度高中数学 2.5.1函数的零点同步辅导与检测课件 苏教版必修1.ppt

2 5函数与方程2 5 1函数的零点 函数概念与基本初等函数 已知二次函数y x2 2x 3 令y 0即x2 2x 3 0时 这是一元二次方程 那么这个一元二次方程的根与前面二次函数的图象与x轴的交点有什么关系 二次函数 二次方程 二次不等式之间的关系 结合二次函数的图象及零点的定义可知 二次函数y ax2 bx c a 0 的零点就是相应方程ax2 bx c 0 a 0 的根 也是相应不等式ax2 bx c 0 a 0 或ax2 bx c 0 a 0 的解集的端点 方程解的存在性的判断 判断方程在某区间内是否有解 主要依据有两点 一是该方程相应的函数在区间内是否连续 二是在区间端点处函数值是否异号 即连续函数在区间端点处函数值异号 则相应方程在区间内一定有解 如若同号 则无法确定是否有解 求函数的零点 求下列函数的零点 1 f x x2 2x 3 2 f x x4 1 解析 根据函数零点与相应方程的根之间的关系 就是求该函数相对应的方程的根 答案 1 由于f x x2 2x 3 x 3 x 1 所以方程 x2 2x 3 0的两根是 3 1 故函数的零点是 3 1 2 由于f x x4 1 x2 1 x 1 x 1 所以方程x4 1 0的实数根是 1 1 故函数的零点是 1 1 点评 函数零点的求法 解方程f x 0 所得实数解就是f x 的零点 变式训练 1 观察下图的四个函数图象 指出在区间 0 内 方程fi x 0 i 1 2 3 4 哪个有解 请说明理由 解答 f1 x 0和f2 x 0在区间 0 内有解 因为y f1 x 与y f2 x 的图象与x轴的负半轴有交点 函数y x2 2x 8 使y 0的x的取值范围是 解析 由 x2 2x 8 0可得 x1 4 x2 2 y4或x4或x 2 点评 函数的零点即为相应方程的根 也是相应不等式解集的端点 变式训练 2 不等式x2 5x 4 0的解集是 x 4 x 1 二次函数零点个数的判定 二次函数y ax2 bx c中 a c 0 则函数的零点个数是 a 1个b 2个c 3个d 无法确定 解析 由已知a c0 函数必有两个零点 答案 b 点评 判断二次函数f x 的零点个数 就是判断一元二次方程ax2 bx c 0的实根个数 一般通过判别式 0 0 0完成 变式训练 3 若函数f x ax2 x 1只有一个零点 求实数a的取值范围 1 若a 0 则f x x 1 只有一个零点 2 若a 0 则函数f x 为二次函数 只有一个零点 即判别式 1 4a 0 a 综上 当a 0或a 时 函数只有一个零点 变式训练 d 函数零点存在性的判断 函数f x 3x x2在区间 1 0 内有没有零点 为什么 解析 给定区间端点的函数值异号 且函数在该区间内是连续的 则一定存在零点 答案 因为f 1 0 函数f x 3x x2的图象是连续的 所以f x 在区间 1 0 内有零点 点评 连续函数在区间端点函数值异号 则函数在该区间内一定有零点 若在区间端点处函数值同号 则函数在该区间内也可能有零点 5 函数f x lgx 的零点所在的大致区间是 a 6 7 b 7 8 c 8 9 d 9 10 变式训练 d 若方程2ax2 x 1 0在 0 1 内恰有一解 则a的取值范围是 解析 由零点定义 函数f x 2ax2 x 1在 0 1 内恰有唯一零点 故f 0 f 1 1 点评 方程解的存在性或其个数问题 通常转化为相应