【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套习题：课时提升作业(五十四) 8.6抛物线.doc

课时提升作业(五十四)抛物线(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015济南模拟)从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线,垂足为M,且|PM|=5,设抛物线的焦点为F,则PMF的面积为()A.5B.10C.20D.【解析】选B.根据题意得点P的坐标为(4,4),所以SPMF=|yP|PM|=45=10,所以选B.【方法技巧】求解抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题的技巧抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离经常相互转化:(1)若求点到焦点的距离,则可联想点到准线的距离.(2)若求点到准线的距离,则经常联想点到焦点的距离.解题时一定要注意.【加固训练】1.(2015石家庄模拟)若抛物线y2=2px上一点P(2,y0)到其准线的距离为4,则抛物线的标准方程为()A.y2=4xB.y2=6xC.y2=8xD.y2=10x【解析】选C.由题意可知p0,因为抛物线y2=2px,所以其准线方程为x=-,因为点P(2,y0)到其准线的距离为4,所以|-2|=4,所以p=4,故抛物线方程为y2=8x.故选C.2.已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,P,Q是抛物线上的两个点,若PQF是边长为2的正三角形,则p的值是()A.2B.2+C.1D.-1【解析】选A.F,设P,Q(y1y2).由抛物线定义及|PF|=|QF|,得+=+,所以=,又y1y2,所以y1=-y2,所以|PQ|=2|y1|=2,|y1|=1,所以|PF|=+=2,解得p=2.3.(2015淮北模拟)两个正数a,b的等差中项是,等比中项是2,且ab,则抛物线y2=-x的焦点坐标为()A.B.C.D.【解析】选C.由两个正数a,b的等差中项是,等比中项是2,且ab可得解得抛物线的方程为y2=-x,故焦点坐标为.4.(2015吉安模拟)如图,抛物线C1:y2=2px和圆C2:+y2=,其中p0,直线l经过C1的焦点,依次交C1,C2于A,B,C,D四点,则的值为()A.p2B.C.D.【解析】选B.设抛物线的焦点为F,A(x1,y1),D(x2,y2),则|AB|=|AF|-|BF|=x1+-=x1,同理|CD|=x2,又=|AB|CD|,所以=x1x2=.5.已知抛物线y2=2px(p0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为()A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-2【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知直线AB的方程为:y=x-,与y2=2px联立得:y2-2py-p2=0,所以y1+y2=2p,由题意知:y1+y2=4,所以p=2,所以抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1,故选B.【一题多解】本题也可以用如下的方法解决:设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意得y1+y2=4,=2px1,=2px2,两式相减得:kAB=1,所以p=2,所以抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.【方法技巧】弦中点问题的常用结论及求解技巧(1)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解,同时,要注意使用条件是0.(2)在椭圆+=1(ab0)中,以P(x0,y0)(y00)为中点的弦所在直线的斜率k=-.(3)在双曲线-=1(a0,b0)中,以P(x0,y0)(y00)为中点的弦所在直线的斜率k=.(4)在抛物线y2=2px(p0)中,以P(x0,y0)(y00)为中点的弦所在直线的斜率k=.【加固训练】(2015孝感模拟)直线l经过抛物线y2=4x的焦点,且与抛物线交于A,B两点,若AB中点的横坐标为3,则线段AB的长为()A.5B.6C.7D.8【解析】选D.设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l0,A(xA,yA),B(xB,yB),C是AB的中点,其坐标为(xC,yC),分别过点A,B作直线l0的垂线,垂足分别为M,N,由抛物线的定义得|AB|=|AF|+|BF|=|AM|+|BN|=xA+1+xB+1=xA+xB+2=2xC+2=8.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上的点P(a,-2)到焦点的距离为3,则抛物线的方程是.【解析】由题意可设抛物线的方程为x2=-2py(p0),抛物线上的点P(a,-2)到焦点的距离即为点P到准线y=的距离,所以+2=3,解得p=2,所以抛物线的方程为x2=-4y.答案:x2=-4y【误区警示】本题易忽视条件“焦点在y轴上”,误认为抛物线有两种形式,而造成解题错误.7.(2013安徽高考)已知直线y=a交抛物线y=x2于A,B两点.若该抛物线上存在点C,使得ACB为直角,则a的取值范围为.【解析】设直线y=a与y轴交于M点,若抛物线y=x2上存在C点使得ACB=90,只要以|AB|为直径的圆与抛物线y=x2有除A,B外的交点即可,即使|AM|MO|,所以a,所以a1或a0,因为由题意知a0,所以a1.答案:1,+)【一题多解】本题也可以用如下的方法解决:设C(m,m2),由已知可令A(,a),B(-,a),则=(m-,m2-a),=(m+,m2-a),因为,所以m2-a+m4-2am2+a2=0,可得(m2-a)(m2+1-a)=0,解得m2=a0且m2=a-10,故a1,+).答案:1,+)8.如图,从点M(x0,4)发出的光线,沿平行于抛物线y2=8x的对称轴方向射向此抛物线上的点P,经抛物线反射后,穿过焦点射向抛物线上的点Q,再经抛物线反射后射向直线l:x-y-10=0上的点N,经直线反射后又回到点M,则x0等于.【解题提示】由题意可得抛物线的对称轴为x轴,抛物线的焦点F(2,0),MP所在的直线方程为y=4,从而可求P(2,4),Q(2,-4),N(6,-4),确定直线MN的方程,可求答案.【解析】由题意可得抛物线的对称轴为x轴,F(2,0),M(x0,4),所以MP所在的直线方程为y=4.在抛物线方程y2=8x中,令y=4可得x=2,即P(2,4),从而可得Q(2,-4),N(6,-4).因为经抛物线反射后射向直线l:x-y-10=0上的点N,经直线反射后又回到点M,所以直线MN的方程为x=6.所以x0=6.答案:6三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015西安模拟)已知抛物线x2=4y的焦点为F,过焦点F且不平行于x轴的动直线l交抛物线于A,B两点,抛物线在A,B两点处的切线交于点M.(1)求证:A,M,B三点的横坐标成等差数列.(2)设直线MF交该抛物线于C,D两点,求四边形ACBD面积的最小值.【解析】(1)由已知,得F(0,1),显然直线AB的斜率存在且不为0,则可设直线AB的方程为y=kx+1(k0),A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y,得x2-4kx-4=0,显然=16k2+160,所以x1+x2=4k,x1x2=-4.由x2=4y,得y=x2,所以y=x,所以直线AM的斜率为kAM=x1,所以直线AM的方程为y-y1=x1(x-x1),又=4y1,所以直线AM的方程为x1x=2(y+y1).同理,直线BM的方程为x2x=2(y+y2).-并据x1x2得点M的横坐标x=,即A,M,B三点的横坐标成等差数列.(2)由易得y=-1,所以点M的坐标为(2k,-1)(k0).所以kMF=-,则直线MF的方程为y=-x+1,设C(x3,y3),D(x4,y4),由消去y,得x2+x-4=0,显然=+160,所以x3+x4=-,x3x4=-4.又|AB|=4(k2+1),|CD|=4.因为kMFkAB=-1,所以ABCD,所以S四边形ACBD=|AB|CD|=8(k2+1)=832,当且仅当k=1时,四边形ACBD面积取到最小值32.10.已知顶点在原点,焦点在y轴上的抛物线过点P(2,1).(1)求抛物线的标准方程.(2)过点P作直线l与抛物线有且只有一个公共点,求直线l的方程.(3)过点Q(1,1)作直线交抛物线于A,B两点,使得Q恰好平分线段AB,求直线AB的方程.【解题提示】(1)设抛物线的标准方程为x2=2py,把点P(2,1)代入可得p值,从而求得抛物线的标准方程.(2)当斜率不存在时,直线方程为x=2符合题意;当斜率存在时,先设直线方程并联立抛物线方程,得出=0,即可求出结果.(3)由题意可知,AB的斜率存在,设AB的方程为y-1=k(x-1),代入抛物线的标准方程化简,由x1+x2=2,求得k的值,从而得到AB的方程.【解析】(1)设抛物线的标准方程为x2=2py,把点P(2,1)代入可得4=2p,所以p=2,故所求的抛物线的标准方程为x2=4y.(2)(i)当斜率不存在时,直线方程为x=2,符合题意;(ii)当斜率存在时,设直线方程为y-1=k(x-2),即y=kx-2k+1,联立方程可得整理可得x2-4kx+8k-4=0.因为直线与抛物线只有一个公共点,所以=16k2-32k+16=0,所以k=1.综上可得,直线l的方程为x-y-1=0或x=2.(3)由题意可知,AB的斜率存在,设AB的方程为y-1=k(x-1),代入抛物线的标准方程x2=4y可得x2-4kx+4k-4=0,所以x1+x2=4k=2,所以k=,所以AB的方程为y-1=(x-1),即x-2y+1=0.(20分钟40分)1.(5分)(2015赤峰模拟)已知点A(0,2),抛物线C:y2=ax(a0)的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,若|FM|MN|=1,则a的值等于()A.B.C.1D.4【解析】选D.依题意F点的坐标为,设M在准线上的射影为K,由抛物线的定义知|MF|=|MK|,所以|KM|MN|=1,则|KN|KM|=21,所以|OA|OF|=21,所以=2,求得a=4,故选D.2.(5分)(2015武汉模拟)如图,已知抛物线y2=2px(p0)的焦点F恰好是双曲线-=1(a0,b0)的右焦点,且两条曲线交点的连线过点F,则该双曲线的离心率为()A.B.2C.+1D.-1【解题提示】先根据抛物线方程及两条曲线交点的连线过点F得到交点坐标,代入双曲线,把=c代入整理得c4-6a2c2+a4=0,等式两边同除以a4,得到关于离心率e的方程,进而可求得e.【解析】选C.由题意,因为两条曲线交点的连线过点F,所以两条曲线的一个交点为,代入双曲线方程得-=1,又=c,所以-4=1,化简得c4-6a2c2+a4=0,所以e4-6e2+1=0,所以e2=3+2=(1+)2,所以e=+1,故选C.【加固训练】(2014成都模拟)已知抛物线y2=4x的准线与双曲线-y2=1(a0)相交于A,B两点,且F是抛物线的焦点,若FAB是直角三角形,则双曲线的离心率为()A.B.C.2D.3【解析】选B.如图所示,F(1,0).因为FAB为直角三角形,所以|AM|=|FM|=2,所以A(-1,2),代入-y2=1,得a2=,所以c2=a2+1=+1=,所以e2=6,所以e=.3.(5分)过点P(-2,1)作两条斜率互为相反数的直线,分别与抛物线x2=4y交于A,B两点,若直线AB与圆C:x2+(y-1)2=1交于不同两点M,N,则|MN|的最大值是.【解析】设直线PA的斜率为k,A(xA,yA),则直线PA的方程为y-1=k(x+2),由得x2-4kx-8k-4=0,所以xA-2=4k,则xA=4k+2,所以点A(4k+2,(2k+1)2),同理可得B(-4k+2,(-2k+1)2),所以直线AB为斜率kAB=1,设直线AB的方程为y=x+b,由得2x2+2(b-1)x+b2-2b=0,由于AB与圆C交于不同的两点,所以0,即1-b0),O为坐标原点,F为抛物线的焦点,直线y=x与抛物线C相交于不同的两点O,N,且|ON|=4.(1)求抛物线C的方程.(2)若直线l过点F交抛物线于不同的两点A,B,交x轴于点M,且=a,=b,对任意的直线l,a+b是否为定值?若是,求出a+b的值;否则,说明理由.【解析】(1)联立方程得x2-2px=0,故O(0,0),N(2p,2p),所以|ON|=2p,由2p=4,得p=2,所以抛物线C的方程为x2=4y.(2)显然直线l的斜率一定存在且不等于零,设其方程为y=kx+1,则直线l与x轴交点为M,设点A(x1,y1),点B(x2,y2),由得x2-4kx-4=0,所以=(4k)2-(-16)=16(k2+1)0,所以x1+x2=4k,x1x2=-4.由=a,得=a(-x1,1-y1),所以a=-,同理可得b=-.所以a+b=-=-=-1,所以对任意的直线l,a+b为定值-1.5.(13分)(能力挑战题)已知抛物线C:y2