高考数学 第二章 第十二节导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例课件 理.ppt

第十二节导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例 1 利用导数研究函数的单调性 单调递增 常数 单调递减 即时应用 1 函数f x 1 x sinx在 0 2 上的单调情况是 2 函数y 3x2 6lnx的单调递增区间为 单调递减区间为 解析 1 在 0 2 上有f x 1 cosx 0 所以f x 在 0 2 上单调递增 2 y 3x2 6lnx y 6x y 3x2 6lnx的定义域为 0 由y 0得x 1 单调递增区间为 1 由y 0得0 x 1 单调递减区间为 0 1 答案 1 单调递增 2 1 0 1 2 函数的极值与导数 1 函数极值的定义 f c f x f c f x 0 2 驻点若f c 0 则 叫作函数f x 的驻点 3 求函数极值的方法 求导数f x 求f x 的驻点 即求 的根 检查f x 在驻点左右的符号 如果在驻点左侧附近为 右侧附近为 那么函数y f x 在这个驻点处取得极大值 如果在驻点的左侧附近为 右侧附近为 那么函数y f x 在这个驻点处取得极小值 x c f x 0 正 负 负 正 即时应用 1 判断下列结论的正误 请在括号中填 或 导数为零的点一定是极值点 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 那么f x0 是极大值 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 那么f x0 是极小值 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 那么f x0 是极大值 2 函数f x 的定义域为开区间 a b 导函数f x 在 a b 内的图象如图所示 则函数f x 在开区间 a b 内有极小值点的个数为 3 设函数f x x3 ax2 a 6 x 1既有极大值又有极小值 则实数a的取值范围是 解析 1 由极值的定义可得 只有 正确 2 从f x 的图象可知f x 在 a b 内从左到右的单调性依次为增 减 增 减 所以f x 在 a b 内只有一个极小值点 3 f x x3 ax2 a 6 x 1既有极大值又有极小值 f x 3x2 2ax a 6的图象与x轴有两个不同的交点 2a 2 12 a 6 0 解得a6 答案 1 2 1 3 a6 3 求函数y f x 在 a b 上的最大值与最小值的步骤 1 求函数y f x 在 a b 内的 2 将函数y f x 的所有极值与 比较 其中 的一个是最大值 的一个是最小值 极值 端点处的函数值f a f b 最大 最小 即时应用 1 思考 最值是否一定是极值 提示 最值不一定是极值 如果最值在端点处取得就不是极值 2 函数f x 3x 4x3在区间 0 1 上的最大值是 解析 由f x 3 12x2 0得x f 0 0 f 1 f 1 1 f x max 1 答案 1 3 函数f x ex sinx cosx 在区间 0 上的值域为 解析 f x ex sinx cosx ex cosx sinx excosx 当0 x 时 f x 0 f x 是 0 上的增函数 f x 的最大值为f f x 的最小值为f 0 故值域为 答案 4 三次函数f x 的单调区间和极值设f x ax3 bx2 cx d a 0 则f x 3ax2 2bx c 分类 性质 分类 性质 u v u v u v u v 即时应用 1 函数f x x3 3x2 1的单调递减区间是 2 若函数y x3 x2 mx 1是r上的单调函数 则实数m的取值范围是 3 函数f x x3 3x2 4x a的极值点的个数是 4 已知函数f x x3 ax2 bx a2在x 1处取极值10 则f 2 解析 1 由已知得f x 3x2 6x 令f x 3x2 6x 0 解得x 0或x 2 当x0 当02时f x 0 所以函数f x x3 3x2 1的单调递减区间是 0 2 2 函数y x3 x2 mx 1是r上的单调函数 只需y 3x2 2x m 0恒成立 即 4 12m 0 m 3 f x 3x2 6x 4 3 x 1 2 1 0 则f x 在r上是增函数 故不存在极值点 4 f x 3x2 2ax b 由题意 即 得a 4或a 3 但当a 3时 b 3 f x 3x2 6x 3 0 故不存在极值 a 4 b 11 f 2 18 答案 1 0 2 2 3 0 4 18 5 利用导数研究生活中的优化问题 1 生活中常遇到求利润最大 用料最省 效率最高等一些实际问题 这些问题通常称为优化问题 2 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 即时应用 1 已知某生产厂家的年利润y 单位 万元 与年产量x 单位 万件 的函数关系式为y x3 81x 234 则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为 2 将边长为1m的正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块 其中一块是梯形 记s 则s的最小值是 解析 1 y x2 81 令y 0得x 9或x 9 舍去 当x 9时y 0 当x 9时y 0 故当x 9时函数有极大值 也是最大值 即该生产厂家获得最大年利润的年产量为9万件 2 设剪成的小正三角形的边长为x 则 s s x s x 令s x 0 0 x 1 得x 当x 0 时 s x 0 s x 递减 当x 1 时 s x 0 s x 递增 故当x 时 s取得最小值 答案 1 9万件 2 热点考向1利用导数研究函数的单调性 方法点睛 1 导数在函数单调性方面的应用 1 利用导数判断函数的单调性 2 利用导数求函数的单调区间 3 已知函数单调性 求参数的范围 2 导数法求函数单调区间的一般步骤 1 求定义域 求出函数y f x 的定义域 2 求根 求导数f x 0在定义域内的根 3 划分区间 用求得的根划分定义域所在的区间 4 确定符号 确定f x 在各个区间内的符号 5 结果 据f x 的符号得相应区间上的单调性 提醒 当f x 不含参数时 也可通过解不等式f x 0 或f x 0 直接得到单调递增 或递减 区间 例1 1 2013 三明模拟 已知函数f x x2 3x 2lnx 则函数f x 的单调递减区间为 a b c 2 d 2 2012 北京高考改编 已知函数f x ax2 1 a 0 g x x3 bx 若曲线y f x 与曲线y g x 在它们的交点 1 c 处具有公切线 求a b的值 当a2 4b时 求函数f x g x 的单调区间 解题指南 1 保证函数有意义的前提下 利用f x 0求解 2 利用交点既在曲线y f x 上 也在曲线y g x 上 在公切点处导数相等 构造方程组求解 构造函数f x f x g x 再利用导数求单调区间 规范解答 1 选d 函数f x x2 3x 2lnx的定义域为 0 因为令即2x2 3x 2 0 解得又x 0 所以故函数f x 的单调递减区间为 2 f x 2ax g x 3x2 b 由已知可得解得a b 3 令f x f x g x f x 令f x 0 得 a 0 x10得 由f x 0得 单调递增区间是单调递减区间为 互动探究 在本例题 2 中 若条件不变 讨论函数f x g x 当a 0时 在区间 1 上的单调性 解析 由本例答案知 当a 0时 函数的单调递增区间是单调递减区间为当即0 a 2时 f x g x 在 1 上为增函数 当即2 a 6时 f x g x 在上单调递增 在上单调递减 当即a 6时 f x g x 在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 综上 当0 a 2时 f x g x 在 1 上为增函数 当2 a 6时 f x g x 在上单调递增 在上单调递减 当a 6时 f x g x 在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 变式备选 已知函数f x x3 ax 1 1 若f x 在实数集r上单调递增 求实数a的取值范围 2 是否存在实数a 使f x 在 1 1 上单调递减 若存在 求出a的取值范围 若不存在 说明理由 解析 1 由已知f x 3x2 a f x 在 上单调递增 f x 3x2 a 0在 上恒成立 即a 3x2对x r恒成立 3x2 0 只需a 0 又a 0时 f x 3x2 0 且只有f 0 0 故f x x3 1在r上是增函数 a 0 2 由f x 3x2 a 0在 1 1 上恒成立 得a 3x2在 1 1 上恒成立 1 x 1 3x2 3 只需a 3 当a 3时 f x 3 x2 1 在 1 1 上 有f x 0 即f x 在 1 1 上为减函数 a 3 故存在实数a 3 使f x 在 1 1 上单调递减 热点考向2利用导数研究函数的极值 最值 方法点睛 应用函数极值应注意的问题 1 注意极大值与极小值的判断 2 已知极值求参数的值 注意f x0 0是函数y f x 在x0处取得极值的必要不充分条件 3 数形结合求参数的范围 利用导数研究了函数的单调性和极值后 可以画出草图 进行观察分析 确定满足条件的参数范围 例2 设f x 2x3 ax2 bx 1的导数为f x 若函数y f x 的图象关于直线x 对称 且f 1 0 1 求实数a b的值 2 求函数f x 的极值 解题指南 y f x 的图象是抛物线 易确定对称轴 从而可求a b 然后按照求函数极值的步骤求极值即可 规范解答 1 f x 6x2 2ax b 6 x 2 b 函数y f x 的图象关于直线x 对称 所以 a 3 又f 1 0 6 2a b 0 b 12 2 由 1 知f x 2x3 3x2 12x 1 f x 6x2 6x 12 令f x 0得x1 2 x2 1 所以函数f x 在 2 上递增 在 2 1 上递减 在 1 上递增 所以函数f x 在x 2处取得极大值f 2 21 在x 1处取得极小值f 1 6 反思 感悟 1 求函数的极值时 一定要注意观察极大值与极小值的情况 否则极易弄混极大值 极小值 2 利用导数研究了单调性和极值 就可以大体知道函数的图象 为数形结合解题提供了方便 3 函数最值的求解策略 1 根据最值的定义 求在闭区间 a b 上连续 开区间 a b 内可导的函数的最值时 可将过程简化 即不用判断使f x 0成立的点是极大值点还是极小值点 直接将极值点与端点的函数值进行比较 就可判定最大 小 值 2 定义在开区间 a b 上的可导函数 如果只有一个极值点 该极值点必为最值点 变式训练 已知函数f x x k ex 1 求f x 的单调区间 2 求f x 在区间 0 1 上的最小值 解析 1 f x x k 1 ex 令f x 0 得x k 1 k 1将区间 分为两个区间 列表如下 所以f x 的单调递减区间是 k 1 单调递增区间是 k 1 2 当k 1 0 即k 1时 函数f x 在 0 1 上单调递增 所以f x 在区间 0 1 上的最小值为f 0 k 当0 k 1 1 即1 k 2时 由 1 知f x 在 0 k 1 上单调递减 在 k 1 1 上单调递增 所以f x 在区间 0 1 上的最小值为f k 1 ek 1 当k 1 1 即k 2时 函数f x 在 0 1 上单调递减 所以f x 在区间 0 1 上的最小值为f 1 1 k e 综上 当k 1时 f x 在区间 0 1 上的最小值为 k 当1 k 2时 f x 在区间 0 1 上的最小值为 ek 1 当k 2时 f x 在区间 0 1 上的最小值为 1 k e 变式备选 2012 莆田模拟 已知函数f x lnx 1 当a 1时 求f x 在 2 上的最大及最小值 2 当12 x 1 3 若函数g x f x 在区间 1 2 上不单调 求a的取值范围 解析 1 当a 1时 f x lnx 1 f x x 2 令f x 0得x 1 f x 0得1 x 2 f x 在 1 上单调递减 在 1 2 上单调递增 故f x min f 1 0 最大值为f 与f 2 中的较大者 f 1 ln2 f 2 ln2 f 2 f 2ln2 易知e3 16 f 2 f 故f x max 1 ln2 2 令f x x 1 lnx 2 x 1 f x lnx 1 由 1 知f x 在 1 2 上单调递增 f x f 1 0 故f x 在 1 2 上单调递增 f x f 1 0 即 x 1 lnx 2 x 1 3 g x f x lnx g x g x 在 1 2 上不单调 x2 ax 1 0在 1 2 上有根且无重根 即方程a x 在 1 2 上有根 且无重根 2 a 热点考向3导数在实际问题中的应用 方法点睛 1 导数在实际问题中的应用在求实际问题中的最值时 一般要先恰当的选择变量 建立函数关系式 并确定其定义域 然后利用导数求函数最值的方法加以解决 注意检验结果与实际是否相符 2 实际问题中的最值有关函数最大值 最小值的实际问题 一般指的是单峰函数 也就是说在实际问题中 如果遇到函数在区间内只有一个极值点 那么不与区间端点比较 就可以知道这个极值点就是最大 小 值点 例3 2011 福建高考 某商场销售某种商品的经验表明 该商品每日的销售量y 单位 千克 与销售价格x 单位 元 千克 满足关系式y 10 x 6 2 其中3 x 6 a为常数 已知销售价格为5元 千克时 每日可售出该商品11千克 1 求a的值 2 若该商品的成本为3元 千克 试确定销售价格x的值 使商场每日销售该商品所获得的利润最大 解题指南 本题为导数应用题 1 根据x 5 y 11得a的值 2 先将利润表示为x的函数 再根据函数关系式的结构特征 用导数求其最值 规范解答 1 由题意知x 5时 y 11 所以 10 11 解得a 2 2 由 1 可知 该商品每日的销售量y 10 x 6 2 所以商场每日销售该商品所获得的利润f x x 3 10 x 6 2 2 10 x 3 x 6 2 3 x 6从而f x 10 x 6 2 2 x 3 x 6 30 x 4 x 6 于是 当x变化时 f x f x 的变化情况如表所示 由表可得 x 4是函数f x 在区间 3 6 内的极大值点 也是最大值点 答 当销售价格为4元 千克时 商场每日销售该商品所获得的利润最大 反思 感悟 1 解决导数的实际问题 数学建模是关键 恰当变量的选择 决定了解答过程的繁简 函数模型的确定 决定了能否解决这个问题 2 解决导数的实际问题必须考虑实际意义 忽视定义域 往往是这类题目失分的主要原因 变式训练 2012 南平模拟 某工厂每天生产某种产品最多不超过40件 并且在生产过程中产品的正品率p与每日生产产品件数x x n 间的关系为p 每生产一件正品盈利4000元 每出现一件次品亏损2000元 注 正品率 产品的正品件数 产品总件数 100 1 将日利润y表示成日产量x的函数 2 求该厂的日产量x为多少件时 日利润y最大 并求出日利润y的最大值 解析 1 y 4000 x 2000 1 x 3600 x x3 所求的函数关系式是y x3 3600 x x n 1 x 40 2 显然y 3600 4x2 令y 0 解得x 30 当1 x0 当30 x 40时 y 0 函数y x3 3600 x x n 1 x 40 在 1 30 上是单调递增函数 在 30 40 上是单调递减函数 当x 30时 函数y x3 3600 x x n 1 x 40 取最大值 最大值为 303 3600 30 72000 元 该厂的日产量为30件时 日利润最大 其最大值为72000元 变式备选 2012 莆田模拟 某企业科研课题组计划研发一种新产品 根据分析和预测 能获得10万元 1000万元的投资利益 企业拟制订方案对课题组进行奖励 奖励方案为 奖金y 单位 万元 随投资收益x 单位 万元 的增加而增加 且奖金不超过投资收益的20 同时奖金不超过9万元 并用函数y f x 模拟这一奖励方案 1 试写出模拟函数y f x 所满足的条件 2 试分析函数模型f x 4lgx 3是否符合奖励方案的要求 并说明你的理由 解析 1 由题意 模拟函数y f x 所满足的条件是 y f x 在 10 1000 上是增函数 f x 9 f x x 2 函数模型f x 4lgx 3符合奖励方案 理由 对于函数f x 4lgx 3 显然在 10 1000 上是增函数 满足条件 又当x 10 1000 y 1 9 从而满足条件 下面证明f x x 即4lgx 3 x 设g x 4lgx 3 x 10 x 1000 g x 因为e lge lg 则20lge 10 则g x 0对x 10 1000 恒成立 所以g x 4lgx 3 x在 10 1000 上递减 则g x g 10 1 0 即4lgx 3 x 0恒成立 所以f x x 满足条件 1 2012 大纲版全国卷 已知函数y x3 3x c的图象与x轴恰有两个公共点 则c a 2或2 b 9或3 c 1或1 d 3或1 解析 选a 设y f x f x 3 x 1 x 1 当x 1或x 1时取得极值 f 1 0或f 1 0 即c 2 0或c 2 0 解得c 2或c 2 2 2011 湖南高考 设直线x t与函数f x x2 g x lnx的