高考数学 专题2.4 导数的应用（二）同步单元双基双测（B卷）理.doc

专题2.4 导数的应用（二）（测试时间：120分钟 满分：150分）一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1. 曲线上一点和坐标原点的连线恰好是该曲线的切线，则点的横坐标为( )aeb. ce2 d2【答案】a考点：导数的几何意义2. 已知函数y=2x3ax236x24在x=2处有极值，则该函数的一个递增区间是a.(2，3)b.(3，)c.(2,)d.(,3)【答案】b【解析】本题考查常见函数的导数，可导函数f(x)=0与极值点的关系，以及用导数求函数的单调区间.y=6x22ax36.函数在x=2处有极值，y|x=2=244a36=0，即4a=60.a=15.y=6x230x36=6(x25x6)=6(x2)(x3).由y=6(x2)(x3)0，得x2或x3.考点：导数与函数的单调性3. 已知函数，若在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）a bc d【答案】d【解析】试题分析：因为，令，所以函数的单调递减区间为，要使在区间上单调递减，则区间是区间的子区间，所以，从中解得，选d.考点：函数的单调性与导数.4. 【2018海南八校联考】已知函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是( )a. b. c. d. 【答案】b点睛：解答本题的关键是如何借助题设条件建立不等式组，这是解答本题的难点，也是解答好本题的突破口，如何通过解不等式使得问题巧妙获解。5. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】,在上有两个不同的零点，令，得，设，则， 在上单调递增，在单调递减， 当时， ，当时， ， ，故选a.【名师点睛】本题主要考查了函数的极值以及零点，已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解6.【2018吉林百校联盟九月联考】已知当时，关于的方程有唯一实数解，则距离最近的整数为（ ）a. 2 b. 3 c. 4 d. 5【答案】b函数h(x)的最小值为，则存在满足h(x)=0，据此可得：距离最近的整数为3.本题选择b选项.点睛：(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号关键是分离参数k，把所求问题转化为求函数的最小值问题(2)若可导函数f(x)在指定的区间d上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f(x)0(或f(x)0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“”是否可以取到7. 设f(x)是定义在r上的奇函数，且f(2)=0,当x0时，有恒成立，则不等式的解集是a. (-2,0) (2,+) b. (-2,0) (0,2) c. (-,-2)(2,+) d. (-,-2)(0,2)【答案】d【解析】即，解得故选d考点：利用导数求不等式的解集8. 【2018山西山大附中调研】已知是函数的导函数，且对任意的实数都有（是自然对数的底数），若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】当时，即解，构造函数，可令： ，所以 ，由，得： ，由，得： 得出解为，其中恰有两个整数 ，所以时成立，排除a、d.当，则， ，得：函数在上递减， 上递增，此时的解集至少包括，所以不合题意，故不能取，排除b，本题选c.9. 已知函数是上的可导函数，当时，有，则函数的零点个数是（ ）a0 b1 c2 d3【答案】b【解析】考点：1.函数与导数；2.零点.【思路点晴】零点问题一种解法是变为两个函数图象的交点，如本题中的的零点，可以转化为，也就是左右两个函数图象的交点个数，函数在区间上为增函数，通过已知条件分析,即当时，为增函数，当时，为减函数，由此判断这两个函数在区间上有一个交点.10. 【2018辽宁沈阳联考】函数的导函数为，满足，且，则的极值情况为（ ）a. 有极大值无极小值 b. 有极小值无极大值c. 既有极大值又有极小值 d. 既无极大值也无极小值【答案】d【解析】 将代入可得： 则 =令则，当时，当时，故当时，取最大值0，故恒成立，故恒成立，故既无极大值也无极小值，故选点睛：根据已知条件要先构造出的解析式的形式，再根据求出，当一阶导数不能判定时可以求二阶导数，利用二阶导数反应一阶导数的单调性，从而反应出原函数的性质。11. 【2018天津河西区三模】设函数f (x)是奇函数f(x)(xr)的导函数，f(1)0，当x0时，xf (x)f(x)0成立的x的取值范围是( )a. (，1)(0，1) b. (1，0)(1，)c. (，1)(1，0) d. (0，1)(1，)【答案】a考点：函数性质综合应用12.【2018江西省上饶市一模】 已知是定义域为的单调函数，若对任意的，都有，且方程在区间上有两解，则实数的取值范围是（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】由题意知必存在唯一的正实数，满足， ， ，由得： ，解得故，由方程在区间上有两解，可得两图象只有一个交点，将的图象向上平移，至经过点，有两个交点，由，即，解得，当时，两图象有两个交点，即方程两解故选a二填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13. 若函数在区间单调递增，则的取值范围是 【答案】2，）【解析】试题分析：由题：求导得；，在区间内是增函数，则；考点：导数与函数的单调性及求参数的取值范围.14. 设函数.其中，存在使得成立，则实数的值为_【答案】【解析】试题分析：函数可以看作是动点与动点之间距离的平方，动点在函数的图象上， 在直线的图象上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由得，解得，所以曲线上点到直线的距离最小，最小距离，则，根据题意，要使，则，此时恰好为垂足，由，解得.考点：导数在研究函数最值中的应用.【方法点睛】本题主要考查了导数在研究函数最值中的应用，考查了转化的数学思想，属于中档题.把函数看作动点与动点之间距离的平方，利用导数求出曲线上与直线平行的切线的切点，得到曲线上点到直线的距离的最小值，结合题意可得只有切点到直线距离的平方等于，然后由两直线斜率的关系式求得实数的值.15. 【2018安徽合肥高三调研】已知函数，若有且仅有一个整数，使，则实数的取值范围是_【答案】点睛：解答本题的关键是准确理解题设中条件“有且仅有一个整数，使”。求解时先将问题进行等价转化为“有且仅有一个整数使得或”。进而将问题转化为断定函数图像的形状问题，然后先对函数进行求导，依据导数与函数的单调性之间的关系推断出该函数在在处取最大值，从而借助题设条件得到不等式组，通过解不等式组使得问题获解。16.【2018山西45校联考】 已知函数满足，当时，设，若方程在上有且仅有个实数解，则实数的取值范围是_【答案】【解析】当时， ， 当时， ，从而，故有，由，可得，在同一坐标系内画出与的图象如图所示：设为的切线， 为切点， ，由图可知，当位于切线和割线之间时， 图象与的图象有三个交点，设，由，可得切线，又过，解得，故，又， 当方程在上有且仅有个实数解时，实数的取值范围为，故答案为.【方法点睛】判断方程 根的个数 的常用方法： 直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；转化法：函数 零点个数就是方程 根的个数，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；数形结合法： 一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .本题就利用了方法.三、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17. 设函数（）若，求的单调区间；（）若当0时0，求的取值范围【答案】（i）函数的增区间为（），（），减区间为（1,0）.（ii）a1。【解析】x0,f(x)0,f(x)单调递增，故函数的增区间为（），（），减区间为（1,0）.（ii） 若当0时0，所以，则当x=0时，有：f(x)=0。且f(0)=0已知当x0时，f(x)0所以，必须满足在x0时，f(x)0，则：x0时，0，所以，0，得a1。考点：本题主要考查应用导数研究函数的单调性及极值，根据不等式成立求参数值。18. 已知函数.（）若曲线在点处的切线经过点（0,1），求实数的值；（）求证：当时，函数至多有一个极值点；【答案】（）；（）证明见解析【解析】试题分析：（）对进行求导，利用导数的几何意义以及两点间斜率计算公式可得，可得的值；（）当时，利用与的关系，判断的单调性，易得在上单调递增，无极值；当时，把函数至多有一个极值点转化为至多有一个零点，令，对进行求导，讨论的单调性，得其最多有一个零点，故可得证.试题解析：（）由，得.所以，.所以由得. （）证明：当时，当时，函数在上单调递增，无极值；当时，令，则.由得，则当，即时，在上单调递减，所以在上至多有一个零点，即在上至多有一个零点.所以函数在上至多有一个极值点.当，即时，及随的变化情况如下表：因为，所以在上至多有一个零点，即在上至多有一个零点.所以函数在上至多有一个极值点.综上，当时，函数在定义域上至多有一个极值点. 考点：（1）利用导数研究函数在某点处的切线；（2）导数与极值单调性的关系.19.【2018河北衡水武邑高三调研】 设函数， .（1） 关于的方程在区间上有解,求的取值范围；（2） 当时， 恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1) 的取值范围为；(2) 的取值范围为.（1）方程即为令则当时， 随变化情况如下表：13+0-极大值， ， ，当时， ，的取值范围为（2）依题意，当时， 恒成立令,则 令,则当时， ，函数在上递增，, ，存在唯一的零点，且当时， ，当时， ，则当时， ，当时， .在上递减，在上递增，从而.由得，两边取对数得，即实数的取值范围为.20. 已知函数，其中为大于零的常数（）当a1时，求函数的单调区间，（）求函数在区间1，2上的最小值；（）求证：对于任意的n1时，都有成立 【答案】（1）增区间为（1，+），减区间为（0，1）；（2）当当时，当；（3）证明见解析【解析】试题解析： （）当a1时， 当x1时，；当0x1时，f（x）的增区间为（1，+），减区间为（0，1） （）当时，在（1，2）上恒成立，这时在1，2上为增函数 当 在（1，2）上恒成立， 这时在1，2上为减函数 当时， 令 又 综上，在1，2上的最小值为当当时，当 （）由（）知函数上为增函数， 当 即恒成立 恒成立.考点：1.函数的单调性；2.导数的应用；3.放缩法.21.【2018河南名校联考】 已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若存在，且，使得，求证： .【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）证明见解析.试题解析：（1）当时， ，又，由，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）由，当时， ，此时在r上单调递增；由可得，与相矛盾，所以，且的单调递增区间为，单调递减区间为.若，则由可得，与相矛盾，同样不能有，不妨设，则由，因为在上单调递减，在上单调递增，且，所以当时， .由， ，可得，故，又在上单调递减，且，所以，所以，同理，即，解得，所以.点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.22.【2018湖南株洲两校联考】 设函数（1）若函数在上为减函数，求实数的最小值；（2）若存在，使成立，求实数的取值范围【答案】（）最小值为；（ii）【解析】试题分析： 在上为减函数，等价于在上恒成立，进而转化为，根据二次函数的性质可得命题“若存在, ，使成立”等价于“当时，有 ”， 由易求，从而问题等价于“当时，有”，分 , 两种情况讨论:当是易求，当时