2017年陕西省西安市高新一中高考数学一模试卷（理科）（含解析）

2017年陕西省西安市高新一中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.1（5分）已知复数满足，为虚数单位，则ABCD2（5分）已知，则“”是“指数函数在上为减函数”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是A10B12C100D1024（5分）函数在区间，上是增函数，且（a），（b），则函数在，上A是增函数B是减函数C可以取得最大值D可以取得最小值5（5分）某几何体的三视图如图所示，其中三角形的三边长与圆的直径均为2，则该几何体的体积为ABCD6（5分）已知点在曲线上，为曲线在点处的倾斜角，则的取值范围是A，B，C，D，7（5分）抛物线的焦点为，准线与轴相交于点，过且倾斜角等于的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，垂足为，则四边形的面积等于ABCD8（5分）的值为ABCD9（5分）如图，三行三列的方阵中有9个数，2，3；，2，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是ABCD10（5分）定义在上的函数是奇函数且满足，数列满足，且（其中为的前项和），则AB3CD211（5分）设，若对于任意，总存在，使得成立，则的取值范围是A，B，C，D，12（5分）中，角、的对边分别记为、 ，且、都是方程的根，则A是等腰直角三角形B是等腰三角形但不是直角三角形C是直角三角形但不是等腰三角形D不是等腰三角形，也不是直角三角形二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13（5分）设集合，则满足，2，3，的集合为 ；的取值范围为 14（5分）已知，满足，记目标函数的最大值为7，则15（5分）正方体的棱长为1，是正方体内切球的直径，为正方体表面上的动点，则的最大值为16（5分）设函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（12分）在中，角，的对边分别是，已知（）求的值；（）若，求边的值18（12分）如图，在三棱锥中，直线平面，且，又点，分别是线段，的中点，且点是线段上的动点（）证明：直线平面；（）若，且二面角的平面角的余弦值为，试求的长度19（12分）在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为、，记（）求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；（）求随机变量的分布列和数学期望20（12分）如图，曲线与正方形的边界相切（1）求的值；（2）设直线交曲线于，交于，是否存在的这样的曲线，使得，成等差数列？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由21（12分）设函数（）求的单调区间；（）若存在区间，使在，上的值域是，求的取值范围请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分选修4-1：几何证明选讲22（10分）如图，是的直径，、是上的点，是的平分线，过点作，交的延长线于点（1）求证：是的切线（2）过点作，垂足为，求证：选修4-4：坐标系与参数方程23已知直线为参数）（1）当时，求直线的斜率；（2）若是圆内部一点，与圆交于、两点，且，成等比数列，求动点的轨迹方程选修4-5：不等式选讲24选修：不等式选讲设不等式的解集为，且，（）试比较与的大小；（）设表示数集中的最大数，且，求的范围2017年陕西省西安市高新一中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.1（5分）已知复数满足，为虚数单位，则ABCD【考点】：复数的运算【专题】11：计算题【分析】复数方程同除，右侧复数的分子、分母同乘复数，化简为的形式【解答】解：由得，故选：【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，是基础题2（5分）已知，则“”是“指数函数在上为减函数”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件【专题】29：规律型【分析】结合不等式的解法和指数函数单调性的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：由的且，解得，若指数函数在上为减函数，则， “”是“指数函数在上为减函数”的必要不充分条件故选：【点评】主要是考查了充分条件的判定的运用，利用不等式的解法和指数函数的单调性是解决本题的关键3（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是A10B12C100D102【考点】：程序框图【专题】27：图表型【分析】根据程序框图得，依此类推，一旦不满足判断框的条件就退出循环体，执行输出语句即可【解答】解：，由于，退出循环，输出故输出的的值为12故选：【点评】本题主要考查了循环结构的当型循环，同时考查了程序框图的应用，属于基础题4（5分）函数在区间，上是增函数，且（a），（b），则函数在，上A是增函数B是减函数C可以取得最大值D可以取得最小值【考点】：复合三角函数的单调性【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】由函数在区间，上是增函数，且（a），（b），可利用赋值法进行求解即可【解答】解：函数在区间，上是增函数，且（a），（b）采用特殊值法：令，则，设区间为，在，上不具备单调性，但有最大值，故选：【点评】本题综合考查了正弦函数与余弦函数的图象及性质，利用整体思想进行求值，在解题时要熟练运用相关结论：为奇（偶函数5（5分）某几何体的三视图如图所示，其中三角形的三边长与圆的直径均为2，则该几何体的体积为ABCD【考点】：由三视图求面积、体积【专题】11：计算题【分析】通过三视图判断组合体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可【解答】解：由题意可知组合体上部是底面半径为1，母线长为2的圆锥，下部是半径为1的球，所以圆锥的高为：，所以组合体的体积为：故选：【点评】本题考查三视图与组合体的关系，判断组合体的是由那些简单几何体构成是解题的关键，考查计算能力与空间想象能力6（5分）已知点在曲线上，为曲线在点处的倾斜角，则的取值范围是A，B，C，D，【考点】62：导数及其几何意义【专题】11：计算题；33：函数思想；：定义法；52：导数的概念及应用【分析】利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率，再根据斜率等于倾斜角的正切值求出角的范围【解答】解：因为上的导数为，即，即的取值范围是，故选：【点评】本题主要考查直线的斜率关系、导数的几何意义属于基础题7（5分）抛物线的焦点为，准线与轴相交于点，过且倾斜角等于的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，垂足为，则四边形的面积等于ABCD【考点】：抛物线的性质【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先判断为等边三角形，求出的坐标，而四边形为直角梯形，可求出直角梯形的上底边长的值，直角梯形的面积可求【解答】解：由抛物线的定义可得，的倾斜角等于，故为等边三角形又焦点，的方程为，设，由，得 ，故等边三角形的边长，为等边三角形，四边形的面积是，故选：【点评】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断四边形为直角梯形是解题的关键8（5分）的值为ABCD【考点】67：定积分、微积分基本定理【专题】11：计算题；35：转化思想；：定义法；52：导数的概念及应用【分析】根据奇函数的性质和定积分的计算法则计算即可【解答】解：为奇函数，故选：【点评】本题考查了定积分的计算，关键掌握被积函数为奇函数的性质，属于基础题9（5分）如图，三行三列的方阵中有9个数，2，3；，2，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是ABCD【考点】：古典概型及其概率计算公式；：排列、组合及简单计数问题【专题】：排列组合【分析】从9个数中任取3个数共有种取法，求得不满足要求的选法共有6种，可得满足条件的选法有种，从而求得所求事件的概率【解答】解：从9个数中任取3个数共有种取法，取出的三个数，使它们不同行且不同列：从第一行中任取一个数有种方法，则第二行只能从另外两列中的两个数任取一个有种方法，第三行只能从剩下的一列中取即可有1中方法，共有种方法，即三个数分别位于三行或三列的情况有6种，所求的概率为 故选：【点评】本题考查简单计数原理和组合数公式的应用、概率的计算公式，直接解法较复杂，采用间接解法比较简单10（5分）定义在上的函数是奇函数且满足，数列满足，且（其中为的前项和），则AB3CD2【考点】：函数奇偶性的性质与判断；：函数的周期性【专题】11：计算题【分析】先由函数是奇函数和，推知，得到是以3为周期的周期函数再由，且，推知，计算即可【解答】解：函数是奇函数，是以3为周期的周期函数，且，（2）（2）故选：【点评】本题主要考查函数性质的转化与应用以及数列的通项及求和公式，在函数性质综合应用中相互结合转化中奇偶性，对称性和周期性之间是一个重点11（5分）设，若对于任意，总存在，使得成立，则的取值范围是A，B，C，D，【考点】：函数恒成立问题【专题】35：转化思想；：转化法；51：函数的性质及应用【分析】先对函数分和分别求函数值，综合可得其值域，同样求出函数的值域，把两个函数的函数值相比较即可求出的取值范围【解答】解：，当时，当时，由，故又因为，且，（1）故所以须满足，故选：【点评】本题主要考查函数恒成立问题以及函数值域的求法，是对知识点的综合考查12（5分）中，角、的对边分别记为、 ，且、都是方程的根，则A是等腰直角三角形B是等腰三角形但不是直角三角形C是直角三角形但不是等腰三角形D不是等腰三角形，也不是直角三角形【考点】：三角形的形状判断【专题】11：计算题【分析】先求出对数方程的根，然后建立等式关系，根据，利用两角和与差的公式进行化简整理可得，从而得到三角形形状，得到结论【解答】解：解得、都是方程的根即即，是直角三角形但不是等腰三角形故选：【点评】本题主要考查了三角形的形状判断以及对数方程的综合题，以及两角和与差的运用，同时考查了计算化简能力，属于中档题二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13（5分）设集合，则满足，2，3，的集合为，或，或；的取值范围为 【考点】：集合关系中的参数取值问题【专题】15：综合题；34：方程思想；35：转化思想【分析】由题设条件，2，3，知是集合，2，3，的子集，再结合对集合的情况进行判断即可得出答案【解答】解：由题意，2，3，知是集合，2，3，的子集又，当是空集时，即无解， 时，显然符合题意当中仅有一个元素，即时，可得的根是，不符合题意，舍当中有两个元素时，考察集合，2，3，都符合题意，此时，或综上集合可能为，或，或，的取值范围为或或，故答案为，或，或，； 或或，【点评】本题考查集合中的有关参数取值问题，涉及到的知识有集合的包含关系，一元二次方程根的个数判断，一元二次方程根与系数的关系等知识，解题的关键是理解集合及条件，2，3，能利用一元二次方程根与系数的关系辅助做出判断，本题考查了转化的思想与分类讨论的思想，是一个考查能力的题14（5分）已知，满足，记目标函数的最大值为7，则【考点】：简单线性规划【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；：不等式【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，先求目标函数取得最大值时的最对应的的值，即可得到结论【解答】解：作出不等式组，对应的平面区域如图：（阴影部分）由得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大此时最大为由，解得，即，同时也在上，解得故答案为：【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法15（5分）正方体的棱长为1，是正方体内切球的直径，为正方体表面上的动点，则的最大值为【考点】：空间向量的数量积运算【专题】：空间向量及应用【分析】连接，可得，当取得最大值时，即可得出取得最大值【解答】解：连接，可得，当取得最大值时，取得最大值为故答案为：【点评】本题考查了数量积运算、正方体及其内切球的性质，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16（5分）设函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是【考点】：函数恒成立问题；：二次函数的性质与图象【专题】11：计算题【分析】由的解析式化简不等式，得到当时，即时，恒成立即要求出的最小值即可得到的范围【解答】解：，当时，即时，恒成立又易证在上恒成立，在上恒成立当时取等号，当时，由上知故实数的取值范围是，【点评】本题考查函数恒成立时所取的条件考查考生的运算、推导、判断能力三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（12分）在中，角，的对边分别是，已知（）求的值；（）若，求边的值【考点】：三角形中的几何计算【专题】11：计算题；35：转化思想；：转化法；58：解三角形【分析】（）由正弦定理得，从而，由此能求出的值（）求出，从而进而，或由此能求出结果【解答】（本题满分12分）解：（）由已知及正弦定理得即又，所以有，即而，所以（）由及，得，因此由条件得，即，得，得由，知于是，或所以，或若，则在直角中，解得；若，在直角中，解得因此或【点评】本题考查角的余弦值、正弦定理、余弦定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题18（12分）如图，在三棱锥中，直线平面，且，又点，分别是线段，的中点，且点是线段上的动点（）证明：直线平面；（）若，且二面角的平面角的余弦值为，试求的长度【考点】：二面角的平面角及求法【专题】：空间位置关系与距离；：空间角【分析】（）连结，通过证明平面平面，利用平面与平面平行的性质定理证明平面（）方法1：过作于，连，则即为二面角的平面角，设，利用，求解的长度方法2：以为原点，以、所在直线为轴轴建空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，平面的一个法向量，利用向量的数量积结合二面角的大小，求解的长度【解答】解：（）连结，点，分别是线段，的中点 且，从而平面 且平面又，平面平面 而平面平面 （7分）（）方法1：过作于，连，则即为二面角的平面角，设，且则，又，且，解得，的长度为 （15分）方法2：以为原点，以、所在直线为轴轴建空间直角坐标系，则，8，4，0，8， ，4，设，则，（9分）记，则，取则，则，（11分）又平面的一个法向量，设二面角的平面角为则，解得，的长度为 （15分）【点评】本题考查面面平行，考查二面角知识的应用，解题的关键是掌握面面平行、二面角的求法，属于中档题19（12分）在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为、，记（）求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；（）求随机变量的分布列和数学期望【考点】：等可能事件和等可能事件的概率；：离散型随机变量及其分布列；：离散型随机变量的期望与方差【专题】11：计算题【分析】由题意知、可能的取值为1、2、3，做出要用的变量的可能取得的最大值，根据等可能事件的概率写出试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，求得概率由题意知的所有取值为0，1，2，3，结合变量对应的事件和等可能事件的概率公式得到概率，当时，有，或，或，或，四种情况，这个情况比较多，容易出错，写出分布列和期望【解答】解：（）、可能的取值为1、2、3，且当，或，时，因此，随机变量的最大值为3有放回抽两张卡片的所有情况有种，即随机变量的最大值为3，事件“取得最大值”的概率为（）由题意知的所有取值为0，1，2，3时，只有，这一种情况，时，有，或，或，或，四种情况，时，有，或，两种情况，随机变量的分布列为：0123数学期望【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查等可能事件的概率，考查利用概率知识解决实际问题，本题是一个比较好的题目，难易程度适当20（12分）如图，曲线与正方形的边界相切（1）求的值；（2）设直线交曲线于，交于，是否存在的这样的曲线，使得，成等差数列？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由【考点】：直线与圆锥曲线的综合【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）由，得，由此利用韦达定理能求出（2）若，成等差数列，则，由，得由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出结果【解答】解：（1）由，得，化简，得，又，（2）若，成等差数列，则，即，由，得由，得，且，即有，符合，当实数的取值范围是时，存在的这样的曲线，使得，成等差数列【点评】本题考查两数和的求法，考查满足三条线段成等差数列的直线是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式、椭圆性质的合理运用21（12分）设函数（）求的单调区间；（）若存在区间，使在，上的值域是，求的取值范围【考点】：利用导数研究函数的单调性；：利用导数研究函数的最值【专题】33：函数思想；：转化法；53：导数的综合应用【分析】（）求出的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（）根据的单调性求出在，的值域，令，根据函数的单调性求出的范围即可【解答】解：（）令，令，解得：，令，解得：，所以在单调递减，在单调递增，则的最小值为所以，所以的单调递增区间为（）由（）得在区间递增，在，上的值域是，所以则在上至少有两个不同的正根，令求导，得，令则所以在递增，当时，当时，所以在上递减，在上递增，故【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分选修4-1：几何证明选讲22（10分）如图，是的直径，、是上的点，是的平分线，过点作，交的延长线于点（1）求