2018学年贵州省贵阳一中高三（上）适应性月考数学试卷（理科）（一）（含解析）

2017-2018学年贵州省贵阳一中高三（上）适应性月考数学试卷（理科）（一）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合，则A，B，C，D，2（5分）复数在复平面上对应的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3（5分）已知在其定义域，上是减函数，若，则ABCD4（5分）双曲线方程为，则它的右焦点坐标为ABCD5（5分）某市国际马拉松邀请赛设置了全程马拉松、半程马拉松和迷你马拉松三个比赛项目，4位长跑爱好者各自任选一个项门参加比赛，则这4人中三个项目都有人参加的概率为ABCD6（5分）若方程有大于2的根，则实数的取值范围是ABCD7（5分）已知，都是锐角，且，则ABCD8（5分）如图所示，曲线，围成的阴影部分的面积为ABCD9（5分）设直线与椭圆交于，两点，若是直角三角形，则椭圆的离心率为ABCD10（5分）已知数列满足：，为求使不等式的最大正整数，某人编写了如图所示的程序框图，在框图的判断框中的条件和输出的表达式分别为A，B，C，D，11（5分）为得到函数的图象，可以把函数的图象A向左平移个单位B向左平移个单位C向右平移个单位D向右平移个单位12（5分）图是某几何体的三视图，则该几何体的各个棱长中，最长的棱的长度为ABCD二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）展开式的常数项是 （用数字作答）14（5分）已知变量，满足条件，则的最小值等于15（5分）如图，在中，是上一点，若，则 16（5分）已知，分别为锐角的三个内角，的对边，且，则周长的取值范围为 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（12分）已知数列满足：，（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求证：18（12分）为了解学生完成数学作业所需时间，某学校统计了高三年级学生每天完成数学作业的平均时间介于30分钟到90分钟之间，图是统计结果的频率分布直方图（1）数学教研组计划对作业完成较慢的的学生进行集中辅导，试求每天完成数学作业的平均时间为多少分钟以上的学生需要参加辅导？（2）现从高三年级学生中任选4人，记4人中每天完成数学作业的平均时间不超过50分钟的人数为，求的分布列和期望19（12分）如图，在三棱锥中，分别是，的中点，平面平面，是边长为2的正三角形，（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值20（12分）已知椭圆的离心率为，是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，的最小值为2（1）求椭圆的方程；（2）过点且与轴不重合的直线交椭圆于，两点，圆是以为圆心椭圆的长轴长为半径的圆，过且与垂直的直线与圆交于，两点，求四边形面积的取值范围21（12分）设，（1）令，求的单调区间；（2）已知在处取得极大值，求实数的取值范围请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点处，极轴与轴的非负半轴重合，且长度单位相同，直线的极坐标方程为：，曲线的参数方程为：，为参数），其中，（1）写出直线的直角坐标方程及曲线的普通方程；（2）若，为曲线与直线的两交点，求选修4-5：不等式选讲23设（1）求不等式的解集；（2）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围2017-2018学年贵州省贵阳一中高三（上）适应性月考数学试卷（理科）（一）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合，则A，B，C，D，【考点】：交集及其运算【专题】：集合【分析】求出集合，的等价条件，即可得到结论【解答】解：集合或，利用集合的运算可得：故选：【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据不等式的解法求出集合，是即可得到结论2（5分）复数在复平面上对应的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】：复数的代数表示法及其几何意义【专题】35：转化思想；：转化法；：数系的扩充和复数【分析】运用复数的乘除运算性质，化简所求复数，再由复数的几何意义求得对应的点，即可判断所求象限【解答】解：复数，则复数在复平面上对应的点为，且为第三象限的点，故选：【点评】本题考查复数的乘除运算性质，以及复数的几何意义，考查运算能力，属于基础题3（5分）已知在其定义域，上是减函数，若，则ABCD【考点】：函数单调性的性质与判断【专题】33：函数思想；：转化法；51：函数的性质及应用【分析】根据函数的定义域以及函数的单调性得到关于的不等式组，解出即可【解答】解：由题意得：，解得：，故选：【点评】本题考查了函数的单调性问题，是一道基础题4（5分）双曲线方程为，则它的右焦点坐标为ABCD【考点】：双曲线的性质【专题】11：计算题【分析】把双曲线方程化为标准方程可分别求得和，进而根据求得，焦点坐标可得【解答】解：双曲线的，右焦点为故选：【点评】本题考查双曲线的焦点，把双曲线方程先转化为标准方程，然后利用求出即可得出交点坐标但因方程不是标准形式，很多学生会误认为或，从而得出错误结论5（5分）某市国际马拉松邀请赛设置了全程马拉松、半程马拉松和迷你马拉松三个比赛项目，4位长跑爱好者各自任选一个项门参加比赛，则这4人中三个项目都有人参加的概率为ABCD【考点】：古典概型及其概率计算公式【专题】11：计算题；34：方程思想；：定义法；：概率与统计【分析】先求出基本事件总数，再求出这4人中三个项目都有人参加包含的基本事件个数，由此能求出这4人中三个项目都有人参加的概率【解答】解：某市国际马拉松邀请赛设置了全程马拉松、半程马拉松和迷你马拉松三个比赛项目，4位长跑爱好者各自任选一个项门参加比赛，基本事件总数，这4人中三个项目都有人参加包含的基本事件个数，这4人中三个项目都有人参加的概率为故选：【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用6（5分）若方程有大于2的根，则实数的取值范围是ABCD【考点】：二次函数的性质与图象【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；51：函数的性质及应用【分析】根据一元二次方程根与判别式之间的关系即可得到结论【解答】解：方程有大于2的根，可得或，解得：或故的取值范围为，故选：【点评】本题主要考查一元二次方程根与判别式之间的关系和应用，利用一二次不等式的解法是解决本题的关键7（5分）已知，都是锐角，且，则ABCD【考点】：两角和与差的三角函数【专题】11：计算题；35：转化思想；44：数形结合法；57：三角函数的图象与性质【分析】利用两角差的正弦函数公式，诱导公式可得，结合范围，利用余弦函数的图象和性质即可得解，【解答】解：，即：，又，都是锐角，可得：，整理可得：故选：【点评】本题主要考查了两角差的正弦函数公式，诱导公式，余弦函数的图象和性质的综合应用，考查了计算能力和数形结合思想，属于基础题8（5分）如图所示，曲线，围成的阴影部分的面积为ABCD【考点】69：定积分的应用【专题】11：计算题；53：导数的综合应用【分析】根据定积分的几何意义，用积分计算公式可以算出阴影部分面积【解答】解：由题意，故选：【点评】本题着重考查了定积分的几何意义和积分的计算公式等知识点，属于中档题9（5分）设直线与椭圆交于，两点，若是直角三角形，则椭圆的离心率为ABCD【考点】：椭圆的性质【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由题意求得点坐标，将代入椭圆方程，即可求得椭圆的离心率【解答】解：椭圆的两个焦点与、两点，是直角三角形，即，故选：【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查椭圆离心率的求法，考查计算能力，属于中档题10（5分）已知数列满足：，为求使不等式的最大正整数，某人编写了如图所示的程序框图，在框图的判断框中的条件和输出的表达式分别为A，B，C，D，【考点】：程序框图【专题】11：计算题；27：图表型；：试验法；：算法和程序框图【分析】先运行循环体，看运行后运行的结果，弄清循环次数，从而得到判断框的条件和输出的表达式【解答】解：由题意，进入循环的条件应为数列的和，故判断框中的条件应为由程序框图可知为数列项数计数，先累加，后判断，故输出的数列的项数应为故选：【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题11（5分）为得到函数的图象，可以把函数的图象A向左平移个单位B向左平移个单位C向右平移个单位D向右平移个单位【考点】：函数的图象变换【专题】33：函数思想；56：三角函数的求值；57：三角函数的图象与性质【分析】首先对函数的关系式进行恒等变换，然后对、逐一进行分析，然后按照对应关系，从而得出正确的结论【解答】解：函数，所以：函数的图象向左平移个单位，得到：的图象，故错误函数的图象向左平移个单位，得到：的图象，故错误函数的图象向右平移个单位，得到：的图象，故正确函数的图象向右平移个单位，得到：的图象，故错误故选：【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数图象的平移变换问题，属于基础题型12（5分）图是某几何体的三视图，则该几何体的各个棱长中，最长的棱的长度为ABCD【考点】：由三视图求面积、体积【专题】11：计算题；35：转化思想；：转化法；：空间位置关系与距离【分析】由几何体的三视图得所求几何体为圆中粗线所表示的图形，最长棱是，由此能求出结果【解答】解：由几何体的三视图得所求几何体为圆中粗线所表示的图形，最长棱是，由长方体对角线长公式得：故选：【点评】解决本类题的关键是准确理解几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）展开式的常数项是20（用数字作答）【考点】：二项式定理【专题】35：转化思想；49：综合法；：二项式定理【分析】求得展开式的通项公式，令的幂指数分别等于零和，求得的值，可得展开式的常数项【解答】解：展开式的通项为，令；令，无整数解，所以，展开式的常数项为，故答案为：20【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题14（5分）已知变量，满足条件，则的最小值等于【考点】：简单线性规划【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；：不等式【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由变量，满足条件，作出可行域如图，化目标函数为，由图可知，当直线过时直线在轴上的截距最大，有最小值为故答案为：【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题15（5分）如图，在中，是上一点，若，则6【考点】：平面向量数量积的性质及其运算【专题】11：计算题；49：综合法；：平面向量及应用【分析】利用已知条件转化向量关系通过垂直数量积为0，转化求解即可【解答】解：由已知在中，是上一点，可得，故答案为：6【点评】本题考查平面向量的数量积的应用，考查转化思想以及计算能力16（5分）已知，分别为锐角的三个内角，的对边，且，则周长的取值范围为【考点】：正弦定理【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形【分析】由已知及正弦定理，余弦定理可求，进而可求，由正弦定理可得，利用三角函数恒等变换的应用化简可求三角形的周长为：，结合的范围利用正弦函数的性质即可计算得解周长的取值范围【解答】解：由已知及正弦定理可得：，即，得，由正弦定理可得：，可得：，可得三角形的周长为：，可得周长的取值范围为：故答案为：【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（12分）已知数列满足：，（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求证：【考点】：数列的求和；：数列递推式【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列【分析】（1）利用递推关系式求出是以2为公差的等差数列，然后求解通项公式（2）化简通项公式，利用裂项消项法求解数列的和即可【解答】（本小题满分12分）（1）解：，所以是以2为公差的等差数列，所以，所以数列的通项公式为（2）证明：由（1）得，【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列通项公式的求法以及裂项消项法的应用，考查计算能力18（12分）为了解学生完成数学作业所需时间，某学校统计了高三年级学生每天完成数学作业的平均时间介于30分钟到90分钟之间，图是统计结果的频率分布直方图（1）数学教研组计划对作业完成较慢的的学生进行集中辅导，试求每天完成数学作业的平均时间为多少分钟以上的学生需要参加辅导？（2）现从高三年级学生中任选4人，记4人中每天完成数学作业的平均时间不超过50分钟的人数为，求的分布列和期望【考点】：离散型随机变量及其分布列；：离散型随机变量的期望与方差【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；：概率与统计【分析】（1）设每天完成作业所需时间为分钟以上的同学需要参加辅导，由频率分布图列出方程，能求出每天完成数学作业的平均时间为65分钟以上的同学需要参加辅导（2）把统计的频率作为概率，则选出的每个学生完成作业的时间不超过50分钟的概率为0.2，则，由此能求出的分布列和数学期望【解答】（本小题满分12分）解：（1）设每天完成作业所需时间为分钟以上的同学需要参加辅导，则由频率分布图得：，解得（分钟），所以，每天完成数学作业的平均时间为65分钟以上的同学需要参加辅导（2）把统计的频率作为概率，则选出的每个学生完成作业的时间不超过50分钟的概率为0.2，的分布列为： 0 1 2 3 4 0.4096 0.4096 0.1536 0.0256 0.0016【点评】本题考查频率分布图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查数据处理能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题19（12分）如图，在三棱锥中，分别是，的中点，平面平面，是边长为2的正三角形，（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值【考点】：直线与平面垂直；：二面角的平面角及求法【专题】14：证明题；31：数形结合；41：向量法；：空间位置关系与距离；：空间角【分析】（1）以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面（2）求出平面的一个法向量和平面（即平面的一个法向量，利用向量法能出二面角的余弦值【解答】（本小题满分12分）证明：（1）在三棱锥中，分别是，的中点，平面平面，是边长为2的正三角形，如图，以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，则，0，0，0，是平面内的两条相交直线，平面解：（2），0，0，设平面的一个法向量，则，取，得，设平面（即平面的一个法向量为，则，取，得，设二面角的平面角为，则，二面角的余弦值为【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题20（12分）已知椭圆的离心率为，是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，的最小值为2（1）求椭圆的方程；（2）过点且与轴不重合的直线交椭圆于，两点，圆是以为圆心椭圆的长轴长为半径的圆，过且与垂直的直线与圆交于，两点，求四边形面积的取值范围【考点】：椭圆的标准方程；：直线与椭圆的综合【专题】15：综合题；36：整体思想；：演绎法；：圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】（1）由题意求得，的值即可确定椭圆方程；（2）分类讨论直线的斜率是否存在两种情况，求解函数的值域即可求得面积的取值范围【解答】解：（1）已知，的最小值为，又，解得，所以椭圆方程为（2）当与轴不垂直时，设的方程为，由得则所以过点且与垂直的直线，到的距离为，所以故四边形的面积可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为当与轴垂直时，其方程为，四边形的面积为12综上，四边形面积的取值范围为【点评】本题考查了椭圆方程的求解，直线与椭圆的位置关系，椭圆中四边形面积范围的求解等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题21（12分）设，（1）令，求的单调区间；（2）已知在处取得极大值，求实数的取值范围【考点】：利用导数研究函数的单调性；：利用导数研究函数的极值【专题】33：函数思想；：转化法；53：导数的综合应用【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；（2）通过讨论的范围，求出函数的单调区间，得到函数的极大值，从而确定的范围即可【解答】解：（1）由，可得，则，当时，时，函数单调递增，当时，时，函数单调递增，时，函数单调递减所以当时，函数的单调递增区间为，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为（2）由（1）知，（1）当时，单调递增，所以当时，单调递减，当时，单调递增，所以在处取得极小值，不合题意当时，由（）知在内单调递增，可得当时，时，所以在内单调递减，在内单调递增，所以在处取得极小值，不合题意当时，即，在内单调递增，在内单调递减，所以当时，单调递减，不合题意当时，即，当时，单调递增，当时，单调递减，所以在处取得极大值，合题意综上可知，实数的取值范围为【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点处，极轴与轴的非负半轴重合，且长度单位相同，直线的极坐标方程为：，曲线的参数方程为：，为参数），其中，（1）写出直线的直角坐标方程及曲线的普通方程；（2）若，为曲线与