高考数学总复习（整合考点+典例精析+深化理解）第六章 第六节直接证明与间接证明精讲课件 文.ppt

第六节直接证明与间接证明 第六章 例1 如图 在直三棱柱abca1b1c1中 ac 4 cb 2 aa1 2 acb 60 e f分别是a1c1 bc的中点 1 证明 平面aeb 平面bb1c1c 2 证明 c1f 平面abe 3 设p是be的中点 求三棱锥pb1c1f的体积 用综合法证明命题 思路点拨 运用综合法 1 根据面面垂直的判定定理 证明一个平面经过另一个平面的一条垂线 那么这两个平面垂直 2 根据线面平行的判定定理 证明c1f平行于平面abe内的一条直线 或证明c1f在与平面abe平行的另一个平面内 自主解答 1 证明 在 abc中 ac 2bc 4 acb 60 ab 2 ab2 bc2 ac2 ab bc 由已知ab bb1 ab 平面bb1c1c 又 ab 平面abe 平面abe 平面bb1c1c 2 证明 取ac的中点m 连接c1m fm 在 abc中 fm ab 而fm abe 直线fm 平面abe 在矩形acc1a1中 e m都是中点 c1m ae 而c1m 平面abe 直线c1m 平面abe 又 c1m fm m 平面abe 平面fmc1 又c1f 平面fmc1 故c1f 平面abe 点评 用综合法证明命题时 必须首先找到正确的出发点 也就是能想到从哪里起步 一般的处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质 逐层推进 从而由已知逐渐推出结论 1 2012 福建卷 某同学在一次研究性学习中发现 以下五个式子的值都等于同一个常数 sin213 cos217 sin13 cos17 sin215 cos215 sin15 cos15 sin218 cos212 sin18 cos12 sin2 18 cos248 sin 18 cos48 sin2 25 cos255 sin 25 cos55 1 试从上述五个式子中选择一个 求出这个常数 2 根据 1 的计算结果 将该同学的发现推广为三角恒等式 并证明你的结论 变式探究 用分析法证明命题 自主解答 解析 要证只需证b2 ac0 只需证 a b 2a b 0 只需证 a b a c 0 因为已知a b c 所以a b 0 a c 0 所以 a b a c 0 显然成立 故原不等式成立 点评 分析法的特点和思路是 执果索因 是逆向思维 即从 未知 看 需知 逐步靠拢 已知 或本身已经成立的定理 性质或已经证明成立的结论等 通常采用 欲证 只需证 已知 的格式 在表达中要注意叙述形式的规范 应用分析法证明问题时要严格按分析法的语言表达 下一步是上一步的充分条件 变式探究 用综合分析法证明命题 例3 已知数列 an 的前n项和为sn 且对于任意的n n 恒有sn 2an n 设bn log2 an 1 1 求证 数列 an 1 是等比数列 2 求数列 an bn 的通项公式an和bn 思路点拨 当单独用综合法或分析法难以奏效时 可以综合法与分析法并用 取长补短 以利于迅速地将题设与欲证结论相互贯通 1 证明 当n 1时 s1 2a1 1 得a1 1 sn 2an n 当n 2时sn 1 2an 1 n 1 两式相减 得an 2an 2an 1 1 an 2an 1 1 an 1 2an 1 2 2 an 1 1 an 1 是以a1 1 2为首项 2为公比的等比数列 2 解析 由 1 得an 1 2 2n 1 2n an 2n 1 n n bn log2 an 1 log22n n n n 点评 分析法和综合法是对立统一的两种方法 在使用这两种方法解题是 一般步骤是 1 分析条件和结论之间的联系和区别 选择解题方向 2 确定恰当的解题方法 若能够结合题设条件 通过相关的公理 定理 公式 结论推得所求结果 则用综合法 若从条件出发 应用相关的公理 定理 公式 结论难以推得所求结果 则可以考虑使用分析法 3 解题反思 回顾解题过程 对所得结果和解题步骤进行检查 确保解题的严谨性和完备性 变式探究 3 已知a b c都是正数 且a b c成等比数列 求证 a2 b2 c2 a b c 2 证明 a2 b2 c2 a b c 2 2 ab bc ca 因为a b c成等比数列 所以b2 ac 又因为a b c都是正数 所以 所以a c b 所以2 ab bc ac 2 ab bc b2 2b a c b 0 所以a2 b2 c2 a b c 2 用反证法证明命题 例4 已知a b c是互不相等的实数 求证 由y ax2 2bx c y bx2 2cx a和y cx2 2ax b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点 思路点拨 本题直接证明较困难 可用反证法证明 证明 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点 即任何一条抛物线与x轴没有两个不同的交点 由y ax2 2bx c y bx2 2cx a y cx2 2ax b 得 1 2b 2 4ac 0 2 2c 2 4ab 0 3 2a 2 4bc 0 上述三个同向不等式相加得 4b2 4c2 4a2 4ac 4ab 4bc 0 2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ca 0 a b 2 b c 2 c a 2 0 a b c 这与题设a b c互不相等矛盾 因此假设不成立 从而命题得证 点评 一般以下题型用反证法 1 当 结论 的反面比 结论 本身更简单 更具体 更明确 2 否定性命题 唯一性命题 存在性命题 至多 至少 型命题 3 有的肯定形式命题 由于已知或结论涉及无限个元素 用直接证明比较困难 往往用反证法 用反证法证明不等式要把握三点 必须先否定结论 即肯定结论的反面 必须从否定结论进行推理 即应把结论的反面作为条件 且必须依据这一条件进行推证 推导出的矛盾可能多种多样 有的与已知矛盾 有的与假设矛盾 有的与已知事实矛盾等 但是推导出的矛盾必须是明显的 变式探究 4 设数列 an 是公比为q的等比数列 sn是它的前n项和 1 求证 数列 sn 不是等比数列 2 数列 sn 是等差数列吗 为什么 1 证明 假设数列 sn 是等比数列 则s s1 s3 即 a1 1 q 2 a1 a1 1 q q2 因为