实变函数与泛函分析基础第二版 程其襄 第11章课后习题答案.doc

第十一章 线性算子的谱1 设。证明，且其中没有特征值。证明 当时，常值函数1不在的值域中，因此不是满射，这样。反之若，定义算子。则由于，且因此是C0，1中有界线性算子。易验证，所以。总之， 若，则对任意，可推得。由于，必有，所以A无特征值。证毕。2 设，证明。证明 对任意。因为常值函数1不在的值域中，因此。这样。反之，若，定义。类似第1题可证是有界线性算子，且。即。因此。证毕。3 设， 试求。解 对任意，若，定义，显然，因此的内点都是A的点谱，由于是闭集，则。对任意，显然，因此，所以。这样我们就证明了。4 设F是平面上无限有界闭集，是F的一稠密子集，在中定义算子T：则都是特征值，中每个点是T的连续谱。证明 对任意n，其中1在第n个坐标上。由题设，因此是T的特征值。又由于是闭集，所以。若，则。定义算子，若，易验证，且。因此。若，且，使。则对任意n，。由于，则，。这样x=0，因此不是特征值，而是连续谱。证毕。5 设为线性算子的特征值，则的n次根中至少有一个是算子A的特征值。证明 设是的特征值，的n次根为。存在，使，则。若，则就是A的特征值，否则必有某i，而，则是A的特征值。证毕。6 设A为Banach空间X上的有界线性算子，又设为X上一列有界线性算子，且，证明当n充分大后，也以为正则点。证明 。当n充分大时，这样 是可逆的。此可逆性由本章2定理1可证，又也是可逆的。因此当n充分大后，也可逆。证毕。7 设A是为Banach空间X上的有界线性算子，则当时，。证明 当时幂级数收敛，因此级数必按算子范数收敛。这就证明了，。 证毕。8 设A为X上的有界线性算子，则。其中与的意义同第7题。证明 在等式两边左乘右乘得。因此，证毕。9 设A是Hilbert空间H上的有界线性算子，A*为A的共轭算子，证明证明 先证若T是Hilbert空间H上的有界线性算子，若T可逆，则T*也可逆，且。事实上，对任意，。这样对任意成立，因此恒成立，进而。同理。这一证明了T*也可逆，且。现在设，则可逆，因此也可逆，从而。同理若，则，这就证明了。证毕。10 设是 到的全连续算子，是到的有界线性算子，则是到的全连续算子。证明 设 是 中有界点列。因为全连续，所以中必有收敛子列。我们记之为。又因为有界，所以也收敛，因此有收敛子列。这就证明了是全连续算子。证毕。11 设A是上线性算子，记，其中，证明A是全连续的。证明 若，定义：则是有界秩算子，且所以。由本章3定理2，A是全连续算子。证毕。12 的符号同第11题。作上算子U。证明U是上全连续算子且。证明 若，则。令，则是有限秩算子，且 所以。这样U是有限秩算子的极限，U必是全连续算子。由于全连续算子的非零谱都是特征值，因此要证，只要证U无非零特征值。倘若，。即。则，由此可得。因此不是U的特征值。证毕。13设 ， 求A的特征值和特征函数。（提示：记 ）解 记。设为对应特征值的特征函数，则，即。若，则。代入c的表达式：，解得。因此非零特征值，特征函数为，其中为任意非零常数。若，则，特征函数为中任意非零函数。14 积分算子的核为， 其中 为线性无关的函数组，则其非零特征值相应的特征向量e有形式 ， 是常数。若记 ，则可由下式决定：。证明 。若为A的特征值，为对应的特征向量，则。即，其中。将代入表达式得。即，。证毕。15 在14题中，若。试求特征值和特征函数。解 采用14题的符号，因为，所以，。这样决定的方程组。变为 ，。因此就是此积分算子的全体非零特征值。对应每一个，其相应的特征函数为。显然由张成的有限维线性子空间M的正交补空间中任一非零函数都是相应于0的特征函数。16 若，求积分算子K 的特征值和特征函数。 解 。令 可验证。因此积分算子K有两个非零特值。其中相应于特征函数为，相应于特征函数为。如15 题，0相应的特征函数为中非零函数。17 解方程。解 。设为的完全规范正交系，则由本章5定