高等气体动力学第4章可压缩一维非定常流动老版本-左特征矩阵符号未改

高等气体动力学2008.2.19第四章 可压缩一维非定常流动41 可压缩非定常流动的控制方程组欧拉方程组42 一维非定常欧拉方程组的特征分析43 双曲型守恒律的弱解44 一维非定常流动的一般特征微弱扰动波的传播45 一维非定常流动的一般特征微弱扰动波的反射与相交46 一维非定常流动的一般特征有限强度扰动波的传播47 特征线法的一般理论48 一维非定常均熵流动的特征线理论49 一维激波管（Riemann）问题41 可压缩非定常流动的控制方程组欧拉方程组p 欧拉方程组是描述无黏流的最高级或说是最完整的方程组，其解是N-S方程组当黏性系数趋于零时的极限；p 欧拉方程组描述了N-S方程组的对流性质。在高雷诺数下，N-S方程组是由对流控制的，这也是大多数工程与自然界中的流动情形；p 因此，研究Euler方程组就显得非常重要。从数值模拟角度而言，一般情况下能够适用于Euler方程组的数值方法对N-S方程组也同样有效，这时，只需要将黏性项按中心差分离散即可。只有对低雷诺数流动，由于它受黏性耗散控制，才需要使用特殊的方法；p Euler方程组的物理意义在于它表述了质量、动量和能量的守恒定律，所以推导时的基本出发点是守恒形式的控制方程组；p 在无黏流中可能存在各种间断，就数值模拟而言，为了在数值模拟中正确捕捉这些间断，必须使用守恒形式的控制方程组。只有当确信不会出现间断时，才可以使用非守恒方程组；p Euler方程组是一阶非线性耦合方程组，可以写成各种不同的等价形式，这取决于流动变量的选取。在本课程中，定义了如下的因变量： 守恒变量是服从守恒方程的变量，定义为 原始变量使用更为自然、方便，在实验中可以直接测量或控制的变量，定义为， 在计算中，用这样的变量赋边界条件较直接和方便。 特征变量由于Euler方程组在时间上是双曲型的，即存在特征线（或特征面），那些沿着特征线（特征面）传播的变量可定义为特征变量。一、欧拉方程组的守恒形式p 为方便起见，将欧拉方程组的各种形式再写一遍。p 积分守恒形式(4-1-1)(4-1-2)(4-1-3)式中：作用在控制体上的外力；单位质量流体总能量；单位质量流体总焓；为将守恒方程写成紧凑形式，令， 则积分守恒方程组可写成(4-1-4)说明 列矢量包含的变量是守恒变量； 包含的是对流通量； 要求解上式，需补充描述流体热力学性质的方程，即状态方程； 一般地，可将内能定义或则状态方程的形式为 理想气体：内能；状态方程。p 微分守恒形式(4-1-5)(4-1-6)(4-1-7)写成矩阵形式(4-1-8)或(4-1-9)式中，(4-1-10)二、欧拉方程组的拟线性形式p 为了研究欧拉方程组的性质，必须将它写成拟线性形式；p 欧拉方程只包含一阶导数。如果外力与流动变量无关，则是一阶偏微分方程组。1. 守恒变量的Jacobian矩阵p 定义欧拉方程组(4-1-8)可以写成拟线性形式(4-1-11)矢通量对守恒变量的Jacobian矩阵定义为(4-1-12)将式(4-1-11)改写成(4-1-13)或显式地写出(4-1-14)各方向通量的Jacobian矩阵可写成，(4-1-15)p Jacobian矩阵的齐次性质对理想气体，或更一般地，对具有如下性质(4-1-16)的流体，各方向通量是守恒变量的一阶齐次函数，即对任意的，有(4-1-17)对求偏导有令有(4-1-18)或写成分量形式，(4-1-19)将上式代入式(4-1-8)或(4-1-9)可得(4-1-20)将上式与式(4-1-14)相比，可见Jacobian矩阵既可写在微分外，也可写在微分内，它们在数学上是完全等价的。但数值计算时并不是一回事，它们将导致完全不同的离散形式，因为式(4-1-14)是非守恒形式，而式(4-1-20)是守恒形式。p Jacobian矩阵的具体形式为求Jacobian矩阵，将和写成守恒变量的函数，令守恒变量为，其中，用上式可将和写成如下形式，(4-1-21)在推导之前，还需将表示成的函数。对理想气体，有即(4-1-22)用以上表达式可求出Jacobian矩阵，例如(4-1-23)式中每一项都代表一个有五个元素的列矢量，如(4-1-24)由式(4-1-22)得(4-1-25)所以有(4-1-26)将(4-1-23)中的每一项都求出，并还原，和的符号后可得(4-1-27)(4-1-28)(4-1-29)可见，Jacobian矩阵是非常复杂的，用它分析Euler方程组的数学特征相当困难。为此，需借助于对原始变量的Jacobian矩阵。2. 原始变量的Jacobian矩阵p 对于没有热传导和热源的流动，非守恒形式的Euler方程组可写成：(4-1-30)p 原始变量定义为(4-1-31)经推导，可以将式(4-1-30)表示成原始变量的形式(4-1-32)式中为声速的平方。p 则式(4-1-32)的拟线性形式为(4-1-33)或(4-1-34)式中，或其分量矩阵，是Euler方程组对原始变量的Jacobian矩阵。p 容易证明，Jacobian矩阵具有十分简单的结构，即(4-1-35)(4-1-36)(4-1-37)3. 守恒变量和非守恒变量之间的变换关系p 为了将Jacobian矩阵和联系起来，必须寻求如下关系(4-1-38)通过直接运算可得(4-1-39)其逆阵为(4-1-40)变换阵的行列式值为(4-1-41)p 利用矩阵可以将式(4-1-13)变换成原始变量的形式。因为，所以，式(4-1-13)变成两边左乘得(4-1-42)p 与式(4-1-33)相比，可知Jacobian矩阵和之间的关系或(4-1-43)以及源项(4-1-44)p 有了式(4-1-43)，在分析Euler方程组的数学性质时，可以使用非守恒变量的Jacobian矩阵，而一旦分析完毕，即可用上述关系将它们转换成守恒变量。三、欧拉方程组的特征形式特征值与相容性关系1. 特征值与左特征矢量p 定义：如果对任意的矩阵组合(4-1-45)它都有实的特征值，则称Euler方程组是双曲型的。由于和的关系，上述定义对也同样适用。p 特征值定义为或(4-1-46)p 如果方程组是双曲型的，则它的特征值都是实的，对应于每一个特征值，存在左特征矢量。左特征矢量是五维空间中的一个行矢量，定义为（对无求和约定）(4-1-47)或(4-1-48)式中：是对应于第个特征值的左特征矢量。p 有了特征值和左特征矢量，可以确定相容性方程。将左特征矢量与式(4-1-33)相乘得(4-1-49)这就是对应于特征值的相容性方程。2. Jacobian矩阵的对角化与右特征矢量p Jacobian矩阵的对角化左特征矢量是一个行矢量，把所有的左特征矢量组合在一起可以定义一个矩阵称为左特征矩阵，其第行元素为第个左特征矢量。则用可以将Jacobian矩阵对角化。由的定义，将式(4-1-47)或(4-1-48)对所有排列在一起有 (4-1-50)式中，是由特征值组成的对角阵，即(4-1-51)故有(4-1-52)或 (4-1-53)注意因为均为的函数，所以， 由特征值对角阵，式(4-1-53)知，对Jacobian矩阵的任意线性组合可找到适当的，使对角化；同理，对每一个Jacobian矩阵、或，都可找到适当的，使其对角化。如使对角化， 使对角化， 使对角化这是因为、或都属于线性组合的特例。但是，不可能找到这样的一个，它能使、和同时对角化，故p 右特征矢量对每一个特征值，可以定义一个右特征矢量，即，（对无求和约定）(4-1-54)或(4-1-55)右特征矢量是列矢量，将所有的右特征矢量组合在一起可得到一个矩阵，称为右特征矩阵，即由式(4-1-54)可得(4-1-56)或(4-1-57)与式(4-1-52)相比，知(4-1-58)这就是说，右特征矩阵是左特征矩阵的逆阵。所以 (4-1-59)注意是波动的传播方向，依定义，它是任意的；左特征矢量规定了在此方向的传播情况；右特征矢量表示在该方向传播的扰动强度；的行是左特征矢量，的列是右特征矢量。3. 守恒变量Jacobian矩阵的对角化p 将相容性方程(4-1-49)组合起来写成矩阵形式会更紧凑，即(4-1-60)由和的关系(4-1-38)，可将上式写成将变换关系(4-1-43)式和(4-1-44)式， 代入上式得或(4-1-61)p 定义，或 (4-1-62)则式(4-1-61)可改写成(4-1-63)注意对守恒变量Jacobian矩阵的作用就如同对原始变量Jacobian矩阵的一样，所以用可以使对角化；根据和的关系，即式(4-1-43)和(4-1-53)，也可以用表示对角阵，即(4-1-64)同理，的行是的左特征矢量，而的列是的右特征矢量。4. 特征变量p 从相容性方程(4-1-60)可以发现，如果用表示一个任意变化（随时间的或随空间的），即(4-1-65)或 (4-1-66)p 可见：是一个列矢量，称为特征变量；其变化是原始变量变化的线性组合，且系数是左特征矢量。p 根据特征变量的定义，可以将相容性方程改写成特征变量的形式 (4-1-67)注意因为特征变量的变化是原始变量增量的线性组合，组合系数为左特征矢量，而左特征矢量是波动方向的函数，所以特征变量也是波动方向的函数；在很多情况下，从特征变量变化中将特征变量积分出来是不可能的，所以特征变量可能并不存在，只有其增量才有意义，即特征变量的增量总是可以定义的；只有在下列特殊情况下，特征变量才存在： 一维非定常流动； 二维定常流动。根据原始变量与守恒变量的关系，也可以用守恒变量增量来定义特征变量增量，即(4-1-68)或(4-1-69)或写成分量形式(4-1-70)三组变量、和之间的关系可用下图表示：MPL四、多维流的特征值与相容性关系(具体形式)1. 原始变量的Jacobian矩阵、特征值与特征矢量p 依定义，所谓特征值指的是Jacobian矩阵的任意线性组合的特征值，它是如下方程(4-1-71)的根，即(4-1-72)展开后得(4-1-73)式中，为的模：。从上式解得(4-1-74)p 所以，由特征值组成的特征值对角阵为(4-1-75)p 将特征值代入式(4-1-47)或(4-1-48)中可得出左特征矢量。对前三个特征值，即三重根，其左特征矢量的分量方程为(4-1-76)其三个线性独立的解可取如下形式(4-1-77)式中是可以任意选取的尺度系数。对其余两个特征值，对应的左特征矢量满足如下关系(4-1-78)式中，和是方向单位矢量在三个坐标轴上的分量，即， ， 式(4-1-78)的两个解为(4-1-79)由于的大小没有实际物理意义，所以为使左特征矢量不显式地包含，习惯上可进行如下选取(4-1-80)则五个左特征矢量可写成 (4-1-81)将五个左特征矢量按行写在一起就得到了左特征矩阵 (4-1-82)其逆阵为 (4-1-83)说明 特征矩阵的模为(4-1-84) 选取另外的可得到其它形式特征矩阵，但对和应取同样，以保证 左特征矩阵的行为左特征矢量；右特征矩阵的列为右特征矢量； 特征矩阵的排列与特征值的排列是对应的。若改变特征值排列方式，应同时改变的行和的列； 使Jacobian矩阵的线性组合对角化，但同样的不能使，和同时对角化； 若将写成的函数，即则使对角化；使对角化；使对角化但 对于二维情况，即x-y平面流动，将的第二行和第四列去掉，将的第二列和第四行去掉，同时令就得到了二维流动的和。2. 守恒变量的Jacobian矩阵、特征值与特征矢量p 根据和的定义(4-1-62)，通过直接的矩阵相乘可得到守恒变量Jacobian矩阵的特征矩阵，即， 若定义(4-1-85)则矩阵相乘后得(4-1-86)若定义(4-1-87)(4-1-88)则矩阵相乘后得(4-1-89)说明选取其它系数时，由于和改变，和也将同时发生变化；与一样，的行为的左特征矢量；与一样，的列为的右特征矢量；只能使对角化，而不能使，和同时对角化。3. 二维情况的特例p 对二维情况，将三维的第二行和第四列去掉，同时令，可得对，将三维的第四行和第二列去掉，并令，得注意到，中第一行和中第一列含有公因子，为保证，需将此因子去掉。故对二维情况，应将和改写成p 相应地，可得到和，即p 在TVD格式中，需要用到右特征矩阵，其常用的形式为 A阵， B阵， 42 一维非定常欧拉方程组的特征分析p 一维流动的知识具有非常重要的作用；p 这是因为，一维流动方程的简单性足以使人们对非线性波动现象进行细致的分析，而一维流动特征又可以作为多维流动的代表；p 特别是，在多维计算中，很多情况下可以局部地运用一维概念来定义边界条件。一、 一维流的控制方程组p 一般化的一维无黏流是变截面准一维流，如图示。对此流动，其守恒形式的控制方程组可以写成 (4-2-1)式中，u为一维流流速；S为流动截面积。p 对原始变量，其非守恒形式控制方程组可写成(4-2-2)若定义源项为(4-2-3)则原始变量控制方程的准线性形式为(4-2-4)式中Jacobian矩阵为(4-2-5)p 守恒变量和原始变量之间的变换矩阵分别为(4-2-6)(4-2-7)二、特征值与特征矢量p 一维时，矢量的方向与x轴同向，即因为的大小无关紧要，为方便计，取。p 根据特征值定义式(4-1-46)，有(4-2-8)式中为单位阵。展开，有(4-2-9)解得(4-2-10)p 为求左特征矢量，由定义(4-1-47)或(4-1-48)得第个左特征矢量是如下方程的解(4-2-11)或写成矢量形式(4-2-12)p 对第一个特征值得(4-2-13)解得p 对第二、第三个特征值有(4-2-14)解得p 对第二特征值取：， 为任意数；对第三特征值取：， 为任意数；p 于是，三个左特征矢量可写成(4-2-15)p 当取时，左特征矩阵和右特征矩阵分别可写成(4-2-16)(4-2-17)p 通过矩阵相乘，可以得到关于守恒变量Jacobian矩阵的左特征阵和右特征阵，即(4-2-18)(4-2-19)注意：当选取其它系数、和时，所得形式有变化，如在文献中常看到的选取是，式中，为总焓。三、相容性方程p 按(4-1-60)式，相容性方程为(4-2-20)亦即(4-2-21)式中，为特征值的对角矩阵，即(4-2-22)p 将各矩阵展开，可得三个相容性方程(4-2-23)四、特征变量与特征线p 根据式(4-1-65)或(4-1-66)，可以定义如下的特征变量增量或显式地(4-2-24)p 而控制方程组可以写成如下的特征变量的形式(4-2-25)或(4-2-26)如果把上述方程写成单个形式，则有(4-2-27)p 从上式可以发现，当沿着特征线时，三个方程的耦合关系被分割开来称为解耦，也就是说在xt平面上 沿着C0：以速度u传播； 沿着C：以速度u+a传播； 沿着C：以速度u-a传播；其中，C0是流线，C和C是马赫线，它们都是一维流的特征线，如图所示。p 将式(4-2-27)可以写成统一的形式，有(4-2-28)p 可以看出,如果上式的右端为零，即(4-2-29)则沿着特征线，特征变量是严格守恒的，即沿着特征线特征变量保持不变。这是因为沿着C：(4-2-30)p 特征变量又可以称为Riemann变量，当它们保持不变时，又称为Riemann不变量。p 顺便提及，由于相容性方程式(4-2-23)的第一个方程可写成物质导数或而熵增可以写成(4-2-31)所以第一个方程表示沿流线：，有(4-2-32)或(4-2-33)这说明熵是沿流线传播的，且只要不出现间断，熵沿该特征线不变，或称为守恒。p 对于等熵流动，特征变量可以从其增量形式中积分出来。对C+：(4-2-34)由等熵关系式：，得(4-2-35)对C：同理(4-2-36)这就是Riemann变量。p 于是控制方程组(4-2-27)可以写成如下的等价形式(4-2-37)上式表示熵沿流线和由、描述的压力波沿特征线C+和C的传播（对流）情况。五、边界条件p 一维非定常流动具有三条特征线，它们是流线C0和马赫线C；p 前已述及，按特征线的观点，一维流动实际上描述了Riemann变量沿特征线的输运，或说流动信息沿特征线的传播情况；p 因此，对给定的一维流问题，求解所需要的边界条件的数目就与特征线的方向及沿特征线的传播有关；p 为说明此问题，考虑一个沿x的流动。它有一个进口平面和一个出口平面，分别位于x=x0和x=x1，如图所示。 一维流动亚声速边界条件 一维流动超声速边界条件1. 进口边界p 进口为亚声速流 在边界点P0处，特征线C0和C+的斜率u与u+a均为正值，故C0和C+均指向流场内部。这说明，C0和C+是将流动信息从流场外传递到流场内的，因此在边界上要求C0和C+所输运的量为已知值； 第三条特征线C的斜率ua0，故它把流场内部信息传递到边界外，因而它传递的信息不能在边界上给定，而只能从流场内部确定。p 进口为超声速流此时，三条特征线均指向流场内部，因此在边界上必须给定所有流动信息，即需要给出三个边界条件。2. 出口边界p 亚声速出流此时，C0和C+指向流场外部，即需要从流场内部确定两个条件，C指向流场内部，故需要给出的边界条件只有一个。p 超声速出流这时，三条特征线均指向外部，故在边界上不能指定边界条件，它们是由流场内部规定的。3. 边界小结p 总结上述情况，在一维流计算中需指定的物理边界条件如下表所示。无粘一维流的物理边界条件数目亚声速M1进口边界2个条件，给定w1、w23个条件，给定w1，w2，w3出口边界1个条件，给定w3无p 上述分析给出的边界条件是由问题的物理性质规定的，故称为“物理边界条件”；p 在实际计算中，上述条件是不够的，而且也不实用。原因如下：变量类型：上述分析要求给出边界上的熵或Riemann变量的值，实际上难以做到，因为它们的值不知道。所知道的是从实验中得到的原始变量的值，即p，u和。因此Riemann变量的边界值必须用迭代或近似的关系给出，特别是在亚声速边界。条件数目：物理边界条件是物理上的要求，多数情况下，在边界上不能指定所有的变量。但在数值求解时，求解前必须已知所有变量。因此，当物理条件不够时，必须补充其它条件，称为“数值边界条件”。p 数值边界条件对应于那些由内部流动规定的变量，它们依赖于尚未求出的内部流动，因此，施加的数值边界条件应该与流动的物理特征相容，而且不能影响物理边界条件；p 数值边界条件是非常重要的。理论分析和数值实验均表明，对许多格式，数值边界条件的处理会对精度、稳定性和收敛率产生重大影响。例如，很多隐格式理论上都是无条件稳定的，但由于边界条件处理不当，会变成条件稳定。43 双曲型守恒律的弱解p Euler方程组(4-1-8)或(4-1-9)的特征值都是实的，所以Euler方程组是双曲型的：(4-1-8)p 双曲型方程的一个重要特点是，即使初始条件是充分光滑的，随着时间的增长，由于压缩波的发展，同族特征线也可能相交，使解出现间断。因此，解的间断性是非线性方程（拟线性方程）的本质特点；在自然界中，各种物理量间断的传播是一种普遍现象，例如激波的传播。p 在间断点，原微分方程不再成立，因而古典解理论也不再适应。所以，为了得到间断解，必须引进弱解概念，使古典解推广到间断解。p 粗糙地说，弱解就是古典解加间断解。一、弱解的概念p 以标量双曲型守恒律为例，该方程可以简写为(4-3-1)考虑上式在如下初始条件（压缩波）的解(4-3-2)当解连续时，与该初始条件对应的解为(4-3-3)如图所示。显然，当0t1时，解将如何发展？若仅仅将连续解(4-3-3)作连续推广，则有(4-3-5)如图示，u在区间1xt不是唯一的，而是一个多值函数没有物理意义。所以推广古典解必须引入间断解概念。p 上述非线性问题的弱解并不是唯一的。例如，方程(4-3-1)在如下初值条件(4-3-6) 的解，可能是中心膨胀波的形式：(4-3-7)也可能是膨胀激波：(4-3-8)而膨胀激波是违反热力学第二定律的，所以不是物理解。p 判断弱解是否物理解需要使用热力学第二定律，即通过间断时必须满足熵增条件；在数值模拟中，也可以从稳定性分析判断弱解是否物理解：即给间断解施加某种小扰动，如果间断解保持稳定，则是物理解，否则是非物理解。p 引入数学上的熵概念，则只有当弱解满足熵条件时，它才是唯一的，并且是物理解。注意，数学上的熵并不是物理熵，在许多情况下两者是不一致的。p 关于熵条件，Lax有一个直观等价的数学解释：方程(4-3-1)在初始条件(4-3-6)下的解应该是如下方程(4-3-9)在初始条件(4-3-6)下的解u(x,t)当0时的极限，即(4-3-10)p 方程(4-3-9)称为Burgers方程，它是黏性问题的模型方程。式中二阶导数的系数相当于黏性系数，故Burgers方程是含有耗散项的方程。p 由此可见，引入适当的耗散是获得物理解的保证，这就是为什么在无黏流数值模拟中需要添加人工黏性项的原因。二、欧拉方程组间断解的性质p 在有些情况下，欧拉方程允许有间断解；p 间断有两种，一种是弱间断：即通过间断面时参数连续，而参数的导数不连续；另一种是强间断：即通过间断时，参数本身不连续。下面仅讨论强间断。p 强间断包括涡街、接触间断、激波间断等；p 间断解只能从积分形式的守恒方程中得到，因为在间断面上通量的梯度是没有定义的。1. 间断解的性质p 设流场中有一间断面，其运动速度为，取如图所示的控制体，它是一无限小量。将积分形式的Euler方程组应用于控制体，有(4-3-11)式中，是微元体积，是控制体的微元控制面积。由于随时间变化（），所以其中，体积随时间的变化是由于具有移动速度，故表示体积的守恒。所以(4-3-12)又当时，AB0、CD0，所以(4-3-13)式中，下标表示间断面前后的值；是的法向。p 定义(4-3-14)表示跨过间断面时A的跳跃量。将(4-3-12)、(4-3-13)代入(4-3-11)得式中，第二项也可以仿照通量项改写成(4-3-13)式的形式，即故有p 当0时，所以(4-3-15)又因为积分长度是任意的，有或(4-3-16)以上两式称为Rankine-Hugoniot关系。p 设间断面可用如下函数表示则有(4-3-17)其法矢量为(4-3-18)则可将式(4-3-16)改写为(4-3-19)p 将式(4-3-16)显式地写出，有对静止激波，则由式(4-3-16)将的表达式代入得(4-3-20)(4-3-21)(4-3-22)2. 三种间断形式：设间断面运动速度为零 接触间断 或 (4-3-23)(4-3-24)由(4-3-20)知(4-3-25)同时(4-3-26) 涡街或称滑移线 或 (4-3-27)(4-3-28)(4-3-29)(4-3-30) 激波(4-3-31)(4-3-32)(4-3-33)(4-3-34) 通过激波：熵增加，所以(4-3-35)由热力学第二定律知激波只能是压缩的物理上没有膨胀激波； 但是，膨胀激波也是Euler方程的有效解，即通过激波后这种解对应于无传热时的可逆流动过程； 所以，Euler方程本身不具备鉴别激波是压缩（）还是膨胀（）的物理机制，所有无黏计算都有这一问题； 因此，为了保证得到有物理意义的解，在求解无黏问题时，必须增加一个限制即熵条件； 对于无传热、无内部热源的绝热黏性流动，热力学第二定律（熵条件）可写成(4-3-36)式中，是黏性耗散，且总有所以，如果采用适当的数值格式，黏性流计算通常是满足熵条件的。 对比式(4-3-36)和(1-3-73)知，Euler方程有物理意义的解是真实流动当的极限。因此，Euler方程有物理意义的解就必须满足(4-3-37) 此外，从上式可知，对不均匀的间断（如强度有变化的激波），将在流线垂直方向引起熵梯度，因此即使是初始无旋的流动，也会在激波下游变成有旋流。44 一维非定常流动的一般特征微弱扰动波的传播p 非定常流动的例子很多，如航空发动机的启动与停车过程、火箭发动机点火过程、装药燃烧结束后的排气过程等。严格地说，自然界中的一切流动都是非定常的，因为即使是定常流动，由于湍流，流动参数也将发生快速的脉动变化。p 对给定的非定常流动，当时间趋于无限长时，它就变成了定常流动，也就是说，当时间无限延续时，非定常流的极限是定常流。p 这一点非常重要，因为在求解定常流时，可以使用非定常流动的控制方程，于是当时间趋于无限长时就得到了定常解这是现在计算流体力学中常用的方法，称为时间相关法。其数学基础是：非定常控制方程组是双曲型的，其求解可以采用推进方法，易于计算，而定常流动控制方程组则可能是椭圆型的或抛物型的，不易求解。p 在定常流动中，流动参数随时间发生变化，是由于流动受到了扰动，扰动在流场中的传播就造成了非定常流动。因此，研究非定常流动归根结底就是要研究扰动的传播规律，包括：扰动的传播速度；扰动前后气流参数的变化；扰动到达不同边界时的反应；多处多种扰动的综合与相互作用；扰动强度在传播中的变化规律等。一、微弱扰动在等截面管中的传播p 假设有一个无限长等截面直管，管中充满气体，其状态参数为：p、和T，气体相对于静止的观察者可以是静止的或是运动的。管内有一个活塞，它相对于气体总是静止的，即气体静止时它也静止，气体有运动速度时它以相同的速度跟随气体运动。p 现研究在t=0时刻，活塞相对于气体瞬时加速到du（向右，正方向）或-du（向左），然后保持这个速度作恒速运动时，由于活塞推动或抽吸气体造成的扰动在气体中的传播情况。由于活塞速度是微小增量，所以扰动也是微弱的，根据第三章中的知识，该扰动是微弱波，它相对于气体的传播速度是未扰气体中的声速。p 下面分别讨论当活塞向右和向左运动时，扰动波在静止气体或运动气体中的传播情况。1. 管中未扰动气体静止的情况（1） 活塞向右运动：如图示。p 右边气体 由于活塞对气体的推动是对气体的压缩，所以扰动以微弱压缩波的形式向右传播； 由于波前向右，或者说未扰动气体从波的右边进入波，故称为右向波它是右向压缩波； 未扰动气体受到压缩后，其压强、温度和密度都有一个增量，即波后流动参数是， 波后气流速度与活塞相同，即du； 相对于静止观察者，右向压缩波的传播速度是，a未扰动气体的声速p 左边气体 由于气体受到活塞的抽吸，故扰动为微弱膨胀波，向左传播； 波前向左，即未扰动气体从波的左边进入波，故它是左向膨胀波； 未扰动气体受到膨胀后，其压强、温度和密度均下降一个小量，即波后参数是， 波后气流速度与活塞相同，即du； 相对于静止观察者，左向膨胀波的传播速度是，a未扰动气体的声速，负号表示向左，与x轴方向相反。（2） 活塞向左运动：如图示。p 右边气体 气体受到活塞的抽吸，故扰动为微弱膨胀波，且是右向膨胀波； 波后参数是， 波后气流速度与活塞相同，即-du； 相对于静止观察者，右向膨胀波的传播速度是，a未扰动气体的声速p 左边气体 气体受压缩，故为压缩波，且是左向压缩波； 波后流动参数是， 波后气流速度与活塞相同，即-du； 相对于静止观察者，左向压缩波的传播速度是，a未扰动气体的声速，负号表示向左，与x轴方向相反。（3） 小结p 综合上述情况，扰动有压缩和膨胀两类，其波前有向右和向左之分。故扰动波共有四种形式： 右向压缩波左向膨胀波右向膨胀波左向压缩波p 对上述四种情况，扰动波的传播速度为，a未扰动气体的声速(4-4-1) 其中：“”对应于右向波，“”对应于左向波。p 在压缩波后，气体的压强、温度和密度均增大；在膨胀波后，压强、温度和密度均减小。p 由于压缩波后气体温度升高，故声速增大如果活塞连续多次加速，将产生一系列压缩波，且每一道后续压缩波的传播速度都比其前方的大，故后续压缩波一定能追赶上前方的压缩波它们将逐渐汇聚在一起形成一道更强的、有限强度的压缩波激波；p 由于膨胀波后气体温度降低，故声速减小多道膨胀波不会汇聚，因为每一道后续膨胀波的传播速度都比其前方的小它们永远不可能汇聚成有限强度的膨胀波膨胀激波。2. 管中未扰动气体速度为u的情况p 当管中未扰动气体以速度u自左向右运动时，由于活塞跟随气体一起运动，故没有扰动发生。p 假设在t=t0时刻，位于x0的活塞突然向右加速到u+du，然后保持此速度不变，则如同气体静止时一样，在活塞右边将产生一道右向压缩波，而在活塞左边产生一道左向膨胀波。同理，如果活塞在t=t0时刻突然向左加速（即减速）到u-du，则其右边产生右向膨胀波，而左边产生左向压缩波。p 由于扰动波相对于气体总是以声速a传播，故相对于静止观察者，扰动波的传播速度变成，波前声速(4-4-2) 式中，“”对应于右向波（顺流传播）；“”对应于左向波（逆流传播）。令u=0，就得到了(4-4-1)式，所以未扰动气体静止的情况仅是特例。p 波后参数变化与u=0时一样：压缩波后参数增大，膨胀波后参数减小；参数变化方向：右向压缩波或左向膨胀波使气流加速，右向膨胀波或左向压缩波使气流减速。3. 扰动波在物理平面上的表示p 所谓物理平面是指以空间坐标x和时间t构成的平面，该平面可以用来表示一维非定常流动的时空变化。p 在物理平面上表示扰动波时，由于扰动波的传播速度为(4-4-3) 所以，在x为横轴、t为纵轴的物理平面上，扰动波的斜率为(4-4-4) 如图示。p 在xt平面上，从a点发出的右向波ab用C+表示；从a点发出的左向波ac用C表示。它们的斜率分别为1/(u+a)和1/(u-a)。p 扰动波C+和C表示在随后的时间里，扰动波所在的位置。由于扰动波前后都是均匀区域，传播速度 所以，C+和C的斜率都是常数，因而它们都是xt平面上的直线。p 由于斜率的倒数是波传播速度，所以C+和C线越平或其斜率越小，表示波传播得越快；p C+和C线的两边分别是未扰动区和已扰动区。就C+线而言，其左边是已扰动区、右边是未扰动区，如在t1时刻，点1的位置x1大于波所处的位置，表示波尚未到达此处；点2的位置x2小于波所在位置，表示波已通过了它。p 所以，C+和C线在物理平面上代表了未扰动区和已扰动区的分界线，跨过这样的线气流参数将发生相应变化。因此，这些线可称为物理平面上的波。在数学上，这种线称为特征线，其具体概念将在后面介绍。p 当未扰动区的速度u大小不同时，有以下几种情况： 当未扰动流静止或有正速度（向右）时，右向波总是向右传播，而左向波则不同：u=0，左向波向左传播；ua，相对于静止观察者，左向波向右传播。 当未扰动流具有负速度（向左）时，右向波也有四种传播情况； 正因为相对于静止观察者，波的传播方向由于未扰流动具有不同速度而有不同的方向，所以为确切起见，左向波不称为左传波，右向波也不称为右传波。p 注意：在物理平面上，C+只表示右向波，没有指明是压缩的还是膨胀的；C也只表示左向波，也没有指明是压缩的还是膨胀的。二、微弱扰动波前后气流参数的变化p 考虑无黏流动，且为理想气体；p 在无黏流动中，微弱扰动引起的气流参数变化是等熵变化；p 为了用定常流动方法研究这种非定常流动，推导公式时使用相对坐标系统。1. 右向波情况p 假设有一道右向波，其后的流动参数为，如图示。注意：此处不具体考虑该右向波是压缩的还是膨胀的。若解出的dp0则为右向压缩波，反之若解出的dp0，是指向壁面的，所以新的扰动必须向左压缩气体以制止气体的流动，故这个新的扰动是一个左向压缩波；p 这说明，当入射的右向压缩波打在壁面时，将反射出一道左向压缩波。区即为反射压缩波后的气体，其参数为 p+dp+dp，T+dT+dT，+d+d，a+da+da，u=0p 可见，在反射波后，气体的压强和密度进一步增大，而速度降低到零，即重新静止下来；p 这种入射反射过程也可以表示在状态平面上。2. 入射波为右向膨胀波p 区即波前气体参数为 p，T，a，u=0p 区即波后气体参数为 p-dp，T-dT，-d，a-da，-dup 当膨胀波到达壁面后，由于静止固壁的存在，波后的气流必须立即静止下来，即波后的-du必须立即消除掉这是一个新的扰动，是由静止固壁提供的；p 新的扰动必须为气体提供一个向右的du使扰动后的气体静止下来故这个扰动将产生一个左向膨胀波；p 这说明，当入射的右向膨胀波打在壁面时，将反射出一道左向膨胀波。区即为反射膨胀波后的气体，其参数为 p-dp-dp，T-dT-dT，-d-d，a-da-da，u=0p 可见，在反射波后，气体进一步膨胀，而速度降低到零，即重新静止下来；p 这种入射反射过程也可以表示在状态平面上。二、扰动波在开口端的反射（以右向波为例）p 在开口端的反射需要考虑开口端的流动情况。1. 出口处气流静止或为亚声速流p 当出口处的未扰动气流静止或为亚声速时，出口压强必须永远等于反压pa，这是因为反压可以影响到管内流动；p 因此，无论如何扰动，出口处的压强总是反压pa。（1）. 入射波为右向压缩波p 区即波前未扰气体参数为 p1=pa，T1，1，a1，u1pa在此压差作用下，气体向右加速，以便使出口压强恢复到pa这是一个膨胀扰动，该扰动以左向膨胀波的形式向管内回传，波后参数为 p3=pa，T3=T2-dT=T1，3=2-d=1，a3=a2-da=a1，u3=u2+dup 所以，反射波是左向膨胀波，波后气体参数又恢复到入射波前的状态，但流速进一步增大了；p 这种入射反射过程也可以表示在状态平面上。p 这种入射反射过程的气体粒子运动轨迹可以观察物理平面（注意，图中所示为u1=0的情况）。（2）. 入射波为右向膨胀波p 类似的分析可以证明，此时反射波为左向压缩波；p 波后气体参数将恢复到入射波前的状态，但流速进一步减小。2. 出口为声速流的情况不讨论3. 出口处气流为超声速流p 当出口为超声速流时，外界环境的任何微弱变化都不能逆流传进管中；p 所以，不管入射波是何种波，在出口处都将被扫出口外，故不会产生反射波。三、同类扰动波异向相交p 假设在直管中有静止气体，一对方向相反的扰动波在管中传播。1. 压缩波相交p 假设两道波的强度相等，即波后压强的增量相同；p 相交后，它们各自的波后气流速度增量大小相等、方向相反，因此波后即区的流速仍为零；p 但区的压强和密度由于是受到两道压缩波挤压的，故其增量大于区和区的压强增量这相当于又有两道压缩波从相交点开始背向传播；p 所以，相交后它们是互相穿过的。2. 膨胀波相交p 同理，两道强度相等的膨胀波异向相交，它们也将在相交点透射而过；3. 强度不等的波相交p 如果是两道强度不相等的同类波异向相交，则透射后，区的流速不能恢复到相交前的区的状态。四、压缩波与膨胀波异向相交p 相同强度的右向压缩波与左向膨胀波异向相交时，由于两道波后的压强不相等，即右向压缩波