高中数学（自主初探+核心归纳+案例展示）第四章 4.3.2 空间两点间的距离公式课件 新人教A版必修2.ppt

4 3 2空间两点间的距离公式 空间两点间的距离公式1 特例 点p x y z 到原点的距离公式 op 2 一般情况 已知点p1 x1 y1 z1 与点p2 x2 y2 z2 则 p1p2 思考 空间两点间的距离公式与两点顺序有关吗 提示 两点间的距离是同名坐标的差的平方和的算术平方根 因此空间两点间的距离公式与两点的顺序无关 知识点拨 解读空间两点间的距离公式 1 空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广 它可以求空间直角坐标系下任意两点间的距离 其推导过程体现了化空间为平面的转化思想 2 若已知两点坐标求距离 则直接代入公式即可 若已知两点间距离求参数或点的坐标时 应利用公式建立相应方程求解 类型一求空间两点间的距离 典型例题 1 若已知点a 1 1 1 b 3 3 3 则线段ab的长为 2 在空间直角坐标系中 点p 5 2 3 到x轴的距离为 3 在长方体abcd a1b1c1d1中 若d 0 0 0 a 4 0 0 b 4 2 0 a1 4 0 3 则对角线ac1的长为 解题探究 1 已知两点的坐标如何求两点间的距离 2 怎样求空间一点到坐标轴的距离 3 对于空间图形中的两点 应如何求它们间的距离 探究提示 1 已知两点坐标求两点间距离只需代入两点间距离公式即可 2 只需找出此点在坐标轴上的射影 再用两点间的距离公式即可求解 3 对于空间图形中的两点间的距离 可建立适当空间直角坐标系 用两点间的距离公式求解 解析 1 选a ab 2 选c 点p 5 2 3 到x轴的距离为3 选b 如图所示 由题设条件可知 aa1 3 ab 2 所以c1 0 2 3 所以 ac1 互动探究 题2中的点到坐标平面yoz的距离是多少 解析 点p 5 2 3 到坐标平面yoz的距离即为其横坐标的绝对值 即为5 拓展提升 求空间两点间的距离 1 求空间两点间的距离问题就是把点的坐标代入距离公式进行计算 其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是关键 2 若所给题目中未建立坐标系 需结合已知条件建立适当的坐标系 再利用空间两点间的距离公式计算 变式训练 在空间直角坐标系中 正方体abcd a1b1c1d1的顶点a 3 1 2 其中心m的坐标为 0 1 2 则该正方体的棱长为 解题指南 利用对称性求出点c1的坐标 再利用两点间的距离公式求出对角线长 从而可求出棱长 解析 由a 3 1 2 中心m 0 1 2 所以c1 3 3 2 正方体体对角线长为所以正方体棱长为答案 类型二求空间点的坐标 典型例题 1 已知a 2 5 6 点p在y轴上 pa 7 则点p的坐标是 a 0 8 0 b 0 2 0 c 0 8 0 或 0 2 0 d 0 8 0 2 设点p在x轴上 它到p1 0 3 的距离为到点p2 0 1 1 的距离的2倍 求点p坐标 解题探究 1 y轴上的点的坐标有什么特点 2 x轴上的点的坐标有什么特点 探究提示 1 y轴上的点 其横坐标 竖坐标均为0 2 x轴上的点的坐标 其纵坐标 竖坐标均为0 解析 1 选c 点p在y轴上 可设为 0 y 0 因为 pa 7 a 2 5 6 所以解得y 2或8 2 因为p在x轴上 所以设p点坐标为 x 0 0 因为 pp1 2 pp2 所以 所以x 1 所以p点为 1 0 0 或 1 0 0 拓展提升 由空间两点间距离求点的坐标的方法 1 若已知点到定点的距离以及点在特殊位置 则可直接设出该点坐标 利用待定系数法求解点的坐标 2 若已知一点到两个定点的距离之间的关系 以及其他的一些条件 则可以列出关于点的坐标的方程进行求解 变式训练 已知点p1 p2的坐标分别为 3 1 1 2 2 3 分别在x y z轴上取点a b c 使它们与p1 p2两点距离相等 求a b c的坐标 解析 设a x 0 0 b 0 y 0 c 0 0 z 由 ap1 ap2 得 所以x 3 同理 由 bp1 bp2 得y 1 由 cp1 cp2 得z 所以a 3 0 0 b 0 1 0 c 0 0 类型三空间两点间距离公式的应用 典型例题 1 已知点a x 1 2 和点b 2 3 4 且 ab 则实数x的值是 a 3或4b 6或2c 3或 4d 6或 22 如图 已知正方体abcd a b c d 的棱长为a m为bd 的中点 点n在a c 上 且 a n 3 nc 试求mn的长 解题探究 1 已知两点间距离如何求参数 2 本题如何建立空间直角坐标系较好 点m的位置有什么特点 探究提示 1 可直接套用公式 求解关于参数的方程即可 2 以d点为原点 da dc dd 所在直线为x轴 y轴 z轴 点m是正方体的中心 解析 1 选d 因为点a x 1 2 和点b 2 3 4 ab 所以 解得x 6或 2 2 如图所示 以d点为原点 建立空间直角坐标系 因为正方体棱长为a 所以b a a 0 a a 0 a c 0 a a d 0 0 a 由于m为bd 的中点 取a c 中点o 所以m o 因为 a n 3 nc 所以n为a c 的四等分点 从而n为o c 的中点 故n 根据空间两点距离公式 可得 mn 拓展提升 应用坐标法求空间两点间距离的优缺点 1 优点是利用坐标将抽象的空间想象转化为相对简单且学生熟悉的代数计算 便于问题的解决 2 缺点是对坐标的要求较高 必须要正确写出坐标来 否则一个坐标写错 可能整个题目全错 变式训练 在空间直角坐标系中 已知a 3 0 1 b 1 0 3 在y轴上是否存在点m 使 mab为等边三角形 若存在 求出点m的坐标 若不存在 说明理由 解题指南 先假设点m存在 然后利用两点间的距离公式及等边三角形的三边相等列方程求解 解析 假设在y轴上存在点m 0 y 0 使 mab为等边三角形 由题意可知y轴上的所有点都能使 ma mb 成立 所以只要再满足 ma ab 就可以使 mab为等边三角形 因为 ma ab 于是解得y 故y轴上存在点m 使 mab为等边三角形 此时点m的坐标为 0 0 或 0 0 易错误区 利用距离公式求解几何体体积中的误区 典例 正方体不在同一平面上的两个顶点a 1 2 1 b 3 2 3 则正方体的体积是 a 16b 192c 64d 48 解析 选c ab 又因为a 1 2 1 b 3 2 3 不在同一平面上 所以a b两点间的距离即为正方体的体对角线长 设正方体的边长为a 则 即a 4 所以正方体的体积为64 误区警示 防范措施 1 分清位置关系根据题意分析出图形中涉及的位置关系 合理利用两点间的距离公式 如本题若分析不清a b间的距离即为正方体体对角线长则易出错 2 牢记公式在求解体积或面积时 应牢记相关的计算公式 如本例中 正方体体积公式为v a3 因而求棱长成为解题的关键 类题试解 如图 在空间直角坐标系中 bc 2 原点o是bc中点 点a 点d在平面yoz上 且 bdc 90 dcb 30 则三棱锥d abc的体积为 解析 因为 bdc 90 dcb 30 bc 2 所以 bd 1 cd bccos30 所以s bcd bd cd 因为a 即点a到bc的距离为所以三棱锥d abc的体积为v 答案 1 点p 1 2 5 到平面xoy的距离是 a 1b 2c 5d 不确定 解析 选c 由题意知点p到平面xoy的距离是5 2 在空间直角坐标系中 已知点p x y z 满足方程 x 2 2 y 1 2 z 3 2 3 则点p的轨迹是 a 直线b 圆c 球面d 线段 解析 选c 动点p到定点 2 1 3 的距离为定值所以点p的轨迹是球面 3 在空间直角坐标系中 一定点到三个坐标轴的距离都是1 则该点到原点的距离是 解析 选a 设该定点的坐标为 x y z 则有x2 y2 1 y2 z2 1 z2 x2 1 三式相加得2 x2 y2 z2 3 所以该点到原点的距离为 4 在 abc中 已知a 1 2 3 b 2 2 3 c 则ab边上的中线cd的长是 解析 由题可知ab的中点d的坐标是d 由距离公式可得 cd 答案 5 已知点a 1 a 5 b 2a 7 2 a r 则 ab 的最小值是 解