高三数学 第57练 高考大题突破练—立体几何.doc

第57练 高考大题突破练立体几何1一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图是腰长为6的等腰直角三角形，俯视图是正方形(1)请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；(2)用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为6的正方体abcda1b1c1d1?如何组拼？试证明你的结论；(3)在(2)的情形下，设正方体abcda1b1c1d1的棱cc1的中点为e, 求平面ab1e与平面abc所成二面角的余弦值2.如图所示，四棱锥pabcd中，abad，addc，pa底面abcd，paaddcab1，m为pc的中点，n点在ab上且annb.(1)证明：mn平面pad；(2)求直线mn与平面pcb所成的角3.在直三棱柱abca1b1c1中，ac4，cb2，aa12，acb60，e，f分别是a1c1，bc的中点(1)证明：平面aeb平面bb1c1c；(2)证明：c1f平面abe；(3)设p是be的中点，求三棱锥pb1c1f的体积4(2016浙江)如图，在三棱台abcdef中，平面bcfe平面abc，acb90，beeffc1，bc2，ac3.(1)求证：bf平面acfd；(2)求二面角badf的平面角的余弦值答案精析1解(1)该几何体的直观图如图1所示，它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥. 其中底面abcd是边长为6的正方形，高pd6，故所求体积是v62672.(2)依题意，正方体的体积是原四棱锥体积的3倍，故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体，即由四棱锥d1abcd，d1bb1c1c，d1bb1a1a组成其拼法如图2所示. (3)因为ab1e的边长ab16，b1e3，ae9，所以sab1e27，而sabc18，所以平面ab1e与平面abc所成二面角的余弦值为.2证明方法一(1)过点m作mecd交pd于e点，连接ae，annb，anabdcem，又emdcab，eman，四边形aemn为平行四边形，mnae，又ae平面pad，mn平面pad，mn平面pad.(2)过n点作nqap交bp于点q，nfcb于点f，连接qf，过n点作nhqf于点h，连接mh，易知qn平面abcd，qnbc，又nfbc，nfqnn，nf平面qnf，qn平面qnf，bc平面qnf，bcnh，nhqf，bcqff，bc平面pbc，qf平面pbc，nh平面pbc，nmh为直线mn与平面pcb所成角，通过计算可得mnae，qn，nf，nh，sinnmh，nmh60，直线mn与平面pcb所成角为60.方法二(1)以a为原点，以ad，ab，ap所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系axyz，如图所示，过点作mecd，me交pd于点e，连接ae，由已知可得a(0,0,0)，b(0,2,0)，d(1,0,0)，c(1,1,0)，p(0,0,1)，m(，)，e(，0，)，n(0，0)(，0，)，(，0，)，mnae，mn平面pad，ae平面pad，mn平面pad.(2)不妨设a(1，y，z)，且a平面pcb，则a，a，而(1，1,0)，(0，2,1)，a(1,1,2)cosa，.即向量a与的夹角为30，直线mn与平面pcb所成的角为60.3(1)证明在abc中，ac2bc4，acb60，ab2，ab2bc2ac2，abbc，由已知得abbb1，且bcbb1b，又bc平面bb1c1c，bb1平面bb1c1c，ab平面bb1c1c，又ab平面abe，平面abe平面bb1c1c.(2)证明取ac的中点m，连接c1m，fm，在abc中，fmab，而fm平面abe，ab平面abe，直线fm平面abe，在矩形acc1a1中，e，m分别是a1c1，ac的中点，c1mae，而c1m平面abe，ae平面abe，c1m平面abe，c1mfmm，c1m平面fmc1，fm平面fmc1，平面abe平面fmc1，又c1f平面fmc1，故c1f平面abe.(3)解取b1c1的中点h，连接eh，则ehab，且ehab，又ab平面bb1c1c，eh平面bb1c1c，p是be的中点，eh2.4(1)证明延长ad，be，cf相交于一点k，如图所示因为平面bcfe平面abc，平面bcfe平面abcbc，且acbc，所以ac平面bcfe，因此bfac.又因为efbc，beeffc1，bc2，所以bck为等边三角形，且f为ck的中点，则bfck，且ckacc，ck，ac都在平面acfd内，所以bf平面acfd.(2)解方法一过点f作fqak于q，连接bq.因为bf平面acfd，ak在平面acfd内，所以bfak，则ak平面bqf，bq在平面bqf内，所以bqak.所以bqf是二面角badf的平面角在rtack中，ac3，ck2，得fq.在rtbqf中，fq，bf，得cosbqf.所以，二面角badf的平面角的余弦值为.方法二因为bck为等边三角形，取bc的中点o，连接ko，则kobc，又平面bcfe平面abc，所以ko平面abc.以点o为原点，分别以射线ob，ok的方向为x轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系oxyz.由题意得b(1,0,0)，c(1,0,0)，k(0,0，)，a(1，3，0)，e，f.因此，(0,3,