高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 第三节 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题学案 文.doc

1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组2了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组3会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决知识点一二元一次不等式表示的平面区域 1一般地，二元一次不等式axbyc0在平面直角坐标系中表示直线axbyc0某一侧所有点组成的_.我们把直线画成虚线以表示区域_边界直线当我们在坐标系中画不等式axbyc0所表示的平面区域时，此区域应_边界直线，则把边界直线画成_2由于对直线axbyc0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入axbyc，所得的符号都_，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由ax0by0c的_即可判断axbyc0表示的是直线axbyc0哪一侧的平面区域答案1平面区域不包括包括实线2相同符号1判断正误(1)原点能判断二元一次不等式axbyc0所表示的平面区域()(2)不等式axbyc0表示的平面区域一定在直线axbyc0的上方()(3)点(x1，y1)，(x2，y2)在直线axbyc0同侧的充要条件是(ax1by1c)(ax2by2c)0，异侧的充要条件是(ax1by1c)(ax2by2c)0表示的平面区域位于直线2xy30的_方解析：将原点(0,0)代入2xy3得200330表示的平面区域位于直线2xy30的右下方答案：右下3(必修p86练习第2题改编)在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是_解析：不等式组表示的平面区域是三角形(如图所示)，则该三角形的面积是424.答案：4知识点三简单的线性规划 1线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的_线性约束条件由x，y的_不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数关于x，y的函数_，如z2x3y等线性目标函数关于x，y的_解析式可行解满足线性约束条件的解_可行域所有可行解组成的_最优解使目标函数取得_或_的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的_或_问题2.会用求二元一次函数zaxby(ab0)的最值的方法将函数zaxby转化为直线的斜截式：yx，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值(1)当b0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；(2)当b0，于是目标函数等价于zx2y4，即转化为一般的线性规划问题显然当直线经过点b时，目标函数取得最大值，zmax21.【答案】(1)a(2)21考向3含参数的线性规划问题【例4】已知x，y满足约束条件若zaxy的最大值为4，则a()a3 b2c2 d3【解析】根据已知条件，画出可行域，如图所示由zaxy，得yaxz，直线的斜率ka.当0k1，即1a1，即a1时，由图形可知此时最优解为(0,0)点，此时z0，不合题意；当1k0，即0a1时，无选项满足此范围；当k1时，由图形可知此时最优解为(2,0)点，此时z2a04，得a2.【答案】b【总结反思】常见的3类目标函数(1)截距型：形如zaxby.求这类目标函数的最值常将函数zaxby转化为直线的斜截式：yx，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值(2)距离型：形如z(xa)2(yb)2.(3)斜率型：形如z.(1)(2016新课标全国卷)若x，y满足约束条件则zxy的最大值为_(2)若x，y满足约束条件则的最大值为_解析：(1)约束条件对应的平面区域是以点(1，)、(0,1)和(2，1)为顶点的三角形，当目标函数yxz经过点(1，)时，z取得最大值.(2)画出可行域如图阴影所示，表示过点(x，y)与原点(0,0)的直线的斜率，点(x，y)在点a处时最大，由得a(1,3)，的最大值为3.答案：(1)(2)3热点三 线性规划的实际应用 【例5】(2016新课标全国卷)某高科技企业生产产品a和产品b需要甲、乙两种新型材料生产一件产品a需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品b需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时，生产一件产品a的利润为2 100元，生产一件产品b的利润为900元该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品a、产品b的利润之和的最大值为_元【解析】由题意，设产品a生产x件，产品b生产y件，利润z2 100x900y，线性约束条件为作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，又由xn，yn，可知取得最大值时的最优解为(60,100)，所以zmax2 10060900100216 000(元)【答案】216 000【总结反思】解决线性规划应用题的一般步骤(1)认真审题分析，设出未知数，写出线性约束条件和目标函数(2)作出可行域(3)作出目标函数值为零时对应的直线l.(4)在可行域内平行移动直线l，从图中能判定问题有唯一最优解，或是有无穷最优解或无最优解(5)求出最优解，从而得出目标函数的最值.某公司生产甲、乙两种桶装产品已知生产甲产品1桶需耗a原料1千克、b原料2千克；生产乙产品1桶需耗a原料2千克、b原料1千克每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗a，b原料都不超过12千克通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是()a1 800元 b2 400元c2 800元 d3 100元解析：设某公司生产甲产品x桶，生产乙产品y桶，获利为z元，则x，y满足的线性约束条件为目标函数z300x400y.作出可行域，如图中四边形oabc的边界及其内部整点作直线l0：3x4y0，平移直线l0经可行域内点b时，z取最大值，由得b(4,4)，满足题意，所以zmax430044002 800.答案：c1平面区域的画法：线定界、点定域(注意实虚线)2求最值：求二元一次函数zaxby(ab0)的最值，将函数zaxby转化为直线的斜截式：yx，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值最优解在顶点或边界取得3解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题含参数的线性规划处理方法1目标函数中含有参数目标函数中的参数往往与直线的斜率有关，这类问题还有另一个特征，就是其最优解是可知的(一个或者无穷多个)，因此解题时可充分利用斜率的特征加以转化【例1】已知点o是坐标原点，点a(1，2)，若点m(x，y)是平面区域上的一个动点，()0恒成立，则实数m的取值范围是_【解析】解题时先转化目标中的向量关系，使其对应一个二元目标函数，然后再利用可行域的条件求出目标函数的最大值和最小值，从而得到不等式恒成立时实数m的取值范围因为(1，2)，(x，y)，所以()x2y.所以不等式()0恒成立等价于x2y0，即x2y恒成立设zx2y，作出不等式组表示的可行域如图所示，当目标函数zx2y表示的直线经过点d(1,1)时取得最小值，最小值为1213；当目标函数zx2y表示的直线经过点b(1,2)时取得最大值，最大值为1225.所以x2y3,5，于是要使x2y恒成立，只需3，解得m或m0，即实数m的取值范围是(，0)，)【答案】(，0)，)解题策略：目标函数以向量的形式出现是一种新的创意，本题易错点是面对目标中的向量关系不知道如何转化求解线性规划问题的基本形式是探究二元目标函数的最值，因此转化向量关系的主要思路和基本目标就是找到其中对应的二元目标函数，然后结合可行域求解最值2约束条件中含有参数约束条件中的参数影响平面区域的形状，这时含有参数的不等式表示的区域的分界线是一条变动的直线，此时就要根据参数的取值确定这条直线的变化趋势，确定区域的可能形状，因此，增加了解题时画图分析的难度求解这类问题时要有全局观念，结合目标函数逆向分析题意，整体把握解题的方向【例2】已知x，y满足约束条件其中k为常数，且zxy的最大值为12，则k的取值范围是_【解析】首先，将可确定的约束条件在图中作出，已知条件表示的区域为图(1)中阴影部分(不包括坐标轴)内的整点，区域内能使zxy取得最大值12的整点为(4,8)，因此只要使得约束条件x2yk0和表示的区域内含有整数(4,8)即可注意到图(1)所示区域内的3个整点(4,9)，(4,10)，(4,11)以及x2yk0表示的是直线yxk左下方的区域，从而如图(2)所示，区域的最大上界只能到直线cn：yx11(此时k22)的左下方，因为到了这条直线，则包含点(4,9