高考数学大一轮复习 14.1几何证明选讲课件 理 苏教版.ppt

数学苏 理 14 1几何证明选讲 第十四章系列4选讲 基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 思想方法 感悟提高 练出高分 1 平行截割定理 1 平行线等分线段定理如果一组在一条直线上截得的线段 那么在任一条 与这组平行线相交的 直线上截得的线段也 2 平行线分线段成比例定理两条直线与一组平行线相交 它们被这组平行线截得的对应线段成 平行线 相等 相等 比例 2 相似三角形的判定与性质 1 相似三角形的判定定理 两角对应的两个三角形 两边对应成且夹角的两个三角形 三边对应成的两个三角形 相等 相似 比例 相等 相似 比例 相似 2 相似三角形的性质定理 相似三角形的对应线段的比等于 相似三角形周长的比等于 相似三角形面积的比等于 相似比 相似比 相似比的平方 3 直角三角形射影定理直角三角形一条直角边的平方等于 斜边上的高的平方等于 4 圆中有关的定理 1 圆周角定理 圆周角的度数等于其所对弧的度数的 2 圆心角定理 圆心角的度数等于的度数 该直角边在斜边上的 射影与斜边的乘积 两条直角边 在斜边上的射影的乘积 一半 它所对弧 3 切线的判定与性质定理 切线的判定定理过半径外端且与这条半径的直线是圆的切线 切线的性质定理圆的切线于经过切点的半径 4 切线长定理从圆外一点引圆的两条切线 切线长 垂直 垂直 相等 5 弦切角定理弦切角的度数等于其所夹弧的度数的 6 相交弦定理圆的两条相交弦 每条弦被交点分成的两条线段长的积 7 割线定理从圆外一点引圆的两条割线 该点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积 一半 相等 相等 8 切割线定理从圆外一点引圆的一条割线与一条切线 切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段长的 9 圆内接四边形的性质与判定定理 圆内接四边形判定定理 如果四边形的对角 则此四边形内接于圆 如果四边形的一个外角它的内角的对角 那么这个四边形的四个顶点共圆 等比中项 互补 等于 圆内接四边形性质定理 圆内接四边形的对角 圆内接四边形的外角它的内角的对角 互补 等于 9 4 解析 例1如图 已知在 abc中 点d是bc边上的中点 且ad ac de bc de与ab相交于点e ec与ad相交于点f 1 求证 abc fcd 题型一相似三角形的判定及性质 解析 思维升华 例1如图 已知在 abc中 点d是bc边上的中点 且ad ac de bc de与ab相交于点e ec与ad相交于点f 1 求证 abc fcd 题型一相似三角形的判定及性质 证明 de bc d是bc边上的中点 eb ec b ecd 又ad ac adc acd abc fcd 解析 思维升华 例1如图 已知在 abc中 点d是bc边上的中点 且ad ac de bc de与ab相交于点e ec与ad相交于点f 1 求证 abc fcd 题型一相似三角形的判定及性质 1 三角形相似的证明方法很多 解题时应根据条件 结合图形选择恰当的方法 一般的思考程序 先找两对内角对应相等 若只有一个角对应相等 再判定这个角的两邻边是否对应成比例 若无角对应相等 就要证明三边对应成比例 解析 思维升华 例1如图 已知在 abc中 点d是bc边上的中点 且ad ac de bc de与ab相交于点e ec与ad相交于点f 1 求证 abc fcd 题型一相似三角形的判定及性质 解析 思维升华 2 证明等积式的一般方法是化为等积的比例式 若题目中无平行线 需利用相似三角形的性质证明 例1如图 已知在 abc中 点d是bc边上的中点 且ad ac de bc de与ab相交于点e ec与ad相交于点f 2 若s fcd 5 bc 10 求de的长 解析 思维升华 解过点a作am bc 垂足为点m abc fcd bc 2cd 例1如图 已知在 abc中 点d是bc边上的中点 且ad ac de bc de与ab相交于点e ec与ad相交于点f 2 若s fcd 5 bc 10 求de的长 解析 思维升华 例1如图 已知在 abc中 点d是bc边上的中点 且ad ac de bc de与ab相交于点e ec与ad相交于点f 2 若s fcd 5 bc 10 求de的长 又 s fcd 5 s abc 20 解析 思维升华 例1如图 已知在 abc中 点d是bc边上的中点 且ad ac de bc de与ab相交于点e ec与ad相交于点f 2 若s fcd 5 bc 10 求de的长 解得am 4 解析 思维升华 例1如图 已知在 abc中 点d是bc边上的中点 且ad ac de bc de与ab相交于点e ec与ad相交于点f 2 若s fcd 5 bc 10 求de的长 解析 思维升华 1 三角形相似的证明方法很多 解题时应根据条件 结合图形选择恰当的方法 一般的思考程序 先找两对内角对应相等 若只有一个角对应相等 再判定这个角的两邻边是否对应成比例 若无角对应相等 就要证明三边对应成比例 2 证明等积式的一般方法是化为等积的比例式 若题目中无平行线 需利用相似三角形的性质证明 例1如图 已知在 abc中 点d是bc边上的中点 且ad ac de bc de与ab相交于点e ec与ad相交于点f 2 若s fcd 5 bc 10 求de的长 解析 思维升华 跟踪训练1如图 在梯形abcd中 ad bc ab cd de ca 且交ba的延长线于e 求证 ed cd ea bd 证明在梯形abcd中 ab dc abc dcb 又bc bc abc dcb bac bdc 跟踪训练1如图 在梯形abcd中 ad bc ab cd de ca 且交ba的延长线于e 求证 ed cd ea bd ac ed ad bc e bac bdc ead abc dcb ead dcb 例2如图 在 abc中 d f分别在ac bc上 且ab ac af bc bd dc fc 1 求ac 题型二直角三角形的射影定理 解析 思维升华 例2如图 在 abc中 d f分别在ac bc上 且ab ac af bc bd dc fc 1 求ac 题型二直角三角形的射影定理 解在 abc中 设ac为x ab ac af bc 又fc 1 根据射影定理 得ac2 fc bc 即bc x2 解析 思维升华 例2如图 在 abc中 d f分别在ac bc上 且ab ac af bc bd dc fc 1 求ac 题型二直角三角形的射影定理 再由射影定理 得af2 bf fc bc fc fc 即af2 x2 1 在 bdc中 过d作de bc于e bd dc 1 解析 思维升华 例2如图 在 abc中 d f分别在ac bc上 且ab ac af bc bd dc fc 1 求ac 题型二直角三角形的射影定理 又 af bc de af 解析 思维升华 例2如图 在 abc中 d f分别在ac bc上 且ab ac af bc bd dc fc 1 求ac 题型二直角三角形的射影定理 解析 思维升华 例2如图 在 abc中 d f分别在ac bc上 且ab ac af bc bd dc fc 1 求ac 题型二直角三角形的射影定理 解析 思维升华 例2如图 在 abc中 d f分别在ac bc上 且ab ac af bc bd dc fc 1 求ac 题型二直角三角形的射影定理 1 在使用直角三角形射影定理时 要学会将 乘积式 转化为相似三角形中的 比例式 2 证题时 作垂线构造直角三角形是解直角三角形常用的方法 解析 思维升华 跟踪训练2如图所示 在 abc中 cab 90 ad bc于d be是 abc的平分线 交ad于f 求证 证明由三角形的内角平分线定理得 跟踪训练2如图所示 在 abc中 cab 90 ad bc于d be是 abc的平分线 交ad于f 求证 在rt abc中 由射影定理知 ab2 bd bc 例3如图 在rt abc中 c 90 be平分 abc交ac于点e 点d在ab上 de eb 且ad 2 ae 6 1 判断直线ac与 bde的外接圆的位置关系 题型三圆的切线的判定与性质 解析 思维升华 解取bd的中点o 连结oe be平分 abc cbe obe 又 ob oe obe beo 解析 思维升华 例3如图 在rt abc中 c 90 be平分 abc交ac于点e 点d在ab上 de eb 且ad 2 ae 6 1 判断直线ac与 bde的外接圆的位置关系 题型三圆的切线的判定与性质 cbe beo bc oe c 90 oe ac 直线ac是 bde的外接圆的切线 即直线ac与 bde的外接圆相切 题型三圆的切线的判定与性质 解析 思维升华 例3如图 在rt abc中 c 90 be平分 abc交ac于点e 点d在ab上 de eb 且ad 2 ae 6 1 判断直线ac与 bde的外接圆的位置关系 题型三圆的切线的判定与性质 证明直线是圆的切线的方法 若已知直线经过圆上某点 或已知直线与圆有公共点 则连结圆心和这个公共点 设法证明直线垂直于这条半径 如果已知条件中直线与圆的公共点不明确 或没有公共点 则应过圆心作直线的垂线 得到垂线段 设法证明这条垂线段的长等于圆半径 解析 思维升华 例3如图 在rt abc中 c 90 be平分 abc交ac于点e 点d在ab上 de eb 且ad 2 ae 6 1 判断直线ac与 bde的外接圆的位置关系 例3如图 在rt abc中 c 90 be平分 abc交ac于点e 点d在ab上 de eb 且ad 2 ae 6 2 求ec的长 解析 思维升华 解设 bde的外接圆的半径为r 在 aoe中 oa2 oe2 ae2 即 r 2 2 r2 62 解得r 2 oa 2oe 解析 思维升华 例3如图 在rt abc中 c 90 be平分 abc交ac于点e 点d在ab上 de eb 且ad 2 ae 6 2 求ec的长 a 30 aoe 60 cbe obe 30 解析 思维升华 例3如图 在rt abc中 c 90 be平分 abc交ac于点e 点d在ab上 de eb 且ad 2 ae 6 2 求ec的长 证明直线是圆的切线的方法 若已知直线经过圆上某点 或已知直线与圆有公共点 则连结圆心和这个公共点 设法证明直线垂直于这条半径 如果已知条件中直线与圆的公共点不明确 或没有公共点 则应过圆心作直线的垂线 得到垂线段 设法证明这条垂线段的长等于圆半径 解析 思维升华 例3如图 在rt abc中 c 90 be平分 abc交ac于点e 点d在ab上 de eb 且ad 2 ae 6 2 求ec的长 跟踪训练3 2013 广东改编 如图 ab是圆o的直径 点c在圆o上 延长bc到d使bc cd 过c作圆o的切线交ad于e 若ab 6 ed 2 求bc的长 解c为bd中点 且ac bc 故 abd为等腰三角形 ab ad 6 所以ae 4 de 2 跟踪训练3 2013 广东改编 如图 ab是圆o的直径 点c在圆o上 延长bc到d使bc cd 过c作圆o的切线交ad于e 若ab 6 ed 2 求bc的长 例4 2014 课标全国 如图 p是 o外一点 pa是切线 a为切点 割线pbc与 o相交于点b c pc 2pa d为pc的中点 ad的延长线交 o于点e 证明 1 be ec 题型四与圆有关的比例线段 解析 思维升华 证明连结ab ac 由题设知pa pd 故 pad pda 因为 pda dac dca 例4 2014 课标全国 如图 p是 o外一点 pa是切线 a为切点 割线pbc与 o相交于点b c pc 2pa d为pc的中点 ad的延长线交 o于点e 证明 1 be ec 题型四与圆有关的比例线段 解析 思维升华 pad bad pab dca pab 所以 dac bad 例4 2014 课标全国 如图 p是 o外一点 pa是切线 a为切点 割线pbc与 o相交于点b c pc 2pa d为pc的中点 ad的延长线交 o于点e 证明 1 be ec 题型四与圆有关的比例线段 因此be ec 解析 思维升华 1 应用相交弦定理 切割线定理要抓住几个关键内容 如线段成比例与相似三角形 圆的切线及其性质 与圆有关的相似三角形等 例4 2014 课标全国 如图 p是 o外一点 pa是切线 a为切点 割线pbc与 o相交于点b c pc 2pa d为pc的中点 ad的延长线交 o于点e 证明 1 be ec 题型四与圆有关的比例线段 解析 思维升华 例4 2014 课标全国 如图 p是 o外一点 pa是切线 a为切点 割线pbc与 o相交于点b c pc 2pa d为pc的中点 ad的延长线交 o于点e 证明 1 be ec 题型四与圆有关的比例线段 解析 思维升华 2 相交弦定理 切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明 解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角 弦切角 圆的切线等相关知识的综合应用 解析 思维升华 例4 2014 课标全国 如图 p是 o外一点 pa是切线 a为切点 割线pbc与 o相交于点b c pc 2pa d为pc的中点 ad的延长线交 o于点e 证明 2 ad de 2pb2 解由切割线定理得pa2 pb pc 因为pa pd dc 所以dc 2pb bd pb 由相交弦定理得ad de bd dc 所以ad de 2pb2 例4 2014 课标全国 如图 p是 o外一点 pa是切线 a为切点 割线pbc与 o相交于点b c pc 2pa d为pc的中点 ad的延长线交 o于点e 证明 2 ad de 2pb2 解析 思维升华 例4 2014 课标全国 如图 p是 o外一点 pa是切线 a为切点 割线pbc与 o相交于点b c pc 2pa d为pc的中点 ad的延长线交 o于点e 证明 2 ad de 2pb2 解析 思维升华 1 应用相交弦定理 切割线定理要抓住几个关键内容 如线段成比例与相似三角形 圆的切线及其性质 与圆有关的相似三角形等 2 相交弦定理 切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明 解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角 弦切角 圆的切线等相关知识的综合应用 例4 2014 课标全国 如图 p是 o外一点 pa是切线 a为切点 割线pbc与 o相交于点b c pc 2pa d为pc的中点 ad的延长线交 o于点e 证明 2 ad de 2pb2 解析 思维升华 跟踪训练4如图 o的半径ob垂直于直径ac m为ao上一点 bm的延长线交 o于n 过n点的切线交ca的延长线于p 1 求证 pm2 pa pc 证明连结on 则on pn 且 obn为等腰三角形 则 obn onb pmn omb 90 obn pnm 90 onb 跟踪训练4如图 o的半径ob垂直于直径ac m为ao上一点 bm的延长线交 o于n 过n点的切线交ca的延长线于p 1 求证 pm2 pa pc pmn pnm pm pn 根据切割线定理 有pn2 pa pc pm2 pa pc 跟踪训练4如图 o的半径ob垂直于直径ac m为ao上一点 bm的延长线交 o于n 过n点的切线交ca的延长线于p 2 若 o的半径为2 oa om 求mn的长 延长bo交 o于点d 连结dn 跟踪训练4如图 o的半径ob垂直于直径ac m为ao上一点 bm的延长线交 o于n 过n点的切线交ca的延长线于p 2 若 o的半径为2 oa om 求mn的长 mn bn bm 6 4 2 答题模板系列10与圆有关的几何证明问题 典例 10分 如图 d e分别为 abc边ab ac的中点 直线de交 abc的外接圆于f g两点 若cf ab 证明 1 cd bc 温馨提醒 规范解答 思维点拨 思维点拨 温馨提醒 规范解答 连结af 利用平行关系构造平行四边形可得结论 证明因为d e分别为ab ac的中点 所以de bc 又已知cf ab 故四边形bcfd是平行四边形 所以cf bd ad 而cf ad 连结af 所以四边形adcf是平行四边形 故cd af 因为cf ab 所以bc af 故cd bc 思维点拨 温馨提醒 规范解答 1 解决几何证明问题需用各种判定定理 性质定理 推理和现有的结论 要熟悉各种图形的特征 利用好平行 垂直 相似 全等的关系 适当添加辅助线和辅助图形 这些知识都有利于问题的解决 2 证明等积式时 通常转化为证明比例式 再证明四条线段所在的三角形相似 另外也可利用平行线分线段成比例定理来证明 思维点拨 温馨提醒 规范解答 3 弦切角定理与圆周角定理是证明角相等的重要依据 解题时应根据需要添加辅助线构造所需要的角 4 圆内接四边形的性质也要熟练掌握 利用该性质可得到角相等 进而为三角形的相似创造了条件 思维点拨 温馨提醒 规范解答 2 bcd gbd 规范解答 思维点拨 答题模板 温馨提醒 先证 bcd和 gbd为等腰三角形 再证明两三角形顶角相等即可 规范解答 思维点拨 答题模板 温馨提醒 证明因为fg bc 故gb cf 由 1 可知bd cf 所以gb bd 所以 bgd bdg 由bc cd知 cbd cdb 又因为 dgb efc dbc 所以 bcd gbd 规范解答 思维点拨 答题模板 温馨提醒 处理与圆有关的比例线段的常见思路 1 利用圆的有关定理 2 利用相似三角形 3 利用平行线分线段成比例定理及推论 4 利用面积关系等 规范解答 思维点拨 答题模板 温馨提醒 1 解决几何证明问题需用各种判定定理 性质定理 推理和现有的结论 要熟悉各种图形的特征 利用好平行 垂直 相似 全等的关系 适当添加辅助线和辅助图形 这些知识都有利于问题的解决 2 证明等积式时 通常转化为证明比例式 再证明四条线段所在的三角形相似 另外也可利用平行线分线段成比例定理来证明 规范解答 思维点拨 答题模板 温馨提醒 3 弦切角定理与圆周角定理是证明角相等的重要依据 解题时应根据需要添加辅助线构造所需要的角 4 圆内接四边形的性质也要熟练掌握 利用该性质可得到角相等 进而为三角形的相似创造了条件 规范解答 思维点拨 答题模板 温馨提醒 方法与技巧 1 证明等积式成立 应先把它写成比例式 找出比例式中给出的线段所在三角形是否相似 若不相似 则进行线段替换或等比替换 2 圆幂定理与圆周角 弦切角联合应用时 要注意找相等的角 找相似三角形 从而得出线段的比 由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算 所以应注意代数法在解题中的应用 失误与防范 1 在应用平行截割定理时 一定要注意对应线段成比例 2 在解决相似三角形时 一定要注意对应角和对应边 否则容易出错 2 3 4 5 6 1 如图 abc中 bf ac于点f ce ab于点e bf和ce相交于点p 求证 1 bpe cpf 证明 bf ac于点f ce ab于点e bfc ceb 90 又 cpf bpe cpf bpe 1 1 如图 abc中 bf ac于点f ce ab于点e bf和ce相交于点p 求证 2 efp bcp 又 epf bpc efp bcp 2 3 4 5 6 1 3 4 5 6 1 证明 e是rt adc斜边ac的中点 ae ec de edc ecd 又 edc bdf 2 edc c bdf 又ad bc且 bac 90 bad c bad bdf dbf adf 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 2014 江苏 如图 ab是圆o的直径 c d是圆o上位于ab异侧的两点 证明 ocb d 证明因为b c是圆o上的两点 所以ob oc 故 ocb b 又因为c d是圆o上位于ab异侧的两点 故 b d为同弧所对的两个圆周角 所以 b d 因此 ocb d 3 4 5 6 1 2 4 2013 江苏 如图 ab和bc分别与圆o相切于点d c ac经过圆心o 且bc 2oc 求证 ac 2ad 证明连结od 因为ab和bc分别与圆o相切于点d c 3 4 5 6 1 2 所以 ado acb 90 又因为 a a 所以rt ado rt acb 又bc 2oc 2od 故ac 2ad 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 证明 四边形abcd是平行四边形 a c ab cd abf ceb abf ceb 3 4 5 6 1 2 2 若 def的面积为2 求平行四边形abcd的面积 解 四边形abcd是平行四边形 ad bc ab cd def ceb def abf 3 4 5 6 1 2 s def 2 s ceb 18 s abf 8 s四边形bcdf s ceb s def 16 s四边形abcd s四边形bcdf s abf 16 8 24 3 4 5 6 1 2 6 2014 课标全国 如图 四边形abcd是 o的内接四边形 ab的延长线与dc的延长线交于点e 且cb ce 1 证明 d e 证明由题设知 a b c d四点共圆 所以 d cbe 由已知cb ce得 cbe e 故 d e 3 4 5 6 1 2 2 设ad不是 o的直径 ad的中点为m 且mb mc 证明 ade为等边三角形 证明如图 设bc的中点为n 连结mn 则由mb mc知mn bc 故o在直线mn上 又ad不是 o的直径 m为ad的中点 3 4 5 6 1 2 故om ad 即mn ad 所以ad bc 故 a cbe 又 c