高考数学大一轮复习 8.2空间点、直线、平面之间的位置关系课件 理 苏教版.ppt

8 2空间点 直线 平面之间的位置关系 第八章立体几何 数学苏 理 基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 思想方法 感悟提高 练出高分 1 四个公理公理1 如果一条直线上的在一个平面内 那么这条直线上所有的点都在这个平面内 公理2 如果两个平面有一个公共点 那么它们还有其他公共点 这些公共点的集合是经过这个公共点的 公理3 经过的三点 有且只有一个平面 一条直线 两点 不在同一条直线上 推论1经过一条直线和有且只有一个平面 推论2经过 有且只有一个平面 推论3经过 有且只有一个平面 公理4 平行于同一条直线的两条直线互相 这条直线外的一点 两条相交直线 两条平行直线 平行 2 直线与直线的位置关系 1 位置关系的分类 平行相交 任何 没有公共点 2 异面直线所成的角 定义 设a b是两条异面直线 经过空间任一点o作直线a a b b 把a 与b 所成的叫做异面直线a b所成的角 或夹角 锐角 或直角 3 直线与平面的位置关系有 三种情况 4 平面与平面的位置关系有 两种情况 5 定理 1 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同 那么这两个角相等 2 过平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过该点的直线是异面直线 平行 相交 在平面内 平行 相交 思考辨析 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 如果两个不重合的平面 有一条公共直线a 就说平面 相交 并记作 a 2 两个平面 有一个公共点a 就说 相交于过a点的任意一条直线 3 两个平面 有一个公共点a 就说 相交于a点 并记作 a 4 两个平面abc与dbc相交于线段bc 5 经过两条相交直线 有且只有一个平面 2 45 60 解析 bc与eg所成的角等于ac与bc所成的角即 acb ae与bg所成的角等于bf与bg所成的角即 gbf 题型一平面基本性质的应用 例1如图所示 正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别是ab和aa1的中点 求证 1 e c d1 f四点共面 解析 思维升华 题型一平面基本性质的应用 例1如图所示 正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别是ab和aa1的中点 求证 1 e c d1 f四点共面 证明连结ef cd1 a1b e f分别是ab aa1的中点 ef ba1 又a1b d1c ef cd1 e c d1 f四点共面 解析 思维升华 公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据 公理2是证明三线共点或三点共线的依据 公理3及其推论是判断或证明点 线共面的依据 题型一平面基本性质的应用 例1如图所示 正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别是ab和aa1的中点 求证 1 e c d1 f四点共面 解析 思维升华 例1 2 ce d1f da三线共点 思维点拨 解析 思维升华 例1 2 ce d1f da三线共点 第 2 问先证ce与d1f交于一点 再证该点在直线da上 思维点拨 解析 思维升华 证明 ef cd1 ef cd1 ce与d1f必相交 设交点为p 则由p ce ce 平面abcd 例1 2 ce d1f da三线共点 思维点拨 解析 思维升华 得p 平面abcd 同理p 平面add1a1 又平面abcd 平面add1a1 da p 直线da ce d1f da三线共点 例1 2 ce d1f da三线共点 思维点拨 解析 思维升华 例1 2 ce d1f da三线共点 公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据 公理2是证明三线共点或三点共线的依据 公理3及其推论是判断或证明点 线共面的依据 思维点拨 解析 思维升华 跟踪训练1如图 平面abef 平面abcd 四边形abef与四边形abcd都是直角梯形 bad fab 90 bc ad且bc ad be af且be af g h分别为fa fd的中点 1 证明 四边形bchg是平行四边形 证明由已知fg ga fh hd 四边形bchg为平行四边形 2 c d f e四点是否共面 为什么 四边形befg为平行四边形 ef bg 由 1 知bg綊ch ef ch ef与ch共面 又d fh c d f e四点共面 题型二判断空间两直线的位置关系 例2 1 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 m n分别是bc1 cd1的中点 则下列判断错误的是 mn与cc1垂直 mn与ac垂直 mn与bd平行 mn与a1b1平行 思维点拨 解析 答案 思维升华 连结b1c b1d1 则点m点是b1c的中点 证明mn b1d1 思维点拨 解析 答案 思维升华 题型二判断空间两直线的位置关系 例2 1 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 m n分别是bc1 cd1的中点 则下列判断错误的是 mn与cc1垂直 mn与ac垂直 mn与bd平行 mn与a1b1平行 连结b1c b1d1 则点m是b1c的中点 mn是 b1cd1的中位线 mn b1d1 cc1 b1d1 ac b1d1 bd b1d1 mn cc1 mn ac 思维点拨 解析 答案 思维升华 题型二判断空间两直线的位置关系 例2 1 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 m n分别是bc1 cd1的中点 则下列判断错误的是 mn与cc1垂直 mn与ac垂直 mn与bd平行 mn与a1b1平行 思维点拨 解析 答案 思维升华 题型二判断空间两直线的位置关系 mn bd 又 a1b1与b1d1相交 mn与a1b1不平行 例2 1 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 m n分别是bc1 cd1的中点 则下列判断错误的是 mn与cc1垂直 mn与ac垂直 mn与bd平行 mn与a1b1平行 思维点拨 解析 答案 思维升华 题型二判断空间两直线的位置关系 mn bd 又 a1b1与b1d1相交 mn与a1b1不平行 例2 1 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 m n分别是bc1 cd1的中点 则下列判断错误的是 mn与cc1垂直 mn与ac垂直 mn与bd平行 mn与a1b1平行 空间中两直线位置关系的判定 主要是异面 平行和垂直的判定 对于异面直线 可采用直接法或反证法 对于平行直线 可利用三角形 梯形 中位线的性质 公理4及线面平行与面面平行的性质定理 对于垂直关系 往往利用线面垂直的性质来解决 思维点拨 解析 答案 思维升华 题型二判断空间两直线的位置关系 例2 1 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 m n分别是bc1 cd1的中点 则下列判断错误的是 mn与cc1垂直 mn与ac垂直 mn与bd平行 mn与a1b1平行 思维点拨 解析 答案 思维升华 例2 2 在图中 g n m h分别是正三棱柱 两底面为正三角形的直棱柱 的顶点或所在棱的中点 则表示直线gh mn是异面直线的图形有 填上所有正确答案的序号 思维点拨 解析 答案 思维升华 例2 2 在图中 g n m h分别是正三棱柱 两底面为正三角形的直棱柱 的顶点或所在棱的中点 则表示直线gh mn是异面直线的图形有 填上所有正确答案的序号 先判断直线gh mn是否共面 若不共面 再利用异面直线的判定定理判定 思维点拨 解析 答案 思维升华 图 中 直线gh mn 图 中 g h n三点共面 但m 面ghn 因此直线gh与mn异面 图 中 连结mg gm hn 因此gh与mn共面 例2 2 在图中 g n m h分别是正三棱柱 两底面为正三角形的直棱柱 的顶点或所在棱的中点 则表示直线gh mn是异面直线的图形有 填上所有正确答案的序号 思维点拨 解析 答案 思维升华 图 中 g m n共面 但h 面gmn 因此gh与mn异面 所以图 中gh与mn异面 例2 2 在图中 g n m h分别是正三棱柱 两底面为正三角形的直棱柱 的顶点或所在棱的中点 则表示直线gh mn是异面直线的图形有 填上所有正确答案的序号 思维点拨 解析 答案 思维升华 例2 2 在图中 g n m h分别是正三棱柱 两底面为正三角形的直棱柱 的顶点或所在棱的中点 则表示直线gh mn是异面直线的图形有 填上所有正确答案的序号 图 中 g m n共面 但h 面gmn 因此gh与mn异面 所以图 中gh与mn异面 思维点拨 解析 答案 思维升华 例2 2 在图中 g n m h分别是正三棱柱 两底面为正三角形的直棱柱 的顶点或所在棱的中点 则表示直线gh mn是异面直线的图形有 填上所有正确答案的序号 空间中两直线位置关系的判定 主要是异面 平行和垂直的判定 对于异面直线 可采用直接法或反证法 对于平行直线 可利用三角形 梯形 中位线的性质 公理4及线面平行与面面平行的性质定理 对于垂直关系 往往利用线面垂直的性质来解决 跟踪训练2如图 已知不共面的三条直线a b c相交于点p a a b a c b d c 求证 ad与bc是异面直线 证明方法一假设ad和bc共面 所确定的平面为 那么点p a b c d都在平面 内 直线a b c都在平面 内 与已知条件a b c不共面矛盾 假设不成立 跟踪训练2如图 已知不共面的三条直线a b c相交于点p a a b a c b d c 求证 ad与bc是异面直线 ad和bc是异面直线 方法二 直接证法 a c p 它们确定一个平面 设为 由已知c 平面 b 平面 bc 平面 ad 平面 b ad ad和bc是异面直线 题型三求两条异面直线所成的角 例3空间四边形abcd中 ab cd且ab与cd所成的角为30 e f分别为bc ad的中点 求ef与ab所成角的大小 思维点拨 解析 思维升华 思维点拨 解析 思维升华 取ac中点 利用三角形中位线的性质作出所求角 题型三求两条异面直线所成的角 例3空间四边形abcd中 ab cd且ab与cd所成的角为30 e f分别为bc ad的中点 求ef与ab所成角的大小 思维点拨 解析 思维升华 解取ac的中点g 连结eg fg 题型三求两条异面直线所成的角 例3空间四边形abcd中 ab cd且ab与cd所成的角为30 e f分别为bc ad的中点 求ef与ab所成角的大小 则eg綊ab fg綊cd 思维点拨 解析 思维升华 由ab cd知eg fg gef 或它的补角 为ef与ab所成的角 egf 或它的补角 为ab与cd所成的角 ab与cd所成的角为30 egf 30 或150 题型三求两条异面直线所成的角 例3空间四边形abcd中 ab cd且ab与cd所成的角为30 e f分别为bc ad的中点 求ef与ab所成角的大小 思维点拨 解析 思维升华 由eg fg知 efg为等腰三角形 当 egf 30 时 gef 75 当 egf 150 时 gef 15 故ef与ab所成的角为15 或75 题型三求两条异面直线所成的角 例3空间四边形abcd中 ab cd且ab与cd所成的角为30 e f分别为bc ad的中点 求ef与ab所成角的大小 思维点拨 解析 思维升华 1 求异面直线所成的角常用方法是平移法 平移的方法一般有三种类型 利用图中已有的平行线平移 利用特殊点 线段的端点或中点 作平行线平移 补形平移 题型三求两条异面直线所成的角 例3空间四边形abcd中 ab cd且ab与cd所成的角为30 e f分别为bc ad的中点 求ef与ab所成角的大小 思维点拨 解析 思维升华 2 求异面直线所成的角的三步曲 即 一作 二证 三求 其中空间选点任意 但要灵活 经常选择 端点 中点 等分点 通过作三角形的中位线 平行四边形等进行平移 作出异面直线所成的角 转化为解三角形问题 进而求解 题型三求两条异面直线所成的角 例3空间四边形abcd中 ab cd且ab与cd所成的角为30 e f分别为bc ad的中点 求ef与ab所成角的大小 解析画出正四面体abcd的直观图 如图所示 设其棱长为2 取ad的中点f 连结ef 设ef的中点为o 连结co 则ef bd 则 fec就是异面直线ce与bd所成的角 abc为等边三角形 则ce ab 故ce cf 因为oe of 所以co ef 2 直三棱柱abc a1b1c1中 若 bac 90 ab ac aa1 则异面直线ba1与ac1所成角的大小为 解析如图 可补成一个正方体 ac1 bd1 ba1与ac1所成角的大小为 a1bd1 又易知 a1bd1为正三角形 a1bd1 60 即ba1与ac1成60 的角 60 思想与方法系列12构造模型判断空间线面位置关系 解析 思维点拨 温馨提醒 典例 已知m n是两条不同的直线 为两个不同的平面 有下列四个命题 若m n m n 则 若m n m n 则 若m n m n 则 若m n 则m n 其中所有正确的命题是 构造一个长方体模型 找出适合条件的直线与平面 在长方体内判断它们的位置关系 解析 思维点拨 温馨提醒 解析 思维点拨 温馨提醒 解析借助于长方体模型来解决本题 对于 可以得到平面 互相垂直 如图 1 所示 故 正确 对于 平面 可能垂直 如图 2 所示 解析 思维点拨 温馨提醒 对于 平面 可能垂直 如图 3 所示 对于 由m 可得m 因为n 所以过n作平面 且 g 如图 4 所示 所以n与交线g平行 因为m g 所以m n 答案 解析 思维点拨 温馨提醒 1 构造法实质上是结合题意构造合题意的直观模型 然后将问题利用模型直观地作出判断 这样减少了抽象性 避免了因考虑不全面而导致解题错误 2 对于线面 面面平行 垂直的位置关系的判定 可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断 方法与技巧 1 主要题型的解题方法 1 要证明 线共面 或 点共面 可先由部分直线或点确定一个平面 再证其余直线或点也在这个平面内 即 纳入法 2 要证明 点共线 可将线看作两个平面的交线 只要证明这些点都是这两个平面的公共点 根据公理2可知这些点在交线上 因此共线 方法与技巧 2 判定空间两条直线是异面直线的方法 1 判定定理 平面外一点a与平面内一点b的连线和平面内不经过点b的直线是异面直线 2 反证法 证明两线不可能平行 相交或证明两线不可能共面 从而可得两线异面 方法与技巧 3 求两条异面直线所成角的大小 一般方法是通过平行移动直线 把异面问题转化为共面问题来解决 根据空间等角定理及推论可知 异面直线所成角的大小与顶点位置无关 往往可以选在其中一条直线上 线面的端点或中点 利用三角形求解 失误与防范 1 正确理解异面直线 不同在任何一个平面内 的含义 不要理解成 不在同一个平面内 2 不共线的三点确定一个平面 一定不能丢掉 不共线 条件 3 两条异面直线所成角的范围是 0 90 1 2013 安徽改编 在下列命题中 不是公理的是 平行于同一个平面的两个平面相互平行 过不在同一条直线上的三点 有且只有一个平面 如果一条直线上的两点在一个平面内 那么这条直线上所有的点都在此平面内 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们有且只有一条过该点的公共直线 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 解析命题 是面面平行的性质定理 是由公理推证出来的 而公理是不需要证明的 答案 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 2014 辽宁改编 已知m n表示两条不同直线 表示平面 下列说法正确的是 填序号 若m n 则m n 若m n 则m n 若m m n 则n 若m m n 则n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 解析方法一若m n 则m n可能平行 相交或异面 错 若m n 则m n 因为直线与平面垂直时 它垂直于平面内任一直线 正确 若m m n 则n 或n 错 若m m n 则n与 可能相交 可能平行 也可能n 错 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 方法二如图 在正方体abcd a b c d 中 用平面abcd表示 中 若m为a b n为b c 满足m n 但m与n是相交直线 故 错 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 中 m n 满足m n 这是线面垂直的性质 故 正确 中 若m为aa n为ab 满足m m n 但n 故 错 中 若m为a b n为b c 满足m m n 但n 故 错 答案 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 3 设四面体的六条棱的长分别为1 1 1 1 和a 且长为a的棱与长为的棱异面 则a的取值范围是 解析此题相当于一个正方形沿着对角线折成一个四面体 长为a的棱长一定大于0且小于 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 4 四棱锥p abcd的所有侧棱长都为 底面abcd是边长为2的正方形 则cd与pa所成角的余弦值为 解析因为四边形abcd为正方形 故cd ab 则cd与pa所成的角即为ab与pa所成的角 即为 pab 在 pab内 pb pa ab 2 5 设p表示一个点 a b表示两条直线 表示两个平面 给出下列四个命题 其中正确的命题是 p a p a a b p b a a b a p b p b b p p p b 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 解析当a p时 p a p 但a 错 a p时 错 如图 a b p b p a 由直线a与点p确定唯一平面 又a b 由a与b确定唯一平面 但 经过直线a与点p 与 重合 b 故 正确 两个平面的公共点必在其交线上 故 正确 答案 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 6 如图所示 平面 两两相交 a b c为三条交线 且a b 则a与c b与c的位置关系是 解析 a b a b b 又 b c b c a b c a b c 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 7 2013 江西改编 如图 正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 上 且ab cd 正方体的六个面所在的平面与直线ce ef相交的平面个数分别记为m n 那么m n 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 解析取cd的中点h 连结eh hf 在四面体cdef中 cd eh cd fh 所以cd 平面efh 所以ab 平面efh 所以正方体的左 右两个侧面与ef平行 其余4个平面与ef相交 即n 4 又因为ce与ab在同一平面内 所以ce与正方体下底面共面 与上底面平行 与其余四个面相交 即m 4 所以m n 4 4 8 答案8 8 若两条异面直线所成的角为60 则称这对异面直线为 黄金异面直线对 在连结正方体各顶点的所有直线中 黄金异面直线对 共有 对 解析正方体如图 若要出现所成角为60 的异面直线 则直线为面对角线 以ac为例 与之构成黄金异面直线对的直线有4条 分别是a b bc a d c d 正方体的面对角线有12条 所以所求的黄金异面直线对共有 24 对 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 24 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 9 如图 空间四边形abcd中 e f g分别在ab bc cd上 且满足ae eb cf fb 2 1 cg gd 3 1 过e f g的平面交ad于点h 1 求ah hd ef 平面acd 而ef 平面efgh 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 平面efgh 平面acd gh ef gh ac gh ah hd 3 1 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 2 求证 eh fg bd三线共点 ef gh 四边形efgh为梯形 令eh fg p 则p eh 而eh 平面abd 又p fg fg 平面bcd 平面abd 平面bcd bd p bd eh fg bd三线共点 10 如图 在四棱锥o abcd中 底面abcd是边长为2的正方形 oa 底面abcd oa 2 m为oa的中点 1 求四棱锥o abcd的体积 解由已知可求得 正方形abcd的面积s 4 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 2 求异面直线oc与md所成角的正切值的大小 解连结ac 设线段ac的中点为e 连结me de 则 emd为异面直线oc与md所成的角