2018学年广东省华南师大附中、实验中学、广雅中学、深圳高级中学四校联考高三（上）期末数学试卷（理科）（含解析）

2017-2018学年广东省华南师大附中、实验中学、广雅中学、深圳高级中学四校联考高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）集合，则A，BCD ，2（5分） 为虚数单位，则复数在复平面上对应的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3（5分）若实数， 满足条件，则 的最大值为A21B17C14D54（5分）已知两个单位向量，的夹角为，则的最小值为ABC1D5（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，在他所著的数书九章中提出的多项式求值的“秦九韶算法”，至今仍是比较先进的算法如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入， 的 值分别为 4，2，则输出 的值为A32B64C65D1306（5分）某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为AB1CD7（5分）已知函数 ，若函数 为奇函数，则 的值为ABC0D28（5分）已知函数 图象的一个对称中心为 ，且 ，则 的最小值为AB1CD29（5分）已知关于的方程在区间，上有两个实根，且，则实数的取值范围为A，B，C，D，10（5分）已知抛物线 的焦点为， 为坐标原点，点 ， ，连结， 分别交抛物线于点，且， 三点共线，则的值为A1B2C3D411（5分） 为自然对数的底数，已知函数 ，则函数 唯一零点的充要条件是A或B或C或D或12（5分）在三棱锥 中，则三棱锥 的外接球的表面积为ABCD二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13（5分）如图是一组数据的散点图，经最小二乘法计算，得与之间的线性回归方程为，则 14（5分） 展开式中的系数为 15（5分）过双曲线右顶点且斜率为2的直线，与该双曲线的右支交于两点，则此双曲线离心率的取值范围为16（5分）如图在平面四边形 中，则四边形 的面积为 三、解答题（共5小题，满分60分）17（12分）已知等差数列 的前项和为， ， 求 的值；求数列 的前项和18（12分）依据某地某条河流8 月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图（甲所示；依据当地的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图（乙所示试估计该河流在8 月份水位的中位数；以此频率作为概率，试估计该河流在8 月份发生1 级灾害的概率；（）该河流域某企业，在8 月份，若没受1、2 级灾害影响，利润为500 万元； 若受1 级灾害影响，则亏损100 万元；若受 2 级灾害影响则亏损1000 万元 现此企业有如下三种应对方案：方案防控等级费用（单位：万元）方案一无措施0方案二防控 1 级灾害40方案三防控 2 级灾害100试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案？说明理由19（12分）已知四棱锥，底面为菱形，为上的点，过的平面分别交，于点，且平面证明：；当为的中点， 与平面所成的角为，求二面角的余弦值20（12分）已知椭圆 的离心率为，圆与轴交于点、， 为椭圆上的动点， 面积最大值为求圆 与椭圆 的方程；圆 的切线 交椭圆 于点、，求的取值范围21（12分）已知函数 ，其中为自然对数的底数，常数求函数 在区间 上的零点个数；函数 的导数 ，是否存在无数个，使得为数 的极大值点？说明理由（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在平面直角坐标系 中，已知曲线与曲线 为参数， 以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系写出曲线，的极坐标方程；在极坐标系中，已知点是射线 与 的公共点，点 是与的公共点，当在区间，上变化时，求的最大值选修4-5：不等式选讲23已知函数 ，其中（1）当 时，求不等式 的解集；（2）若存在，使得 ，求实数 的取值范围2017-2018学年广东省华南师大附中、实验中学、广雅中学、深圳高级中学四校联考高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）集合，则A，BCD ，【考点】：交集及其运算【专题】37：集合思想；：定义法；59：不等式的解法及应用【分析】解不等式得集合、，根据交集的定义写出【解答】解：集合或，则或，故选：【点评】本题考查了解不等式和交集的定义与应用问题，是基础题2（5分） 为虚数单位，则复数在复平面上对应的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】：复数的代数表示法及其几何意义【专题】38：对应思想；：转化法；：数系的扩充和复数【分析】根据复数的几何意义以及复数的基本运算进行化简求解即可【解答】解：，对应点的坐标为位于第三象限，故选：【点评】本题主要考查复数的几何意义，根据条件先进行化简是解决本题的关键3（5分）若实数， 满足条件，则 的最大值为A21B17C14D5【考点】：简单线性规划【专题】11：计算题；38：对应思想；44：数形结合法；59：不等式的解法及应用【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得，令，化为，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最大，有最大值为17故选：【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题4（5分）已知两个单位向量，的夹角为，则的最小值为ABC1D【考点】：平面向量数量积的性质及其运算【专题】35：转化思想；41：向量法；：平面向量及应用【分析】运用向量的数量积 的定义和性质：向量的平方即为模的平方，结合二次函数的最值求法，即可得到所求最小值【解答】解：两个单位向量，的夹角为，可得，则，可得时，的最小值为故选：【点评】本题考查向量数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查二次函数的最值求法，考查运算能力，属于中档题5（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，在他所著的数书九章中提出的多项式求值的“秦九韶算法”，至今仍是比较先进的算法如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入， 的 值分别为 4，2，则输出 的值为A32B64C65D130【考点】：程序框图【专题】11：计算题；27：图表型；：试验法；：算法和程序框图【分析】由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的，的值，当时，不满足条件，跳出循环，输出的值为65【解答】解：模拟程序的运行，可得，满足条件，执行循环体，满足条件，执行循环体，满足条件，执行循环体，满足条件，执行循环体，不满足条件，退出循环，输出的值为65故选：【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的，的值是解题的关键，属于基础题6（5分）某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为AB1CD【考点】：由三视图求面积、体积【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；：立体几何【分析】由几何体的三视图得到该几何体的直观图，由此能求出结果【解答】解：由几何体的三视图得到该几何体是如图所求的三棱锥，此几何体的体积为：，故选：【点评】本题考查三棱锥的三视图的识别，三棱锥的体积，平常在生活中要多多观察身边的实物都是由什么几何形体构成的，以及它们的三视图的画法7（5分）已知函数 ，若函数 为奇函数，则 的值为ABC0D2【考点】：函数奇偶性的性质与判断【专题】33：函数思想；：转化法；51：函数的性质及应用【分析】根据函数的奇偶性得到关于，的方程，解出即可【解答】解：令，由是奇函数，得，由是偶函数，得，解得：，将代入，解得：，故，故选：【点评】本题考查了函数的奇偶性问题，考查转化思想，是一道中档题8（5分）已知函数 图象的一个对称中心为 ，且 ，则 的最小值为AB1CD2【考点】：函数的图象变换【专题】35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图象与性质【分析】由题意利用的图象和性质，求得的最小值【解答】解：根据题意可得，且，即：，或 ，即，或 ，两式相减可得，或，即，或对于，令，可得的最小值为，故选：【点评】本题主要考查的图象和性质，属于中档题9（5分）已知关于的方程在区间，上有两个实根，且，则实数的取值范围为A，B，C，D，【考点】：正弦函数的图象【专题】35：转化思想；57：三角函数的图象与性质【分析】将方程化简： ，根据在区间， 上有两个实根，且，对两个实根，的位置讨论，结合正弦函数可得答案【解答】解：由 ，方程化简 ，转化为函数与函数有两个交点，区间， 上有两个实根，由，则，设，由，可得，当时，结合正弦函数可知，不存在的值；当时，对应的，结合正弦函数可知，函数与函数有两个交点，此时可得：，故选：【点评】本题主要考查利用的图象特征，函数与函数有两个交点的问题，属于中档题10（5分）已知抛物线 的焦点为， 为坐标原点，点 ， ，连结， 分别交抛物线于点，且， 三点共线，则的值为A1B2C3D4【考点】：抛物线的性质【专题】11：计算题；34：方程思想；：转化法；：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由题意画出图形，求出、所在直线方程，与抛物线方程联立，分别求出，的纵坐标，由列式求得值【解答】解：如图， ， ，则，联立，解得，联立，解得， 三点共线，解得故选：【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，是中档题11（5分） 为自然对数的底数，已知函数 ，则函数 唯一零点的充要条件是A或B或C或D或【考点】52：函数零点的判定定理【专题】11：计算题；35：转化思想；44：数形结合法；51：函数的性质及应用【分析】作出和的函数图象，由图象得到两函数交点的情况，从而得出的范围【解答】解：分别画出和的函数图象设直线与相切，切点为，则，解得，当直线过点时，此时，当直线过点，此时，只有一解，与的函数图象只有1个交点，或或，函数 唯一零点的充要条件是或或，故选：【点评】本题考查函数零点的判定，考查方程根与函数零点的关系，体现了数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，属于中档题12（5分）在三棱锥 中，则三棱锥 的外接球的表面积为ABCD【考点】：球的体积和表面积【专题】35：转化思想；49：综合法；：球【分析】取中点，中点设的外心为，外接圆半径为，三棱锥 的外接球的球心为，由可得在四边形中，设，外接球的半径为，则，可得，可求即可【解答】解：取中点，中点，面面，设的外心为，外接圆半径为，三棱锥 的外接球的球心为，则面，由可得在四边形中，设，外接球的半径为，则，可得，则三棱锥 的外接球的表面积为故选：【点评】本题考查了三棱锥的外接球表面积，考查了转化思想，属于中档题二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13（5分）如图是一组数据的散点图，经最小二乘法计算，得与之间的线性回归方程为，则0.8【考点】：线性回归方程【专题】38：对应思想；：转化法；：概率与统计【分析】求出样本点的中心，代入回归方程求出系数的值即可【解答】解：由散点图得：，将代入，解得：，故答案为：0.8【点评】本题考查了回归方程，考查样本点的中心，是一道基础题14（5分） 展开式中的系数为1【考点】：二项式定理【专题】35：转化思想；49：综合法；：二项式定理【分析】把按照二项式定理展开，可得展开式中的系数【解答】解：，故展开式中的系数为，故答案为：1【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题15（5分）过双曲线右顶点且斜率为2的直线，与该双曲线的右支交于两点，则此双曲线离心率的取值范围为【考点】：圆锥曲线的综合【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先确定双曲线的渐近线斜率小于2，结合离心率，即可求得双曲线离心率的取值范围【解答】解：由题意过双曲线 ， 右顶点且斜率为 2 的直线，与该双曲线的右支交于两点，可得双曲线的渐近线斜率，双曲线离心率的取值范围为故答案为：【点评】本题考查双曲线的离心率的范围，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是利用渐近线的斜率与离心率的关系，属于中档题16（5分）如图在平面四边形 中，则四边形 的面积为【考点】：三角形中的几何计算【专题】35：转化思想；58：解三角形【分析】采用分割法对三角形进行分割，进一步利用余弦定理，勾股定理的逆定理及三角形的面积公式求出结果【解答】解：连接，在中，利用余弦定理得：，解得：，所以：，则：是直角三角形所以：，过点作，则：，所以：则：，故答案为：【点评】本题考查的知识要点：解三角形知识的应用，余弦定理的应用，三角形面积公式的应用三、解答题（共5小题，满分60分）17（12分）已知等差数列 的前项和为， ， 求 的值；求数列 的前项和【考点】：数列的求和；：数列递推式【专题】35：转化思想；54：等差数列与等比数列【分析】（）直接利用递推关系式求出数列的通项公式进一步求出参数的值（）根据数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和【解答】解：（）等差数列 的前项和为， ， 则：，整理得：，由于：，所以：所以数列是以为首项，1为等差的等差数列则：，所以：则：时，当时，由于：，所以：数列是等差数列则：，解得：（）由（）得：，则：，【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用18（12分）依据某地某条河流8 月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图（甲所示；依据当地的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图（乙所示试估计该河流在8 月份水位的中位数；以此频率作为概率，试估计该河流在8 月份发生1 级灾害的概率；（）该河流域某企业，在8 月份，若没受1、2 级灾害影响，利润为500 万元； 若受1 级灾害影响，则亏损100 万元；若受 2 级灾害影响则亏损1000 万元 现此企业有如下三种应对方案：方案防控等级费用（单位：万元）方案一无措施0方案二防控 1 级灾害40方案三防控 2 级灾害100试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案？说明理由【考点】：频率分布直方图；：古典概型及其概率计算公式；：离散型随机变量及其分布列；：离散型随机变量的期望与方差【专题】38：对应思想；49：综合法；：概率与统计【分析】根据中位数的定义计算中位数；根据条件概率公式求出1级灾害的发生概率；求出三种方案的利润数学期望，得出结论【解答】解：频率分布直方图中6个小矩形的面积分别是0.1，0.25，0.3，0.2，0.1，0.05，设8月份的水位中位数为，则，解得月份的水位中位数为37.5设该河流8月份水位小于40米为事件，水位在40米至50米为事件，水位大于50为事件，在，设发生小型灾害为事件，由条形图可知：，（B）由可知8月份该河流不发生灾害的概率为，发生1级灾害的概率为0.155，发生2级灾害的概率为设第种方案的企业利润为，2，若选择方案一，则的取值可能为500，的分布列为： 500 0.81 0.155 0.035（万元）若选择方案二，则的取值可能为460，且，的分布列为： 460 0.965 0.035（万元）若选择方案三，则，从利润考虑，该企业应选择第二种方案【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题19（12分）已知四棱锥，底面为菱形，为上的点，过的平面分别交，于点，且平面证明：；当为的中点， 与平面所成的角为，求二面角的余弦值【考点】：直线与平面垂直；：二面角的平面角及求法【专题】35：转化思想；49：综合法；：空间角【分析】（）连接交与，可得由平面，可得即可证明（）由（）得且， 与平面 所成的角为以为原点，建立如图的空间直角坐标系记，0，0，0，求出平面的法向量为，平面的法向量为，由，得二面角 的余弦值【解答】解：（）证明：连接交与，因为为菱形，所以，且 为、的中点，且、面面面，平面，且面平面，（）由（）得且，且为中点，面， 与平面 所成的角为可得，以为原点，建立如图的空间直角坐标系记，0，0，0，设平面的法向量为，由，可得设平面的法向量为，由，可得，所以二面角 的余弦值为：【点评】本题考查了空间直线垂直的判定，向量法求二面角，属于中档题20（12分）已知椭圆 的离心率为，圆与轴交于点、， 为椭圆上的动点， 面积最大值为求圆 与椭圆 的方程；圆 的切线 交椭圆 于点、，求的取值范围【考点】：圆与圆锥曲线的综合【专题】34：方程思想；48：分析法；：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由离心率公式和，的关系，结合椭圆的定义可得，即为椭圆的焦点，可得，再由位于椭圆短轴端点时，的面积取得最大值，解方程即可得到，的值，即有圆和椭圆的方程；讨论直线的斜率不存在时，求得切线的方程，代入椭圆方程可得交点和弦长；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，运用直线和圆相切的条件：，再由直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，化为的函数式，运用换元法和二次函数的最值求法，即可得到所求弦长的范围【解答】解：由椭圆方程可得，即为， 为椭圆 上的动点，且可设，由椭圆的定义可得，为焦点，即为，当位于椭圆的短轴的端点时，可得 面积最大值为，即，由解得，则圆的方程为；椭圆的方程为；当直线的斜率不存在时，直线的方程为时，可得与椭圆的交点为，则；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由直线与圆相切可得，即，由代入椭圆，可得，可得，可得，由，可得，可令，则，可得，由，可得综上可得的取值范围是，【点评】本题考查圆的方程和椭圆方程的求法和运用，考查直线和相切的条件，以及直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于难题21（12分）已知函数 ，其中为自然对数的底数，常数求函数 在区间 上的零点个数；函数 的导数 ，是否存在无数个，使得为数 的极大值点？说明理由【考点】53：函数的零点与方程根的关系；：利用导数研究函数的极值【专题】15：综合题；33：函数思想；：转化法；53：导数的综合应用【分析】（）先求导，再根据导数和函数的单调性的关系，以及零点存在定理即可求出，（）转化为当时，即证，构造函数设，根据导数的单调性和函数零点存在定理可得存在唯一的零点，使得，再判断函数的单调性，即可得到存时，使得为数 的极大值点【解答】解：（），当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，存在，使，且当时，时，函数 在区间 上只有一个零点；（）当时，当，由（）知，当时，时，下证：当时，即证，设，在上单调递增，（1），（e），存在唯一的零点，使得，且时，单调递减，时，单调递增，当时，（1），（e），由（1），（e），当时，故，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，故存时，使得为数 的极大值点【点评】本题考查了函数的单