高考数学大一轮复习 4.1任意角、弧度制及任意角的三角函数课件 理 苏教版.ppt

4 1任意角 弧度制及任意角的三角函数 第四章三角函数 解三角形 数学苏 理 基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 思想方法 感悟提高 练出高分 1 角的概念 1 任意角 定义 一个角可以看做平面内绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的 分类 角按旋转方向分为 和 2 所有与角 终边相同的角 连同角 在内 构成的角的集合是s 正角 一条射线 图形 负角 零角 k 360 k z 3 象限角 使角的顶点与坐标原点重合 角的始边与x轴的非负半轴重合 那么 角的终边在第几象限 就说这个角是第几象限角 如果角的终边在坐标轴上 那么这个角不属于任何一个象限 2 弧度制 1 定义 把长度等于长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角 正角的弧度数是 负角的弧度数是 零角的弧度数是 2 角度制和弧度制的互化 180 rad 1 rad 1rad 半径 正数 负数 0 3 扇形的弧长公式 l 扇形的面积公式 s r 3 任意角的三角函数任意角 的终边与单位圆交于点p x y 时 sin cos tan x 0 三个三角函数的初步性质如下表 r r y x k k z 4 三角函数线如下图 设角 的终边与单位圆交于点p 过p作pm x轴 垂足为m 过a 1 0 作单位圆的切线与 的终边或终边的反向延长线相交于点t mp om at 思考辨析 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 角 终边上点p的坐标为 那么sin cos 同理角 终边上点q的坐标为 x0 y0 那么sin y0 cos x0 2 锐角是第一象限角 反之亦然 3 终边相同的角的同一三角函数值相等 4 点p tan cos 在第三象限 则角 终边在第二象限 5 0 则tan sin 6 为第一象限角 则sin cos 1 三 2cosx 1 0 解析 由三角函数线画出x满足条件的终边范围 如图阴影所示 解析 答案 思维升华 解析 答案 思维升华 在 0 内终边在直线y x上的角是 终边在直线y x上的角的集合为 k k z 解析 答案 思维升华 在 0 内终边在直线y x上的角是 终边在直线y x上的角的集合为 k k z 1 利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角 方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合 然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角 解析 答案 思维升华 2 利用终边相同的角的集合s 2k k z 判断一个角 所在的象限时 只需把这个角写成 0 2 范围内的一个角 与2 的整数倍的和 然后判断角 的象限 解析 答案 思维升华 解析 答案 思维升华 例1 2 如果 是第三象限角 那么角2 的终边落在 2k 2k k z 4k 2 2 4k 3 k z 角2 的终边落在第一 二象限或y轴的非负半轴上 例1 2 如果 是第三象限角 那么角2 的终边落在 解析 答案 思维升华 例1 2 如果 是第三象限角 那么角2 的终边落在 第一 二象限或y轴的非负半轴上 2k 2k k z 4k 2 2 4k 3 k z 角2 的终边落在第一 二象限或y轴的非负半轴上 解析 答案 思维升华 例1 2 如果 是第三象限角 那么角2 的终边落在 第一 二象限或y轴的非负半轴上 1 利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角 方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合 然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角 解析 答案 思维升华 例1 2 如果 是第三象限角 那么角2 的终边落在 第一 二象限或y轴的非负半轴上 2 利用终边相同的角的集合s 2k k z 判断一个角 所在的象限时 只需把这个角写成 0 2 范围内的一个角 与2 的整数倍的和 然后判断角 的象限 解析 答案 思维升华 跟踪训练1 1 在直角坐标平面内 对于始边为x轴非负半轴的角 下列命题中正确的是 填序号 第一象限中的角一定是锐角 终边相同的角必相等 相等的角终边一定相同 不相等的角终边一定不同 k z的角 当k 0时 它都不是锐角 与角 终边相同的角是2k k z 跟踪训练1 1 在直角坐标平面内 对于始边为x轴非负半轴的角 下列命题中正确的是 填序号 第一象限中的角一定是锐角 终边相同的角必相等 相等的角终边一定相同 不相等的角终边一定不同 当k 0时 它们都与 不相等 亦即终边相同的角可以不相等 但不相等的角终边可以相同 2 已知角 45 在区间 720 0 内与角 有相同终边的角 解析由终边相同的角关系知 k 360 45 k z 取k 2 1 得 675 或 315 675 或 315 思维点拨 解析 答案 思维升华 例2 1 已知角 的顶点与原点重合 始边与x轴的正半轴重合 终边在直线y 2x上 则cos2 题型二三角函数的概念 例2 1 已知角 的顶点与原点重合 始边与x轴的正半轴重合 终边在直线y 2x上 则cos2 题型二三角函数的概念 由于三角函数值与选择终边上的哪个点没有关系 因此知道了终边所在的直线 可在这个直线上任取一点 然后按照三角函数的定义来计算 最后用倍角公式求值 思维点拨 解析 答案 思维升华 取终边上一点 a 2a a 0 根据任意角的三角函数定义 例2 1 已知角 的顶点与原点重合 始边与x轴的正半轴重合 终边在直线y 2x上 则cos2 题型二三角函数的概念 思维点拨 解析 答案 思维升华 例2 1 已知角 的顶点与原点重合 始边与x轴的正半轴重合 终边在直线y 2x上 则cos2 题型二三角函数的概念 取终边上一点 a 2a a 0 根据任意角的三角函数定义 思维点拨 解析 答案 思维升华 利用三角函数的定义 求一个角的三角函数值 需确定三个量 角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x 纵坐标y 该点到原点的距离r 例2 1 已知角 的顶点与原点重合 始边与x轴的正半轴重合 终边在直线y 2x上 则cos2 题型二三角函数的概念 思维点拨 解析 答案 思维升华 思维点拨 解析 答案 思维升华 例2 2 若sin tan 0 且 0 则角 是第 象限角 可以根据各象限内三角函数值的符号判断 例2 2 若sin tan 0 且 0 则角 是第 象限角 思维点拨 解析 答案 思维升华 由sin tan 0可知sin tan 异号 从而角 为第二或第三象限角 例2 2 若sin tan 0 且 0 则角 是第 象限角 由 0可知cos tan 异号 从而角 为第三或第四象限角 故角 为第三象限角 思维点拨 解析 答案 思维升华 例2 2 若sin tan 0 且 0 则角 是第 象限角 由sin tan 0可知sin tan 异号 从而角 为第二或第三象限角 由 0可知cos tan 异号 从而角 为第三或第四象限角 故角 为第三象限角 三 思维点拨 解析 答案 思维升华 根据三角函数定义中x y的符号来确定各象限内三角函数的符号 理解并记忆 一全正 二正弦 三正切 四余弦 例2 2 若sin tan 0 且 0 则角 是第 象限角 三 思维点拨 解析 答案 思维升华 跟踪训练2 1 已知角 的终边过点p 8m 6sin30 且cos 则m的值为 2 若 是第二象限角 则 0 判断大小 解析 是第二象限角 10 思维点拨 解析 思维升华 1 弓形面积可用扇形面积与三角形面积相减得到 2 建立关于 的函数 思维点拨 解析 思维升华 思维点拨 解析 思维升华 解设弧长为l 弓形面积为s弓 思维点拨 解析 思维升华 思维点拨 解析 思维升华 涉及弧长和扇形面积的计算时 可用的公式有角度表示和弧度表示两种 其中弧度表示的公式结构简单 易记好用 在使用前 应将圆心角用弧度表示 弧长和扇形面积公式 l r s r2 例3 2 若扇形的周长是一定值c c 0 当 为多少弧度时 该扇形有最大面积 思维点拨 解析 思维升华 1 弓形面积可用扇形面积与三角形面积相减得到 2 建立关于 的函数 思维点拨 解析 思维升华 例3 2 若扇形的周长是一定值c c 0 当 为多少弧度时 该扇形有最大面积 思维点拨 解析 思维升华 例3 2 若扇形的周长是一定值c c 0 当 为多少弧度时 该扇形有最大面积 解扇形周长c 2r l 2r r 思维点拨 解析 思维升华 例3 2 若扇形的周长是一定值c c 0 当 为多少弧度时 该扇形有最大面积 当且仅当 2 4 即 2时 扇形面积有最大值 思维点拨 解析 思维升华 例3 2 若扇形的周长是一定值c c 0 当 为多少弧度时 该扇形有最大面积 涉及弧长和扇形面积的计算时 可用的公式有角度表示和弧度表示两种 其中弧度表示的公式结构简单 易记好用 在使用前 应将圆心角用弧度表示 弧长和扇形面积公式 l r s r2 跟踪训练3已知扇形的周长为4cm 当它的半径为 和圆心角为 弧度时 扇形面积最大 这个最大面积是 1cm 2 1cm2 当r 1时 s扇形 max 1 此时 2 思维点拨 解析 温馨提醒 思想与方法系列4数形结合思想在三角函数中的应用 典例 1 函数y 的定义域为 思维点拨 解析 温馨提醒 求函数定义域可转化为解不等式sinx 利用三角函数线可直观清晰地得出角x的范围 思想与方法系列4数形结合思想在三角函数中的应用 典例 1 函数y 的定义域为 思维点拨 解析 温馨提醒 解析 sinx 作直线y 交单位圆于a b两点 连结oa ob 则oa与ob围成的区域 图中阴影部分 即为角 的终边的范围 故满足条件的角 的集合为 x 2k x 2k k z 思想与方法系列4数形结合思想在三角函数中的应用 典例 1 函数y 的定义域为 利用三角函数线解三角不等式要在单位圆中先作出临界情况 然后观察适合条件的角的位置 易错分析 解析 温馨提醒 思想与方法系列4数形结合思想在三角函数中的应用 典例 1 函数y 的定义域为 思维点拨 解析 温馨提醒 2 如图 在平面直角坐标系xoy中 一单位圆的圆心的初始位置在 0 1 此时圆上一点p的位置在 0 0 圆在x轴上沿正向滚动 当圆滚动到圆心位于c 2 1 时 的坐标为 点p转动的弧长是本题的关键 可在图中作三角形 寻找p点坐标和三角形边长的关系 思维点拨 解析 温馨提醒 2 如图 在平面直角坐标系xoy中 一单位圆的圆心的初始位置在 0 1 此时圆上一点p的位置在 0 0 圆在x轴上沿正向滚动 当圆滚动到圆心位于c 2 1 时 的坐标为 解析如图所示 思维点拨 解析 温馨提醒 过圆心c作x轴的垂线 垂足为a 过p作x轴的垂线与过c作y轴的垂线交于点b 因为圆心移动的距离为2 2 如图 在平面直角坐标系xoy中 一单位圆的圆心的初始位置在 0 1 此时圆上一点p的位置在 0 0 圆在x轴上沿正向滚动 当圆滚动到圆心位于c 2 1 时 的坐标为 所以劣弧 2 即圆心角 pca 2 思维点拨 解析 温馨提醒 所以xp 2 cb 2 sin2 yp 1 pb 1 cos2 2 如图 在平面直角坐标系xoy中 一单位圆的圆心的初始位置在 0 1 此时圆上一点p的位置在 0 0 圆在x轴上沿正向滚动 当圆滚动到圆心位于c 2 1 时 的坐标为 2 sin2 1 cos2 解决和旋转有关的问题要抓住旋转过程中角的变化 结合弧长公式 三角函数定义寻找关系 思维点拨 解析 温馨提醒 2 如图 在平面直角坐标系xoy中 一单位圆的圆心的初始位置在 0 1 此时圆上一点p的位置在 0 0 圆在x轴上沿正向滚动 当圆滚动到圆心位于c 2 1 时 的坐标为 2 sin2 1 cos2 方法与技巧 1 在利用三角函数定义时 点p可取终边上任一点 如有可能则取终边与单位圆的交点 op r一定是正值 2 三角函数符号是重点 也是难点 在理解的基础上可借助口诀 一全正 二正弦 三正切 四余弦 3 在解简单的三角不等式时 利用单位圆及三角函数线是一个小技巧 失误与防范 1 注意易混概念的区别 象限角 锐角 小于90 的角是概念不同的三类角 第一类是象限角 第二 第三类是区间角 2 角度制与弧度制可利用180 rad进行互化 在同一个式子中 采用的度量制度必须一致 不可混用 3 已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况 1 角 的终边过点p 1 2 则sin 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 解析由三角函数的定义 2 若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长 则其圆心角 0 的弧度数为 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 解析设圆半径为r 则其内接正三角形的边长为r 2 4 5 6 7 8 9 10 1 3 3 已知角x的终边上一点的坐标为 sin cos 则角x的最小正值为 2 3 5 6 7 8 9 10 1 4 解析 是第三象限角 2 3 5 6 7 8 9 10 1 4 综上 y 0 答案0 2 3 4 6 7 8 9 10 1 5 5 已知 角的终边与480 角的终边关于x轴对称 点p x y 在 角的终边上 不是原点 则的值等于 解析由题意知角 的终边与240 角的终边相同 又 p x y 在角 的终边上 2 3 4 5 7 8 9 10 1 6 6 设 为第二象限角 其终边上一点为p m 且cos m 则sin 的值为 7 如图所示 在平面直角坐标系xoy中 角 的终边与单位圆交于点a 点a的纵坐标为 则cos 2 3 4 5 6 8 9 10 1 7 解析由题意及图 易知a点的横坐标为 2 3 4 5 6 9 10 1 7 8 2 3 4 5 6 7 8 10 1 9 9 已知角 的终边经过点p m m 0 且sin m 试判断角 所在的象限 并求cos 和tan 的值 2 3 4 5 6 7 8 10 1 9 2 3 4 5 6 7 8 10 1 9 10 已知扇形的圆心角是 半径为r 弧长为l 1 若 60 r 10cm 求扇形的弧长l 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 2 若扇形的周长为20cm 当扇形的圆心角 为多少弧度时