出售 且价格相同 某居民从两地之一购得商品后运回的费用是 a地每公里的运费是b地每公里运费的3倍 已知a b两地距离为10公里 顾客选择a地或b地购买这件商品的标准是 包括运费和价格的总费用较低 求p地居民选择a地或b地购货总费用相等时 点p 所在曲线的形状 并指出曲线上 曲线内 曲线外的居民应如何选择购货地点 解析 以a b所在直线为x轴 线段ab的中点为原点 建立直角坐标系 则a 5 0 b 5 0 如下图 如图所示 一座圆拱桥 当水面在如图位置时 拱顶离水面2米 水面宽12米 当水面下降1米后 水面宽 米 解析 以圆拱拱顶为坐标原点 以过拱顶点的铅垂直线为y轴 建立直角坐标系 设圆心为c 水面所在弦的端点为a b 则由已知得a 6 2 设圆的半径为r 则c 0 r 即圆的方程为x2 y r 2 r2 将点a的坐标 6 2 代入方程 解得r 10 圆的方程x2 y 10 2 100 总结评述 1 求圆的方程有两类方法 1 几何法 即通过研究圆的性质 直线和圆 圆和圆的位置关系 进而求得圆的基本量 圆心 半径 的方程 2 代数法 即用 待定系数法 求圆的方程 其一般步骤是 根据题意选择方程的形式 标准形式或一般形式 本例题中涉及圆心及弦长 故设标准形式较简单 利用条件列出关于a b r或d e f的方程组 解出a b r或d e f 代入标准方程或一般方程 圆的一般形式方程下节学习 2 下面就圆的几何性质的应用作一探索 1 圆心在弦的垂直平分线上 过点a 1 2 b 2 2 和c 1 4 的圆的方程为 2 圆上任一点到圆心的距离等于圆的半径 圆心为c 1 3 且过点m 1 0 的圆的方程为 答案 x 1 2 y 3 2 13 3 圆心到圆的切线的距离等于圆的半径 若圆c的半径为1 圆心在第一象限 且与直线4x 3y 0和x轴都相切 则该圆的标准方程是 解析 设圆心坐标为 x y 由题意知x 0 y 1 答案 b 一 选择题1 台风中心从a地以每小时20千米的速度向东北方向移动 离台风中心30千米内的地区为危险区 城市b在a的正东40千米处 b城市处于危险区内的时间为 a 0 5小时b 1小时c 1 5小时d 2小时 答案 b 解析 以a为原点 正东方向为x轴 正北方向为y轴 建立直角坐标系 则台风中心p 10t 10t b 40 0 以b城市为圆心 30km为半径的圆方程为 x 40 2 y2 302 当点p在圆内时 b城市处于危险区内 二 填空题2 根据下列所给不同条件求圆的方程 1 圆心为c 1 3 半径为2的圆的方程为 2 圆心为c 1 3 与直线x y 4相切的圆的方程为 3 圆心为c 1 3 且过点m 0 2 的圆的方程为 4 过点a 1 2 b 3 2 和c 1 6 的圆的方程为 5 过点a 1 4 和b 3 2 半径为2的圆的方程为 6 a 2 4 b 4 2 以线段ab为直径的圆的方程为 7 过点a 0 4 和b 4 0 圆心在直线y x上的圆的方程为 8 过点a 2 4 b 1 1 被直线x 2y 0平分的圆的方程为 9 已知 abc的三个顶点的坐标为 0 0 1 0 和 0 2 则 abc的内切圆方程为 10 过点p 1 0 且与y轴相切于点q 0 3 的圆的方程为 答案 1 x 1 2 y 3 2 4 2 x 1 2 y 3 2 18 3 x 1