高考数学一轮总复习 第五章 第4节 数列求和课件.ppt

第五章数列 第4节数列求和 1 熟练掌握等差 等比数列的前n项和公式 2 掌握非等差 等比数列求和的几种常见方法 3 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系 并能用相关知识解决相应的问题 3 裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和 正负相消 尾若干项 4 倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加 即等差数列求和公式的推导过程的推广 5 错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和 即等比数列求和公式的推导过程的推广 剩下首 6 并项求和法一个数列的前n项和中 可两两结合求解 则称之为并项求和 形如an 1 nf n 类型 可采用两项合并求解 例如 sn 1002 992 982 972 22 12 100 99 98 97 2 1 5050 答案 d 2 若数列 an 的通项公式为an 2n 2n 1 则数列 an 的前n项和sn为 a 2n n2 1b 2n 1 n2 1c 2n 1 n2 2d 2n n2 2 答案 c 答案 a 4 若sn 1 2 3 4 1 n 1 n 则s50 解析 s50 1 2 3 4 49 50 1 25 25 答案 25 5 设数列 an 的通项公式为an 22n 1 令bn nan 则数列 bn 的前n项和sn为 思路点拨求出an后 bn可看作两个数列 an 与 2an 对应项之和 故sn sn tn 解 1 设等差数列的公差为d d 0 由题意得 2 d 2 2 3d 8 d2 d 0 d 3 d 2 0 得d 2 故an a1 n 1 d 2 n 1 2 2n 得an 2n 3 若数列有周期性 先求出一个周期内的和 再转化其它数列 常数列 求和 活学活用1 2015 合肥市质检 已知数列 an 满足anan 1an 2an 3 24 且a1 1 a2 2 a3 3 则a1 a2 a3 a2013 解析 由anan 1an 2an 3 24可知 an 1an 2an 3an 4 24 得an 4 an 所以数列 an 是周期为4的数列 再令n 1 求得a4 4 每四个一组可得 a1 a2 a3 a4 a2009 a2010 a2011 a2012 a2013 10 503 1 5031 答案 5031 拓展提高利用裂项相消法求和时 应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项 也有可能前面剩两项 后面也剩两项 再就是将通项公式裂项后 有时候需要调整前面的系数 使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等 审题视角利用sn sn 1 an确定 an 的性质可求an与bn 用错位相减法求tn 再寻找与bn 1和an 1的关系 当a1 2时 a2 5 a6 17 此时a1 a2 a6不成等比数列 a1 2 当a1 1时 a2 4 a6 16 此时a1 a2 a6成等比数列 a1 1 an 3n 2 bn 4n 1 2 由 1 得tn 1 4n 1 4 4n 2 3n 5 41 3n 2 40 4tn 1 4n 4 4n 1 7 4n 2 3n 2 41 由 得 拓展提高 1 一般地 如果数列 an 是等差数列 bn 是等比数列 求数列 an bn 的前n项和时 可采用错位相减法求和 一般是和式两边同乘以等比数列 bn 的公比 然后作差求解 2 在写出 sn 与 qsn 的表达式时应特别注意将两式 错项对齐 以便下一步准确写出 sn qsn 的表达式 规范答题6分项数奇偶性的数列的通项与求和典例 本小题满分12分12分 等比数列 an 中 a1 a2 a3分别是下表第一 二 三行中的某一个数 且a1 a2 a3中的任何两个数不在下表的同一列 1 求数列 an 的通项公式 2 若数列 bn 满足 bn an 1 nlnan 求数列 bn 的前n项和sn 审题视角 题目条件 等比数列 an 的前三项是表中的数字 新数列 bn 是由an计算出来的 解题目标 从表中选出可构成等比数列的三个数 则可得an 化简bn 求其和 满分展示 解 1 当a1 3时 不合题意 当a1 2时 当且仅当a2 6 a3 18时 符合题意 当a1 10时 不合题意 因此a1 2 a2 6 a3 18 3分 所以公比q 3 故an 2 3n 1 6分 2 因为bn an 1 nlnan 2 3n 1 1 nln 2 3n 1 2 3n 1 1 n ln2 n 1 ln3 2 3n 1 1 n ln2 ln3 1 nnln3 8分 所以sn 2 1 3 3n 1 1 1 1 1 n ln2 ln3 1 2 3 1 nn ln3 提醒 1 从表中选数字组成等比数列 就是试验法 先确定a2 再看是否满足a a1a3 2 当 an 为等比数列 且an 0时 则lnan为等差数列 3 对于通项中含有 1 n的符号变化的要分n的奇偶性求和 思维升华 方法与技巧 非等差 等比数列的一般数列求和 主要有两种思想 1 转化的思想 即将一般数列设法转化为等差或等比数列 这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成 2 不能转化为等差或等比的特殊数列 往往通过裂项相消法 错位相减法 倒序相加法等来求和 失误与防范 1 直接