高考数学总复习 第十章 第二节排列与组合（一）课件 理.ppt

第二节排列与组合 一 第十章计数原理 概率 随机变量及其分布 考纲要求 1 理解排列 组合的概念 2 能利用计数原理推导排列数 组合数公式 3 能解决简单的实际问题 课前自修 知识梳理 1 排列的概念 从n个不同的元素中取出m个 m n 元素并按一定的顺序排成一列 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 2 排列数 从n个不同的元素中取出m个 m n 元素的所有排列的个数 用符号表示 3 排列数公式 n n 1 n 2 n m 1 全排列数 n n n 1 3 2 1 n n n 1 规定0 1 4 组合的概念 从n个不同元素中任取m m n 个元素并组成一组 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 5 组合数 从n个不同的元素中取出m个 m n 元素的所有组合的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数 用符合表示 6 组合数公式 这里 m n n 并且m n 组合数公式还可以写成 规定c 1 7 组合数的性质 8 排列 组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置的数目问题 它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序 不需要考虑顺序的是组合问题 需要考虑顺序的是排列问题 排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队 因此 分析解决排列组合问题的基本思维是 先组 后排 基础自测 1 2011 厦门市模拟 某中学一天的课表有6节课 其中上午4节 下午2节 要排语文 数学 英语 信息技术 体育 地理6节课 要求上午第一节课不排体育 数学必须排在上午 则不同排法共有 a 600种b 480种c 408种d 384种 答案 c 2 2012 大纲全国卷 将字母a a b b c c排成三行两列 要求每行的字母互不相同 每列的字母也互不相同 则不同的排列方法共有 a 12种b 18种c 24种d 36种 解析 第一步排第一列 一定是一个a 一个b和一个c 共有 6种不同的排法 第二步排第二列 要求每行每列字母均不同共有2种不同的排法 则总共有2 12种不同的排法 故选a 答案 a 3 2012 粤西北九校联考 从8名女生和4名男生中 选出3名学生组成课外小组 如果按性别比例分层抽样 则不同的抽取方法数为 解析 依题意 女生需抽取2人 男生要抽取1人 所以抽取方法数为 4 112 种 答案 112 4 2011 湖南实验中学模拟 由0 1 2 3 4 5六个数字可以组成 个数字不重复且2 3相邻的四位数 用数字填空 答案 60 考点探究 考点一 用定义法求排列数 例1 1 书架上原有5本不同的书排放在一排 再放上3本不同的书 且不改变原书的相对顺序 共有不同的放法种数是 2 2012 浙江义乌模拟 2011年深圳世界大学生运动会火炬传递在a b c d e f6个城市之间进行 以a为起点 f为终点 b与c必须接连传递 e必须在d的前面传递 且每个城市只经过一次 那么火炬传递的不同路线共有 种 思路点拨 1 将8本书看成8个位置 先把3本 新书 放进去 再把原来的5本书按原顺序放进去 2 可以把b c捆绑成一个元素 再与其他元素排列 解析 1 设想书架上有8个位置 每本书占一个位置 先在这8个位置中任选3个放上3本 新书 有种放法 再将原来的5本 旧书 按原来的顺序放在余下的空位上 只有1种放法 由分步计数原理 共有 336种放法 2 因b与c必须相邻 故把它们捆绑在一起视为一个整体元素b 则b d e不同的排列方式有种 因e必须在d的前面传递 所以不同的排列方式有种 又b与c的排列方式有种 从而不同的排列方式有 6种 答案 1 336 2 6 点评 排列数计数是分步计数原理的一种特殊情况 在应用排列数公式进行计数时 一是分清 元素 与 位置 二是计数时因元素在不同的位置而表示不同的方法数即为排列问题 变式探究 1 1 8个座位摆成一排 3人就坐在其中3个座位上 若每个人的左右两边都要有空位 共有不同的坐法种数是 2 某6名短跑运动员在100m跑比赛后 其成绩互不相同 其中甲的成绩比乙好 乙的成绩比丙好 这6名运动员的成绩排名共有可能结果的种数是 解析 1 据题意 8个座位中有5个空位 两端不能坐人 3人就坐不相邻 因此 只要将3人插入5个空位之间的4个空当即可 共有 24种坐法 2 问题等价于6人站成一排 其中甲站乙的前面 乙站丙的前面 求共有多少种站法 先从6个位置中选3个站其余3人 有种站法 再将甲 乙 丙三人按前述顺序站在其余3个空位上 只有1种站法 所以共有 120种可能结果 答案 1 24 2 120 考点二 结合两个计数原理求排列数 例2 从数字0 1 3 5 7中取出不同的3个作系数 1 可组成多少个不同的一元二次方程ax2 bx c 0 2 其中有实数根的有几个 思路点拨 1 二次方程要求a不为0 故a只能在1 3 5 7中选 b c没有限制 2 二次方程要有实根 需 b2 4ac 0 再对c分类讨论 解析 1 a只能在1 3 5 7中选一个有种 b c可在余下的4个中任取2个 有种 故可组成二次方程 48个 2 方程要有实根 需 b2 4ac 0 若c 0 a b可在1 3 5 7中任取2个 有种 若c 0 b只能取5 7 b取5时 a c只能取1 3 共有个 b取7时 a c可取1 3或1 5 有2个 故有实根的二次方程共有 2 18个 点评 两个计数原理是我们处理计数问题的基础 在分类或分步过程中 若出现每类或每步是一个排列问题 则可直接用排列数公式求解 然后根据情况相加或相乘 变式探究 2 用0 9这10个数字组成没有重复数字的正整数 问 1 共有几个三位数 2 末位数字是4的三位数有多少 3 求所有三位数的和 4 四位偶数有多少 5 比5231大的四位数有多少 解析 1 百位不能为 0 因此共有 648个 2 末位为4 百位不能为 0 因此共有 64个 3 考虑各数位上的数字之和 可得所有三位数的和为 1 2 9 1 2 9 10 1 2 9 100 355680 4 分末位数字是否为0两种情况考虑 共有 2296种 5 千位上为9 8 7 6的四位数各有个 千位上是5 百位上为3 4 6 7 8 9的四位数各有个 千位上是5 百位上为2 十位上为4 6 7 8 9的四位数各有个 千位上是5 百位上为2 十位上为3且满足要求的共有5个 因此共有n 4 6 5 5 2392种 点评 注意区分分类计数原理与分步计数原理的运用 考点三 用间接法求排列数 例3 有4名男生和3名女生 全体站成一排 求在下列条件下各有多少种不同的站法 1 甲 乙 丙3名女生不全相邻 2 男生连排在一起 女生连排在一起 且男生甲和女生乙不相邻 思路点拨 可以先将相邻的站法种数求出 再从所有站法种数中将其减去 解析 1 甲 乙 丙3名女生相邻的站法有种 所以3名女生不全相邻的站法共有 4320 种 2 男生连排在一起 女生连排在一起的站法有 种 其中男生甲和女生乙相邻的站法有种 所以符合要求的站法共有 264 种 点评 对有限制条件的排列问题 可根据情况来解 如利用一些基本的模型 相邻问题捆绑法 相间问题插空法 等来解决或先算出不含限制条件的所有排列的总数 再从中减去所有不符合要求的排列数 变式探究 3 2012 南京市一模 有5名同学排队照相 问 1 甲 乙2名同学必须相邻的排法有多少种 2 甲 乙 丙3名同学互不相邻的排法有多少种 3 乙不能站在甲前面 丙不能站在乙前面的排法有多少种 4 甲不站在中间位置 乙不站在两端两个位置的排法有多少种 解析 1 这是典型的相邻问题 采用捆绑法 先排甲 乙 有种方法 再与其他3名同学排列 共有 48种不同排法 2 这是不相邻问题 采用插空法 先排其余的2名同学 有种排法 出现3个空 将甲 乙 丙插空 所以共有 12种排法 3 这是顺序一定问题 由于乙不能站在甲前面 丙不能站在乙前面 故3人只能按甲 乙 丙这一种顺序排列 法一 5人的全排列共有种 甲 乙 丙3人全排列有种 而3人按甲 乙 丙顺序排列是全排列中的1种 所以共有 20种排法 法二 采用插空法 先排甲 乙 丙3人 只有一种排法 然后插入1人到甲 乙 丙中 有4种插法 再插入1人 有5种插法 故共有4 5 20种排法 4 法一 直接法 若甲排在了两端的两个位置之一 甲有种 乙有种 其余3人有种 所以共有种 若甲排在了第2和第4两个位置中的一个 有种 这时乙有种 其余3人有种 所以共有种 因此符合要求的共有 60种排法 法二 间接法 5个人全排列有种 其中甲站在中间时有种 乙站在两端时有2种 且甲站中间同时乙在两端的有2种 所以共有 2 2 60种排法 考点四 排列数公式的应用 证明 法一 右边 左边 法二 右边 n m 1 m n 1 左边 求证 点评 1 排列数公式的连乘形式 n n 1 n 2 n m 1 常用于计算 公式的阶乘形式常用于化简与证明 2 解含排列数的方程和不等式时要注意排列数中 m n n 且m n这些限制条件 要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围 变式探究 1 若n n 且n 10 则 10 n 11 n 100 n 等于 2 若s a a a a a 则s的个位数字是 a 8b 5c 3d 0 解析 1 积的个数为 100 n 10 n 1 91 故选c 1 2 6 24 而 的个位数字均为0 从而s的个位数字是3 故选c 答案 1 c 2 c 1 要搞清组合与排列的区别与联系 组合与顺序无关 排列与顺序有关 排列可以分成先选取 组合 后排列两个步骤进行 正确区分排列与组合 熟练应用公式计算排列数或组合数 2 解排列与组合常用的思想方法 分类讨论的思想 分类时标准应统一 否则易出现遗漏或重复 3 特别注意 排列数公式的连乘形式常用于计算 公式的阶乘形式常用于化简与证明 组合数公式也有两种形式 1 乘积形式 2 阶乘形式 前者多用于数字计算 后者多用于证明恒等式及合并组合数简化计算 注意公式的逆用 即由写出 4 对有约束条件的排列问题 应注意如下类型 1 某些元素不能在或必须排列在某一位置 2 某些元素要求连排 即必须相邻 3 某些元素要求分离 即不能相邻 5 解排列问题基本的解题方法 1 有特殊元素或特殊位置的排列问题 通常是先排特殊元素或特殊位置 称为优先处理特殊元素 位置 法 优先法 2 某些元素要求必须相邻时 可以先将这些元素看作一个元素 与其他元素排列后 再考虑相邻元素的内部排列 这种方法称为 捆绑法 3 某些元素不相邻排列时 可以先排其他元素 再将这些不相邻元素插入空当 这种方法称为 插空法 4 对附有限制条件的排列要掌握正向思考问题的方法 直接法 同时要掌握一些问题的逆向思考问题的方向 间接法 6 解组合问题基本的解题方法 解答组合问题的关键是用好组合的定义和两个基本原理 只选不排 合理分类 分步 1 解受条件限制的组合题 通常有直接法 合理分类 和间接法 排除法 2 解组合应用题时 应注意 至少 至多 最多 恰好 等词的含义 3 各种与元素的位置 顺序无关的组合问题 常见的有选派问题 抽样问题 图形问题 集合问题 分组问题 感悟高考 品味高考 1 2012 辽宁卷 一排9个座位坐了3个三口之家 若每家人坐在一起 则不同的坐法种数为 a 3 3 b 3 3 3c 3 4d 9 解析 由已知 该问题是排列中捆绑法的应用 即先把三个家庭看作三个不同元素进行全排列 而后每个家庭内部进行全排列 即不同坐法种数为 3 4 故选c 答案 c 2 某单位安排7位员工在10月1日至7日值班 每天安排一人 每人值班1天 若7位员工中的甲 乙排在相邻两天 丙不排在10月1日 丁不排在10月7日 则不同的安排方案共有 a 504种b 960种c 1008种d 1108种 解析 分两类 甲 乙排1 2号或6 7号 共有2 种方法 甲 乙排中间 丙排7号或不排7号 共有4 种方法 故共有2 4 1008种不同的排法 故选c 答案 c 3 4位同学每人从甲 乙 丙3门课程中选修1门 则恰有2人选修课程甲的不同选法共有 a 12种b 24种c 30种d 36种 解析 从4位同学中选出2人有种方法 另外2位同学每人有2种选法 故不同的选法共有 2 2 24种 故选b 答案 b 高考预测 1 2012 北京市海淀区一模 从甲 乙等5人中选出3人排成一列 则甲不排在排头的排法种数是 a 12b 24c 36d 48 解析 若选出的3人中没有甲 则排法种数为 若选出的3人中有甲 则甲的排法有2种 其余2人从4人中选出 再排在其余2个位置上 方法数是 所以选出的3人中有甲的排法种数为2 综上知 满足条件的方法种数为 2 48 种 故选d 答案 d 2 在1 2 3 4 5 6 7的任一排列a1 a2 a3 a4 a5