2017学年重庆市沙坪坝区南开中学高三（上）7月月考数学试卷（理科）（含解析）

2016-2017学年重庆市沙坪坝区南开中学高三（上）7月月考数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分1（5分）已知，则A，B，CD，2（5分）命题“若，则”的否命题是A若，则B若，则C若，则D若，则3（5分）抛物线的准线方程为ABCD4（5分）已知正数，满足：，则的最小值为A6B7C8D95（5分）已知，则（2）A1B2C3D46（5分）以下选项中的两个函数不是同一个函数的是A B C D 7（5分）已知变量，满足，则的取值范围为A，B，C，D，8（5分）在区间，内任取两个实数，则方程有两根，且的概率为ABCD9（5分）已知正实数，满足，则的最小值为ABCD10（5分）已知关于的方程，在，上有根，则实数的取值范围为A，B，C，D，11（5分）对于实数、，定义运算“”： ，设，且关于的方程恰有三个互不相同的实根、，则取值范围为ABCD12（5分）已知函数，当，时，记的最大值为，对任意的，恒成立则实数的最大值为A1B2C3D4二、填空题：本题共4小题，每小题5分13（5分）已知函数定义域为，则函数的定义域为 14（5分）已知函数，若，则的表达式为 15（5分）变量，满足，若目标函数仅在点处取得最大值，则实数的取值范围是 16（5分）已知函数任取实数，以（a），（b），（c）为三边长可以构成三角形，则实数的取值范围为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）已知函数（1）解关于的不等式：；（2）若，求函数的值域18（12分）已知函数（1）若函数定义域为，求实数的取值范围；（2）若函数值域为，求实数的取值范围19（12分）如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，且，为中点（1）求证：；（2）若，求二面角的余弦值20（12分）已知椭圆的长轴长为4，离心率为，右焦点为（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆相切于点（不为椭圆的左、右顶点），直线与直线交于点，直线与直线交于点，请问是否为定值？若不是，请说明理由；若是，请证明21（12分）已知函数的图象在点，处的切线为（1）求函数的解析式；（2）若关于的方程有两个不等实根，求实数的取值范围；（3）在（2）的条件下，若，求证：请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22（10分）如图，圆与圆半径分别为，相交于，两点，直线过点，分别交圆、圆于点、在的异侧），直线过点，分别交圆、圆于点，、在的异侧），且平行于，点，在与之间（1）求证：四边形为平行四边形；（2）若四边形面积与四边形面积相等，求证：线段与线段互相平分23在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为：直线与曲线相交于点，（1）求直线的直角坐标方程；（2）若直线与轴交于点，求24已知函数（1）若，解不等式：；（2）若对任意的实数恒成立，求实数的取值范围2016-2017学年重庆市沙坪坝区南开中学高三（上）7月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分1（5分）已知，则A，B，CD，【考点】：交集及其运算【专题】11：计算题；37：集合思想；：定义法；：集合【分析】求出集合，根据集合的基本运算，即可得到结论【解答】解：，故选：【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础2（5分）命题“若，则”的否命题是A若，则B若，则C若，则D若，则【考点】21：四种命题【专题】：简易逻辑【分析】命题的否命题是否定题设又否定结论，从而得到答案【解答】解：命题“若，则”的否命题是：若，则，故选：【点评】本题考查了命题的否命题，要和命题的否定区别开，本题属于基础题3（5分）抛物线的准线方程为ABCD【考点】：抛物线的性质【专题】11：计算题；：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用抛物线的基本性质，能求出抛物线的准线方程【解答】解：，抛物线的准线方程为故选：【点评】本题考查抛物线的简单性质，是基础题解题时要认真审题，仔细解答4（5分）已知正数，满足：，则的最小值为A6B7C8D9【考点】：基本不等式及其应用【专题】36：整体思想；59：不等式的解法及应用【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出【解答】解：，当且仅当时取等号的最小值是9故选：【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题5（5分）已知，则（2）A1B2C3D4【考点】：函数的值【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；51：函数的性质及应用【分析】直接利用函数的解析式，求解函数值即可【解答】解：，则（2）故选：【点评】本题考查函数的解析式的应用，正确利用函数的表达式的意义是解题的关键6（5分）以下选项中的两个函数不是同一个函数的是A B C D 【考点】32：判断两个函数是否为同一函数【专题】11：计算题；33：函数思想；：定义法；51：函数的性质及应用【分析】判断两个函数是否为同一函数，应判定它们的定义域、值域以及对应关系是否相同，三方面都相同时是同一函数【解答】解：中的定义域是，的定义域是，且对应关系相同，是同一函数；中，的定义域是，且对应关系相同，是同一函数；中的定义域是，的定义域是，或，不是同一函数；中与的定义域都是，值域都是，对应关系相同，是同一函数；故选：【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，是基础题7（5分）已知变量，满足，则的取值范围为A，B，C，D，【考点】：简单线性规划【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；59：不等式的解法及应用【分析】画出约束条件的可行域，利用所求表达式的几何意义求解即可【解答】解：不等式表示的平面区域为如图所示，设平面区域内动点，则，当为点时斜率最大，当为点时斜率最小，所以，故选：【点评】本题考查线性规划的简单应用，掌握所求表达式的几何意义是解题的关键8（5分）在区间，内任取两个实数，则方程有两根，且的概率为ABCD【考点】：几何概型【专题】15：综合题；31：数形结合；49：综合法；：概率与统计【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出对应图形的面积，及满足条件“方程有两根，且”的点对应的图形的面积，然后再结合几何概型的计算公式进行求解【解答】解：设，方程有两根，且，（1），在区间，内任取两个实数，作出区域，如图所示正方形的面积为4，阴影部分的面积为，所求的概率为，故选：【点评】本题着重考查了用不等式组表示平面区域和几何概率的求法等知识点，属于中档题9（5分）已知正实数，满足，则的最小值为ABCD【考点】：基本不等式及其应用【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；59：不等式的解法及应用【分析】首先左边是的形式右边是和常数的和的形式，考虑把右边也转化成的形式，使形式统一可以猜想到应用基本不等式，转化后变成关于的方程，可把看成整体换元后求最小值，再根据基本不等式即可求出的最小值【解答】解：由条件利用基本不等式可得，令，即，可得即得到，可解得或又注意到，故解为，故选：【点评】本题主要考查了用基本不等式解决最值问题的能力，以及换元思想和简单一元二次不等式的解法，属中档题10（5分）已知关于的方程，在，上有根，则实数的取值范围为A，B，C，D，【考点】53：函数的零点与方程根的关系【专题】38：对应思想；49：综合法；51：函数的性质及应用【分析】讨论方程类型和方程在，上的根的个数，利用二次函数的性质列出不等式解出【解答】解：当时，方程的零点为，不符合题意，（1）若方程在，有一个根，若3为方程的根，则，解得，若3不是方程的根，则或解得或无解（2）若方程在，上有两个根，则，解得：，综上，的范围是，故选：【点评】本题考查了方程根的个数判断，一元二次方程与二次函数的关系，不等式的解法，属于中档题11（5分）对于实数、，定义运算“”： ，设，且关于的方程恰有三个互不相同的实根、，则取值范围为ABCD【考点】：函数的图象与图象的变换；53：函数的零点与方程根的关系【专题】35：转化思想；：转化法；51：函数的性质及应用【分析】根据定义求出解析式，画出图象，判断即可【解答】解：，其图象如下图所示：由图可得：，故，故选：【点评】本题考察了函数的图象，在求解零点问题中的应用属于中档题12（5分）已知函数，当，时，记的最大值为，对任意的，恒成立则实数的最大值为A1B2C3D4【考点】：函数恒成立问题【专题】35：转化思想；48：分析法；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用【分析】求出的导数，分解因式，可得区间，为减区间，可得的最值，由绝对值不等式的性质，结合二次函数的最值求法，可得的范围，进而得到的最大值【解答】解：函数的导数为，由，可得，则区间，为减区间，可得的最小值为，最大值为（2），对任意的，恒成立，可得，即为，由，可得，即，则的最大值为2故选：【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用导数判断单调性，考查绝对值不等式的性质和化简整理的运算能力，属于中档题二、填空题：本题共4小题，每小题5分13（5分）已知函数定义域为，则函数的定义域为，【考点】33：函数的定义域及其求法【专题】11：计算题；33：函数思想；：定义法；51：函数的性质及应用【分析】题目给出了函数的定义域，只要让在函数的定义域内，且，求解的范围即可【解答】解：定义域为，即，的定义域为，解得，故函数的定义域为，故答案为：，【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，给出了函数的定义域为，求函数的定义域，只要用，求解的范围即可，此题是基础题14（5分）已知函数，若，则的表达式为【考点】：数列与函数的综合【专题】11：计算题；35：转化思想；54：等差数列与等比数列【分析】由条件利用用代入法求得函数的解析式【解答】解：由题意可得，故答案为：【点评】本题主要考查用代入法求函数的解析式，体现了整体代换的数学思想，属于基础题15（5分）变量，满足，若目标函数仅在点处取得最大值，则实数的取值范围是【考点】：简单线性规划【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；：不等式【分析】画出满足条件的平面区域，平移关于目标函数的直线，结合图象求出的范围即可【解答】解：画出满足线性约束条件的平面区域，如图示：，由目标函数得：，而直线的斜率是1，的斜率是，若直线仅在处取得最大值，只需，则实数的取值范围是，故答案为：【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题16（5分）已知函数任取实数，以（a），（b），（c）为三边长可以构成三角形，则实数的取值范围为，【考点】：函数的值；57：函数与方程的综合运用【专题】33：函数思想；：分类法；：换元法；51：函数的性质及应用【分析】利用换元法求出的最值，令解出的范围【解答】解：设的最小值为，的最大值为，取实数，以（a），（b），（c）为三边长可以构成三角形，令，则，令，（1）若即，则在，上单调递减，（1），解得，舍去（2）若即，则在，上单调递增，（1），即，舍去（3）若，即，则在，上单调递增，在，上单调递减，（1），解得（4）若即，则在，上单调递增，在，上单调递减，解得，综上，的取值范围是，故答案为，【点评】本题考查了函数最值的求法，二次函数的性质，属于难题三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）已知函数（1）解关于的不等式：；（2）若，求函数的值域【考点】：绝对值不等式的解法【专题】35：转化思想；49：综合法；：不等式【分析】（1）问题转化为，解出即可；（2）设，换元得到，求出其范围即可【解答】解：（1），即，解得：或；（2），设，则，【点评】本题考查了解不等式问题，考查换元思想，是一道中档题18（12分）已知函数（1）若函数定义域为，求实数的取值范围；（2）若函数值域为，求实数的取值范围【考点】：对数函数的图象与性质【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；51：函数的性质及应用【分析】（1）由，可得，求出右边的最小值，即可求实数的取值范围；（2）函数值域为，则能取遍一切正实数，可求实数的取值范围【解答】解：（1）由，可得，；（2）函数值域为，则能取遍一切正实数，【点评】本题主要考查了对数函数的图象和性质，函数的值域的意义和应用，均值定理在求函数最值中的应用，属中档题19（12分）如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，且，为中点（1）求证：；（2）若，求二面角的余弦值【考点】：直线与平面垂直；：二面角的平面角及求法【专题】31：数形结合；41：向量法；：空间位置关系与距离；：空间角【分析】（1）以为原点距离坐标系，求出，的坐标，可通过计算得出；（2）分别求出两平面的法向量，计算法向量 夹角，即可得出二面角的大小【解答】证明：（1）以为坐标原点，以，为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：设，则，0，0，0，0，0，（2）当时，0，2，设平面的法向量为，平面的法向量为，则，即，令得，令得，0，二面角的余弦值为【点评】本题考查了二面角的计算，空间向量的应用，属于中档题20（12分）已知椭圆的长轴长为4，离心率为，右焦点为（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆相切于点（不为椭圆的左、右顶点），直线与直线交于点，直线与直线交于点，请问是否为定值？若不是，请说明理由；若是，请证明【考点】：椭圆的标准方程；：直线与圆锥曲线的综合【专题】35：转化思想；49：综合法；：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）由，离心率，即可求得和，即可求得椭圆的方程；（2）的斜率为0时，为直角，则为定值，当斜率不为0时，将切点代入椭圆方程，求得交点坐标，求得和的斜率及，即可求得，即可求得为定值【解答】解：（1），即，椭圆方程为：，（2）证明：当的斜率为0时，为直角，则为定值，为，当斜率不为0时，设切点为，则，为定值【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题21（12分）已知函数的图象在点，处的切线为（1）求函数的解析式；（2）若关于的方程有两个不等实根，求实数的取值范围；（3）在（2）的条件下，若，求证：【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用【分析】（1）求导数，利用函数的图象在点，处的切线为，求出，即可求函数的解析式；（2）确定函数的最大值为（1），利用关于的方程有两个不等实根，即可求实数的取值范围；（3）不妨设，先证明，对恒成立，再利用，函数单调递减，即可证明结论【解答】（1）解：由题意，函数的图象在点，处的切线为，；（2）解：由（1），函数单调递增；，函数单调递减，函数的最大值为（1），关于的方程有两个不等实根，；（3）证明：不妨设，先证明，对恒成立，只要证明，只要证明令，则，在上单调递增，函数单调递减，【点评】本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想等请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22（10分）如图，圆与圆半径分别为，相交于，两点，直线过点，分别交圆、圆于点、在的异侧），直线过点，分别交圆、圆于点，、在的异侧），且平行于，点，在与之间（1）求证：四边形为平行四边形；（2）若四边形面积与四边形面积相等，求证：线段与线段互相平分【考点】：与圆有关的比例线段【专题】17：选作题；35：转化思想；49：综合法；：推理和证明【分析】（1）证明两组对边分别平行，即可证明四边形为平行四边形；（2）证明，可得四边形为平行四边形，即可证明：线段与线段互相平分【解答】证明：（1）由题意可知四边形，均为等腰梯形，又，四边形是平行四边形；（2），又，四边形为平行四边形，同理可得，四边形为平行四边形，线段与线段互相平分【点评】本题考查平行四边形的证明，考查学生分析解决问题的能力，考查学