度高中数学 2.3.1 直线与平面垂直的判定同步辅导与检测课件 新人教A版必修2.ppt

2 3直线 平面垂直的判定及其性质2 3 1直线与平面垂直的判定 点 直线 平面之间的位置关系 1 掌握直线与平面垂直的定义及判定定理 能灵活应用判定定理证明直线和平面垂直 2 知道直线与平面所成角的概念 并会求简单的角 基础梳理 1 直线与平面垂直 1 定义 如果直线l与平面 内的 直线都 就说直线l与平面 垂直 记作 直线l叫做平面 的 平面 叫做直线l的 直线与平面垂直时 它们惟一的公共点p叫做 2 画法 通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 1 任意一条垂直l 垂线垂面垂足 3 判定定理 文字描述 一条直线与一个平面内的 都垂直 则该直线与此平面垂直 符号表示 a b l 3 两条相交直线a b al al b练习1 如下图所示 pa cd abcd是正方形 求证 cd 平面pad 证明 因为pa cd 又abcd是正方形 所以ad cd 又pa与ad相交 所以cd 平面pad 2 直线与平面所成的角 1 定义 一条直线和一个平面相交 但 这条直线称为平面的 斜线与平面的交点叫做 过斜线上 向平面引垂线 过 和 的直线叫做斜线在平面上的 平面的一条斜线和它在平面上的 所成的 叫做直线和平面所成的角 如图 就是斜线ap与平面 所成的角 1 不垂直斜线斜足斜足以外的一点斜足垂足射影射影锐角 pao 2 特别的 当直线ap与平面 垂直时 它们所成的角是 当直线与平面平行 或在平面内时 它们所成的角是 3 直线和平面所成角 的范围 练习2 直线与平面不垂直时 能否在平面内找到两条直线与这条直线垂直 练习3 两条直线垂直就一定相交吗 2 90 0 3 0 90 练习2 能练习3 错 思考应用 1 两条平行直线能确定一个平面 一条直线垂直于平面内的两条平行直线 则这条直线也垂直于这个平面 这个结论对吗 解析 不正确 实际上 由公理4可知 平行具有 传递性 因此一条直线与平面内的一条直线垂直 那么它与这个平面内的平行于这条直线的所有直线都垂直 但不能保证与其他直线垂直 2 异面直线所成的角的定义及范围是什么 解析 异面直线所成的角是通过作平行线得到的 即异面直线a与b所成的角 在空间中任取一点o 过o作a a b b 则a 与b 的夹角就是a与b所成的角 其范围为 0 90 自测自评 1 已知a b是直线 是平面 则下列命题中正确的是 a a a b b b a b a b c a b b a d a a b b 2 若两直线l1与l2异面 则过l1且与l2垂直的平面 a 有且只有一个b 可能存在 也可能不存在c 有无数多个d 一定不存在 d 解析 当l1 l2时 过l1且与l2垂直的平面有一个 当l1与l2不垂直时 过l1且与l2垂直的平面不存在 答案 b 3 如果直线l和平面 内的两条平行线垂直 那么下列结论正确的是 a l b l与 相交c l d 都有可能4 已知a b是异面直线 下列结论不正确的是 a 存在无数个平面与a b都平行b 存在一个平面与a b等距离c 存在无数条直线与a b都垂直d 存在一个平面与a b都垂直 d d 5 三条直线两两垂直 下列四个命题 三条直线必共点 其中必有两条直线是异面直线 三条直线不可能在同一平面内 其中必有两条直线在同一平面内 其中真命题的序号是 解析 两条直线垂直不一定相交 只有 正确 答案 直线和平面垂直的判定定理 如图 ab是圆o的直径 pa垂直于圆o所在的平面 m是圆周上任意一点 an pm 垂足为n 求证 an 平面pbm 分析 要证线面垂直 根据线面垂直的判定定理需证线线垂直 已知an pm 只需在平面pbm中再找一条与pm不平行的直线与an垂直即可 证明 设圆o所在的平面为 pa 且bm pa bm 又 ab为 o的直径 点m为圆周上一点 am bm 由于直线pa am a bm 平面pam 而an 平面pam bm an an与pm bm两条相交直线互相垂直 故an 平面pbm 点评 判定定理需要五个条件 缺一不可 判定定理实质是把证线面垂直转化为证线线垂直问题来处理 跟踪训练 1 如图 在三棱锥pabc中 已知pa 平面abc bc ab 求证 bc 平面pab 证明 pa 平面abc bc 平面abc pa bc 又 bc ab pa 平面pab ab 平面pab pa ab a bc 平面pab 直线与平面所成的角 如图 在四棱锥pabcd中 底面为直角梯形 ad bc bad 90 pa 底面abcd 且pa ad ab 2bc m n分别为pc pb的中点 1 求证 pb dm 2 求cd与平面admn所成的角的正弦值 解析 1 证明 n是pb的中点 pa ab an pb pa 平面abcd pa ad 又ba ad pa ba a ad 平面pab ad pb 又 ad an a 从而pb 平面admn dm 平面admn pb dm 2 如图 取ad的中点g 连接bg ng 则bg cd bg与平面admn所成的角和cd与平面admn所成的角相等 pb 平面admn bgn是bg与平面admn所成的角 在rt bgn中 sin bgn 故cd与平面admn所成角的正弦值为 点评 求斜线与平面所成的角要注意 一作 二证 三求三个步骤 跟踪训练 2 已知 如图 ma 平面abc rt bmc中 斜边bm 5 mbc 60 ab 4 求mc与平面cab所成角的正弦值 解析 ma 平面abc ac为mc在平面cab内的射影 mca为直线mc与平面cab所成的角 又 在rt mbc中 bm 5 mbc 60 直线和平面垂直的应用 如图 在四棱锥pabcd中 底面abcd是菱形 abc 60 pa 平面abcd 点m n分别为bc pa的中点 且pa ab 2 1 证明 bc 平面amn 2 求三棱锥namc的体积 3 在线段pd上是否存在一点e 使得nm 平面ace 若存在 求出pe的长 若不存在 说明理由 解析 1 证明 因为abcd是菱形 所以ab bc 又 abc 60 所以ab bc ac 又m为bc中点 所以bc am 而pa 平面abcd bc 平面abcd 所以pa bc 又pa am a 所以bc 平面amn 2 因为s amc am cm 又pa 底面abcd pa 2 所以an 1 所以 三棱锥n amc的体积v s amc an 3 存在 取pd中点e 连接ne ec ae 因为n e分别为pa pd中点 所以ne綊ad 又在菱形abcd中 cm綊ad 所以ne綊mc 即mcen是平行四边形 所以 nm ec 又ec 平面ace nm 平面ace 所以mn 平面ace 即在pd上存在一点e 使得nm 平面ace 此时pe pd 跟踪训练 3 已知四棱柱abcda1b1c1d1的底面为菱形 且 c1cb c1cd bcd 60 1 证明 c1c bd 2 当的值为多少时 能使a1c 平面c1bd 并证明这个结论 解析 证明 1 连接a1c1 ac ac与bd交于点o 连接c1o 四边形abcd为菱形 ac bd bc cd 又 c1cb c1cd c1c为公共边 c1bc c1dc c1b c1d 又 do ob c1o bd 又 ac bd ac c1o o bd 平面ac1c 又 c1c 平面ac1c c1c bd 2 当 1时 能使a1c 平面c1bd 证明如下 由 1 知 bd 平面ac1c a1c 平面ac1c bd a1c 当 1时 四棱柱的六个面全都是菱形 同bd a1c的证法可得bc1 a1c 又 bd bc1 b a1c 平面c1bd 1 下列说法中错误的是 如果一条直线和平面内的一条直线垂直 该直线与这个平面必相交 如果一条直线和平面的一条平行线垂直 该直线必在这个平面内 如果一条直线和平面的一条垂线垂直 该直线必定在这个平面内 如果一条直线和一个平面垂直 该直线垂直于平面内的任何直线 a b c d 解析 由线面垂直的判定定理可得 错误 答案 d 2 一条直线和平面所成角为 那么 的取值范围是 a 0 90 b 0 90 c 0 1