2017学年云南师大附中高三（上）月考数学试卷（理科）（5）（含解析）

2016-2017学年云南师大附中高三（上）月考数学试卷（理科）（5）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）集合，若，则实数的取值范围是A，BC，D2（5分）复数，则其共轭复数在复平面内对应的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3（5分）下列说法正确的是A“”是“”的充分不必要条件B命题“，”的否定是“”C命题“若，则”的逆命题为真命题D命题“若，则或”为真命题4（5分）已知函数，则下列说法正确的是A的图象关于直线对称B的周期为C若，则D在区间，上单调递减5（5分）秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，其算法的程序框图如图所示，若输入的，分别为0，1，2，若，根据该算法计算当时多项式的值，则输出的结果为A248B258C268D2786（5分）在棱长为2的正方体中任取一点，则满足的概率为ABCD7（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A8BCD48（5分）已知实数，满足，则的最大值为A6B12C13D149（5分）三棱锥内接于半径为的球中，则三棱锥的体积的最大值为ABCD10（5分）已知抛物线的焦点为，准线为，抛物线的对称轴与准线交于点，为抛物线上的动点，当最小时，点恰好在以，为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为ABCD11（5分）函数的图象与直线从左至右分别交于点，与直线从左至右分别交于点，记线段和在轴上的投影长度分别为，则的最小值为ABCD12（5分）若函数与函数有公切线，则实数的取值范围为A，BCD二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）已知函数，若，则实数的取值范围是 14（5分）点是圆上的动点，点，为坐标原点，则面积的最小值是 15（5分）已知平面向量满足，则的最小值是 16（5分）已知数列满足，且，则 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（12分）在中，角，的对边分别为，已知（1）证明：为钝角三角形；（2）若的面积为，求的值18（12分）某公司即将推车一款新型智能手机，为了更好地对产品进行宣传，需预估市民购买该款手机是否与年龄有关，现随机抽取了50名市民进行购买意愿的问卷调查，若得分低于60分，说明购买意愿弱；若得分不低于60分，说明购买意愿强，调查结果用茎叶图表示如图所示（1）根据茎叶图中的数据完成列联表，并判断是否有的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关？购买意愿强购买意愿弱合计岁大于40岁合计（2）从购买意愿弱的市民中按年龄进行分层抽样，共抽取5人，从这5人中随机抽取2人进行采访，记抽到的2人中年龄大于40岁的市民人数为，求的分布列和数学期望附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82819（12分）如图，三棱锥中，平面，是的中点，是的中点，点在上，（1）证明：平面；（2）若，求二面角的余弦值20（12分）已知抛物线，圆，点为抛物线上的动点，为坐标原点，线段的中点的轨迹为曲线（1）求抛物线的方程；（2）点，是曲线上的点，过点作圆的两条切线，分别与轴交于，两点求面积的最小值21（12分）已知函数（1）若曲线在点处的切线斜率为1，求函数在，上的最值；（2）令，若时，恒成立，求实数的取值范围；（3）当且时，证明请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在直角坐标系中，将曲线为参数）上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到曲线；以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的极坐标方程；（2）已知点，直线的极坐标方程为，它与曲线的交点为，与曲线的交点为，求的面积选修4-5：不等式选讲23已知函数（1）求的图象与轴围成的三角形面积；（2）设，若对，恒有成立，求实数的取值范围2016-2017学年云南师大附中高三（上）月考数学试卷（理科）（5）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）集合，若，则实数的取值范围是A，BC，D【考点】18：集合的包含关系判断及应用【专题】15：综合题；32：分类讨论；：演绎法；：集合【分析】分类讨论，利用集合的包含关系，即可得出结论【解答】解：时，满足题意；当时，集合，满足题意；当时，若，则，故选：【点评】本题考查集合的关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题2（5分）复数，则其共轭复数在复平面内对应的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】：复数的代数表示法及其几何意义【专题】11：计算题；35：转化思想；：数学模型法；：数系的扩充和复数【分析】由复数代数形式的乘除运算化简复数，求出，再求出在复平面内对应的点的坐标，则答案可求【解答】解：，则其共轭复数在复平面内对应的点的坐标为：，位于第三象限故选：【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3（5分）下列说法正确的是A“”是“”的充分不必要条件B命题“，”的否定是“”C命题“若，则”的逆命题为真命题D命题“若，则或”为真命题【考点】：命题的真假判断与应用【专题】11：计算题；35：转化思想；：简易逻辑【分析】对每个选项，分别利用充要条件，命题的否定，四种命题的逆否关系，判断正误即可【解答】解：选项可得，所以“”是其必要不充分条件；选项：“，”的否定是“，”，故错误；选项：命题“若，则”的逆命题是“若，则”，当时，不成立；选项：其逆否命题为“若且，则”为真命题，故原命题为真故选：【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，考查计算能力4（5分）已知函数，则下列说法正确的是A的图象关于直线对称B的周期为C若，则D在区间，上单调递减【考点】：命题的真假判断与应用；：三角函数的恒等变换及化简求值；：正弦函数的图象【专题】：探究型；：数学模型法；56：三角函数的求值；：简易逻辑【分析】，进而逐一分析各个答案的正误，可得结论【解答】解：，故函数的图象关于直线，对称，故错误；的周期为，故错误；函数的周期为，若，则，故错误；在区间，上单调递减，故正确；故选：【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了三角函数的图象和性质，难度中档5（5分）秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，其算法的程序框图如图所示，若输入的，分别为0，1，2，若，根据该算法计算当时多项式的值，则输出的结果为A248B258C268D278【考点】：程序框图【专题】38：对应思想；：转化法；：算法和程序框图【分析】模拟执行程序，可得程序框图的功能求出当时的值，即可得解【解答】解：该程序框图是计算多项式当时的值，而（2），故选：【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，属于基础题6（5分）在棱长为2的正方体中任取一点，则满足的概率为ABCD【考点】：几何概型【专题】15：综合题；35：转化思想；：演绎法；：概率与统计【分析】在棱长为2的正方体中任取一点，满足的区域的面积为半径为1的球体的，以体积为测度，即可得出结论【解答】解：在棱长为2的正方体中任取一点，满足的区域的面积为半径为1的球体的，体积为，所求概率为，故选：【点评】本题考查几何概型的概率计算，关键是确定满足条件的区域，利用体积比值求解7（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A8BCD4【考点】：由三视图求面积、体积；：棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】11：计算题；31：数形结合；：空间位置关系与距离；：立体几何【分析】由三视图还原出该几何体为长方体切去一部分，画出几何体的直观图，进而可得答案【解答】解：由三视图还原出该几何体为长方体切去一部分，如图所示，所以剩余部分体积为，故选：【点评】本题考查的知识点棱锥的体积和表面积，棱柱的体积和表面积，空间几何体的三视图8（5分）已知实数，满足，则的最大值为A6B12C13D14【考点】：三角函数的最值；：绝对值三角不等式【专题】15：综合题；35：转化思想；：演绎法；：不等式【分析】设，即可得出结论【解答】解：设，的最大值为12，故选：【点评】本题考查椭圆的参数方程，考查三角函数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题9（5分）三棱锥内接于半径为的球中，则三棱锥的体积的最大值为ABCD【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】11：计算题；39：运动思想；44：数形结合法；：空间位置关系与距离【分析】过作平面，使平面，交于，设点到的距离为，则当球的直径通过与的中点时，最大为2，从而得到四面体的体积的最大值【解答】解：过作平面，使平面，交与，设点到的距离为，则有，当球的直径通过与的中点时，最大为，则四面体的体积的最大值为故选：【点评】本题主要考查球内接多面体等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象力属中档题10（5分）已知抛物线的焦点为，准线为，抛物线的对称轴与准线交于点，为抛物线上的动点，当最小时，点恰好在以，为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为ABCD【考点】：直线与抛物线的综合【专题】11：计算题；35：转化思想；：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求出，过点作垂直于准线，则记，则，当最小时，有最小值，设，然后求解，即可求解椭圆的离心率、【解答】解：由已知，过点作垂直于准线，则记，则，当最小时，有最小值，此时直线与抛物线相切于点设，可得，所以，则，故选：【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，椭圆的简单性质的应用，考查计算能力11（5分）函数的图象与直线从左至右分别交于点，与直线从左至右分别交于点，记线段和在轴上的投影长度分别为，则的最小值为ABCD【考点】57：函数与方程的综合运用【专题】15：综合题；35：转化思想；：演绎法；51：函数的性质及应用【分析】依题意可求得，的横坐标值，得，利用基本不等式可求最小值【解答】解：在同一坐标系中作出，的图象，如图，设，由，得，由，得，依照题意得，又，当且仅当，即时取“”号，的最小值为，故选：【点评】本题考查对数函数图象与性质的综合应用，理解投影的概念并能把问题转化为基本不等式求最值是解决问题的关键，属中档题12（5分）若函数与函数有公切线，则实数的取值范围为A，BCD【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】15：综合题；35：转化思想；：演绎法；52：导数的概念及应用【分析】分别求出导数，设出各自曲线上的切点，得到切线的斜率，再由两点的斜率公式，结合切点满足曲线方程，可得切点坐标的关系式，整理得到关于一个坐标变量的方程，借助于函数的极值和最值，即可得到的范围【解答】解：，设与相切的切点为，与曲线相切的切点为，则有公共切线斜率为，又，即有，设，所以，且趋近与1时，无限增大，故选：【点评】本题考查导数的几何意义，主要考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查运算能力，属于中档题二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）已知函数，若，则实数的取值范围是【考点】：利用导数研究函数的单调性【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；53：导数的综合应用【分析】求出函数的导数，判断导函数的符号，判断单调性，转化不等式求解即可【解答】解：因为函数，可得，所以函数为增函数，所以不等式，等价于，解得，故答案为：【点评】本题考查函数的导数的应用，不等式的求法，考查转化思想以及计算能力14（5分）点是圆上的动点，点，为坐标原点，则面积的最小值是2【考点】：直线与圆的位置关系【专题】15：综合题；34：方程思想；：演绎法；：直线与圆【分析】求出圆上的动点到直线的距离的最小值，即可求出面积的最小值【解答】解：因为圆，直线的方程为，所以圆心到直线的距离为，所以圆上的动点到直线的距离的最小值为，所以面积的最小值为故答案为2【点评】本题考查三角形面积的计算，考查直线与圆的位置关系，属于中档题15（5分）已知平面向量满足，则的最小值是4【考点】91：向量的概念与向量的模；：平面向量数量积的性质及其运算【专题】15：综合题；35：转化思想；41：向量法；：平面向量及应用【分析】不妨设，根据向量的数量积的运算得到，再根据向量的模的和基本不等式即可求出答案【解答】解：不妨设，则，则，当且仅当，即时“”成立故答案为：4【点评】本题考查了向量数量积运算性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16（5分）已知数列满足，且，则【考点】：数列递推式【专题】34：方程思想；35：转化思想；54：等差数列与等比数列【分析】由，可得：，于是，利用等比数列的通项公式即可得出【解答】解：由，可得：，于是，又，数列是以为首项，为公比的等比数列，故，故答案为：【点评】本题考查了等比数列的通项公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（12分）在中，角，的对边分别为，已知（1）证明：为钝角三角形；（2）若的面积为，求的值【考点】：正弦定理【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得：，即，又，利用余弦定理可求，可得为钝角，即可得解（2）由同角三角函数基本关系式可求，利用三角形面积公式可求又，进而可求的值【解答】（本小题满分12分）解：（1）证明：由正弦定理：，又，即，所以，所以，所以为钝角，故为钝角三角形 （6分）（2）解：因为，又，又，所以， （12分）【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题18（12分）某公司即将推车一款新型智能手机，为了更好地对产品进行宣传，需预估市民购买该款手机是否与年龄有关，现随机抽取了50名市民进行购买意愿的问卷调查，若得分低于60分，说明购买意愿弱；若得分不低于60分，说明购买意愿强，调查结果用茎叶图表示如图所示（1）根据茎叶图中的数据完成列联表，并判断是否有的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关？购买意愿强购买意愿弱合计岁大于40岁合计（2）从购买意愿弱的市民中按年龄进行分层抽样，共抽取5人，从这5人中随机抽取2人进行采访，记抽到的2人中年龄大于40岁的市民人数为，求的分布列和数学期望附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828【考点】：离散型随机变量及其分布列；：离散型随机变量的期望与方差【专题】11：计算题；35：转化思想；：转化法；：概率与统计【分析】（1）由茎叶图能完成列联表，由列联表求出，从而得到没有的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关（2）购买意愿弱的市民共有20人，抽样比例为，所以年龄在岁的抽取了2人，年龄大于40岁的抽取了3人，则的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望【解答】（本小题满分12分）解：（1）由茎叶图可得：购买意愿强购买意愿弱合计岁20828大于40岁101222合计302050由列联表可得：，所以，没有的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关（6分）（2）购买意愿弱的市民共有20人，抽样比例为，所以年龄在岁的抽取了2人，年龄大于40岁的抽取了3人，则的可能取值为0，1，2，所以分布列为012数学期望为 （12分）【点评】本题考查茎叶图、独立性检验的应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用19（12分）如图，三棱锥中，平面，是的中点，是的中点，点在上，（1）证明：平面；（2）若，求二面角的余弦值【考点】：直线与平面平行；：二面角的平面角及求法【专题】35：转化思想；49：综合法；：空间位置关系与距离【分析】（）法一，过点作交于点，取的中点，连接，可得四边形为平行四边形，即可证明平面法二，取中点，连接，得平面平面，即可对平面（）解：作于点，过点作，以为坐标原点，所在直线为轴、轴、轴建立如图6所示的空间直角坐标系，利用向量法求解【解答】（）证明：法一：如图，过点作交于点，取的中点，连接，点为的中点，又是的中点，是的中点，点在上，且，所以四边形为平行四边形，平面，平面，平面 （6分）法二：如图，取中点，连接，则，因为，所以平面平面，所以平面（6分）（）解：作于点，过点作，以为坐标原点，所在直线为轴、轴、轴建立如图6所示的空间直角坐标系，则，则平面的一个法向量为设平面的一个法向量为，则可取，所以，所以二面角的余弦值为 （12分）【点评】本题考查了空间线面平行的判定，向量法求二面角，属于中档题20（12分）已知抛物线，圆，点为抛物线上的动点，为坐标原点，线段的中点的轨迹为曲线（1）求抛物线的方程；（2）点，是曲线上的点，过点作圆的两条切线，分别与轴交于，两点求面积的最小值【考点】：直线与抛物线的综合【专题】38：对应思想；49：综合法；：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）设为轨迹上任意一点，则，把点坐标代入抛物线的方程化简即可；（2）设圆的切线斜率为，得出切线方程，计算，的坐标，利用根与系数的关系计算，从而得出的面积关于的函数，求出此函数的最小值即可【解答】解：（1）设线段的中点坐标为，则点，为在抛物线上的动点，即，曲线的方程为：（2）设切线方程为：，令，得，切线与轴的交点为，圆心到切线的距离为，整理得：，设两条切线的斜率分别为，则，令，则，则，在，上单调递增，（4），的面积的最小值为【点评】本题考查了轨迹方程的求法，直线与圆锥曲线的位置关系，常使用根与系数的关系进行化简计算，属于中档题21（12分）已知函数（1）若曲线在点处的切线斜率为1，求函数在，上的最值；（2）令，若时，恒成立，求实数的取值范围；（3）当且时，证明【考点】：利用导数研究函数的最值；：利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用；59：不等式的解法及应用【分析】（1）求得的导数，可得切线的斜率，解方程可得，设，求出导数和单调区间，以及最小值，可得的单调性，进而得到的最值；（2）求得的导数，令，求出单调区间和最值，讨论当即时，当即时，求出单调性，以及最小值，解不等式即可得到的范围；（3）等价于，即等价于令，求出导数和单调区间，可得最小值，即可得到证明【解答】解：（1），记，令得当时，单减；当时，单增，故恒成立，所以在，上单调递增，（1）（2），令，当时，在，上单增，当即时，恒成立，即，在，上单增，解得，所以当即时，在，上单增，且，当时，使，即当时，即，单减；当，时，即，单增，可得，由，记，在，上单调递增，综上，（3）证明：等价于，即，等价于令，则，当时，单减；当时，单增在处有极小值，即最小值，（1），且时，不等式成立【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率、单调区间和极值、最值，考查不等式恒成立问题的解法，以及不等式的证明，注意运用分类讨论和构造函数法，考查化简整理的运算能力，属于难题请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在直角坐标系中，将曲线为参数）上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到曲线；以坐标原点为极点，以轴的正半轴为