广东省佛山市中大附中三水实验中学高三数学《平面与平面垂直的判定》基础复习课件 新人教A版.ppt

作业问题 点a到平面的距离是m 自a作平面的斜线ab ac 分别与所成角是45 和30 bac 90 则斜足b c间的距离是 a b c a b c o o 2 3 2平面与平面垂直的判定 目标 1 理解二面角及平面角的概念2 能确认图形中的已知角是否为二面角 会作二面角的平面角 3 掌握两个平面垂直的概念及判定定理 自主学习 任务一 二面角 阅读教材p67 68页 回答下列问题 1 二面角的定义是 2 二面角如何表示 3 二面角的大小如何度量 4 二面角的平面角如何作 a b o l a b o o 例1 如图 在四面体abcd中 求二面角a bd c的大小 a b c d e 变式训练 在边长为1的菱形abcd中 abc 60 把菱形沿对角线ac折起 使折起后bd 求二面角b ac d的大小 a b c d d a b c o 达标检测 导练设计p121页5 9题 第二课时 目标 1 理解平面和平面垂直的定义及平面和平面垂直的判定定理2 能运用面面垂直的判定定理解决问题 例1 如图 已知 ab cd ab 求 cd 的大小 a b c d 思考并回答 1 直二面角是 两个平面互相垂直的定义是 2 如何画两个平面垂直 竖直平面的竖边和水平平面的横边垂直 面面垂直的判定定理 a 例2 如图 ab是 o的直径 pa垂直于 o所在的平面 c是圆周上不同于a b的任意一点 求证 平面pac 平面pbc a b p c 例3 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别为ab bb1的中点 求证 平面def 平面a1bd1 证明 如下图所示 a b c d a1 b1 c1 d1 e f 随堂训练 教材p69页探究和练习达标检测 导学设计p121页10题 122页11 12题 1 两个平面相交 如果它们所成的二面角是 就说这两个平面互相垂直 2 如果一个平面过另一个平面的一条 那么这两个平面互相垂直 3 从一条直线出发的两个半平面所组成的空间图形称为 这条直线叫做二面角的 以二面角的棱上任一点为端点 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线 这两条射线所成的角 叫做二面角的 4 二面角的大小 用它的平面角来度量 二面角的平面角是几度 就说这个二面角是 直二面角 垂线 二面角 棱 平面角 几度 名师讲解 学生用书p49 两平面相交成直二面角时 两平面垂直 两平面相交的这一特殊位置关系 决定着平面与平面垂直的概念 性质和判断 涉及的空间知识极为丰富 是高考的热点内容之一 除定义外 判断两平面垂直的最常用的判定定理是 一平面过另一个平面的垂线 证明两个平面垂直 通常是通过证明线线垂直 线面垂直来实现的 同时 在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直 线面垂直 面面垂直的相互转化 异面直线所成的角 斜线与平面所成的角 二面角统称为空间角 其求解方法相同 步骤是 第一步 作出它们的平面角 第二步 证明所作的角满足定义 第三步 将作出的角放在三角形中 计算出平面角的大小 又简称为 一作 二证 三计算 在计算时 会受到三角函数知识的影响 因此学习直线和平面所成的角 二面角时 仅仅了解这两个概念即可 不要在其如何求解上过多纠缠 其求解方法将在选修中重点学习 典例剖析 学生用书p49 题型一空间线与面的位置关系例1 1 已知m l是直线 是平面 给出下列命题 若l垂直于 内两条相交直线 则l 若l平行于 则l平行于 内的所有直线 若m l 则l m 则 若l 且l 则 若m l 且 则l m 其中正确的命题的序号是 解析 本题考查线与线 线与面 面与面的位置关系 命题 是线面垂直的判定定理 所以正确 命题 l 但l不能平行于 内所有直线 命题 l m 不能保证l 即分别包含l与m的平面 可能平行也可能相交而不垂直 命题 为面面垂直的判定定理 所以正确 命题 但分别在 内的直线l与m可能平行 也可能异面 2 如果直线l m与平面 满足l l m m 那么必有 a 和l mb 和m c m 且l md 和 解析 在 命题 形式的选择题中 应会寻找恰当的数学模型来否定其中一些错误命题 如下图 正方体abcd a1b1c1d1中 取平面cdd1c1为 对角面abc1d1为 对角面a1b1cd为 cb1为m c1d1为l 于是由m c 可排除b c两项 又由 cd 排除d项 易证a正确 答案 a 规律技巧 1 题的关键是将符号语言转化为图形语言 要求考生根据符号提供的信息去画图 去进行推理和判断 试题形式上是填空题 实际上是多选题 是高考题型的一种新变化 2 排除法解立体几何选择题是常用的方法 本题是通过构造正方体中的线和面来举反例 寻找面面平行条件的关键是牢记定义和定理 变式训练1 设有直线m n和平面 则下列命题中 正确的是 a 若m n m n 则 b 若m m n n 则 c 若m n n m 则 d 若m n m n 则 解析 c中 由m n n 得m 又m 答案 c 分析 abd与 bcd有公共边bd 且都是等腰三角形 因此取bd的中点e 连结ae ce 则 aec为二面角a bd c的平面角 证该角为直角即可 证明 取bd的中点e 连结ae ce 由ab ad cb cd知ae bd ce bd aec为二面角a bd c的平面角 在 abd中 同理 在 bcd中 ae2 ce2 a2 ac2 ae ce 即 aec 90 平面abd 平面bcd 规律技巧 在立体几何中 常把空间问题 转化为平面问题 用平面几何知识求解 证明 如下图 设 a 则b a ab a ab a 在平面 内作be a 则 abe为二面角 a 的平面角 ab be ab be abe 90 即二面角 a 为直二面角 分析 画出示意图 利用正方体的性质 证面面垂直 可先证线面垂直 再用判定定理得证 由正方体的性质知 a1d1 平面a1b1ba ef 平面a1b1ba a1d1 ef a1b ab1 ef ab1 a1b ef 又a1d1 a1b a1 ef 平面a1bd1 而ef平面def 平面def 平面a1bd1 变式训练3 如图 正方体abcd a1b1c1d1中 求 1 直线d1c与平面ac所成的角 2 二面角d1 bc d的大小 分析 d1cd是直线d1c与平面ac所成的角 也是二面角d1 bc d的平面角 解 1 d1d 平面ac d1c在平面ac上的射影是dc d1cd是直线d1c与平面ac所成的角 在 d1cd中 d1d cd d1d cd d1cd 45 直线d1c与平面ac所成的角是45 2 在正方体abcd a1b1c1d1中 bc cd bc cc1 bc 平面d1c bc d1c bc cd d1cd是二面角d1 bc d的平面角 由 1 知 d1cd 45 二面角d1 bc d的大小是45 易错探究 例4 在长方体abcd a1b1c1d1中 底面abcd为正方形 试问 截面acb1与对角面bd1垂直吗 错解 如图所示 设ac与bd的交点为o 连接b1o 则b1o是截面acb1与对角面bd1的交线 因为b1o是底面的斜线 所以截面acb1与底面倾斜 从而截面acb1不可能与对角面bd1垂直 错因分析 错解从b1o倾斜于底面 就断定截面acb1不可能与对角面bd1垂直 这是没有根据的 犯这种错误主要是由于对空间中的线面关系的理解不够透彻 正解 在正方形abcd中 连结ac bd 则ac bd 又bb1 平面abcd ac 平面abcd ac bb1 又bd bb1 b ac 平面bd1 又ac在平面acb1内 截面acb1 对角面bd1 技能演练 学生用书p50 基础强化1 若平面 与平面 不垂直 那么 内能与 垂直的直线 a 有0条b 有一条c 有2条d 有无数条答案 a 2 过一条直线与一个平面垂直的平面的个数为 a 1b 2c 无数d 1或无数解析 当a 时 过a与平面 垂直的平面有无数个 当a不垂直 时 过a与平面 垂直的平面有一个 答案 d 3 若平面 平面 平面 平面 则 a b c 与 相交 但不垂直d 以上都有可能解析 垂直同一平面的两个平面 相交 平行都有可能 答案 d 4 如下图 abcd为正方形 pa 平面abcd 则在平面pab 平面pad 平面pcd 平面pbc及平面abcd中 互相垂直的有 a 3对b 4对c 5对d 6对解析 互相垂直的平面有 平面pab 平面pad 平面pab 平面abcd 平面pad 平面abcd 平面pab 平面pbc 平面pad 平面pcd 共5对 答案 c 5 若两条直线a与b异面 则过a且与b垂直的平面 a 有且只有一个b 可能有一个 也可能不存在c 有无数多个d 一定不存在解析 当a b时 存在一个 当a不垂直b时 不存在 答案 b 6 自二面角内任一点分别向两个面引垂线 则两垂线所成的角与二面角的关系是 a 相等b 互补c 互余d 无法确定解析 根据平面四边形内角和等于360 知 它们互补 答案 b 7 在四面体abcd中 若有两组对棱互相垂直 则另一组对棱所成的角为 90 解析 借助于正方体做出判断 如图所示 在四面体abcd中 有ab cd ac bd 另一组对棱bc ad 因此 另一组对棱所成的角为90 8 如图 已知三棱锥d abc的三个侧面与底面全等 且bc 2 则以bc为棱 以面bcd与bca为面的二面角为 90 解析 取bc的中点e 连结ae de 由题意知ae bc de bc aed为所求二面角的平面角 计算得ad 2 ae2 de2 ad2 aed 90 能力提升 9 如图 在四棱锥p abcd中 底面是边长为a的正方形 侧棱 1 求证 pd 平面abcd 2 求证 平面pac 平面pbd 3 求证 pcd为二面角p bc d的平面角 证明 1 pc2 pd2 dc2 pd dc 同理可证 pd ad 又ad dc d pd 平面abcd 2 由 1 知pd 平面abcd pd ac 而四边形abcd为正方形 ac bd 又bd pd d ac 平面pdb 又ac平面pac 平面pac 平面pbd 3 由 1 知pd bc bc dc bc 平面pdc bc pc pcd为二面角p bc d的平面角 10 如图 已知 abc为正三角形 ec 平面abc bd 平面abc 且ec db在平面abc的同侧 m为ea的中点 ce ca 2bd 求证 1 de da 2 平面bdm 平面eca 3 平面dea 平面eca 证明 1 如下图 取ac中点n 连结mn bn abc为正三角形 bn ac ec 平面abc bd 平面abc ec bd ec bn 又m为ae中点 ec 2bd mn bd 四边形mnbd是平行四边形 bn dm 由bn ac bn ec 得bn 平面aec dm 平面aec dm ae ad de 2 dm 平面aec dm平面bdm 平面bdm 平面eca 3 dm 平面aec dm平面ade 平面dea 平面eca 品味高考 学生用书p51 11 2008 四川 直线l平面 经过 外一点a与l 都成30 角的直线有且只有 a 1条b 2条c 3条d 4条解析 由最小角定理可知 过点a所得直线与平面 内的直线l所成的角和该直线与 所成角大小相等 这样的直线有且只有2条 答案 b 12 2009 江苏 如图 在直三棱柱abc a1b1c1中 e f分别是a1b a1c