高中数学 第一章 三角函数 1.1 任意角和弧度制 1.1.2 弧度制学案 新人教A版必修4.doc

1.1.2弧度制学习目标：1.了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系.2.理解“弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数(重点、难点)3.了解“角度制”与“弧度制”的区别与联系(易错点)自 主 预 习探 新 知1度量角的两种单位制(1)角度制：定义：用度作为单位来度量角的单位制1度的角：周角的.(2)弧度制：定义：以弧度作为单位来度量角的单位制1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角2弧度数的计算思考：比值与所取的圆的半径大小是否有关？提示一定大小的圆心角所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关3角度制与弧度制的换算4一些特殊角与弧度数的对应关系度030456090120135150180270360弧度025扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为r，弧长为l，(02)为其圆心角，则(1)弧长公式：lr.(2)扇形面积公式：slrr2.基础自测1思考辨析(1)1弧度的角是周角的.()(2)弧度制是十进制，而角度制是六十进制()(3)1弧度的角大于1度的角()解析(1)错误，1弧度的角是周角的.(2)(3)都正确答案(1)(2)(3)2(1)化为角度是_(2)105的弧度数是_(1)252(2)(1)252；(2)105105 rad rad.3半径为2，圆心角为的扇形的面积是_由已知得s扇22.合 作 探 究攻 重 难角度与弧度的互化与应用(1)将11230化为弧度为_将rad化为角度为_(2)已知15，1，105，试比较，的大小. 【导学号：84352012】(1)rad75(1)因为1rad，所以11230112.5 radrad.因为1 rad，所以rad75.(2)法一(化为弧度)：1515，105105.显然1.故.法二(化为角度)：18，157.30，105.显然，151857.30105.故.规律方法角度制与弧度制互化的关键与方法(1)关键：抓住互化公式 rad180是关键；(2)方法：度数弧度数；弧度数度数；(3)角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度.跟踪训练1(1)将15730化成弧度为_(2)将化为度是_(1) rad(2)396(1)15730157.5 rad rad.(2)396.2在0,4中，与72角终边相同的角有_(用弧度表示)，因为终边与72角相同的角为72k360(kz)当k0时，72；当k1时，432，所以在0,4中与72终边相同的角有，.用弧度数表示角(1)终边经过点(a，a)(a0)的角的集合是()a.b.c.d.(2)用弧度表示终边落在如图117所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合. 图117思路探究(1)(2)(1)d(1)因为角的终边经过点(a，a)(a0)，所以角的终边落在直线yx上，所以角的集合是.(2)因为30 rad,210 rad，这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线ab上的角为k，kz，而终边在y轴上的角为k，kz，从而终边落在阴影部分内的角的集合为.规律方法1.弧度制下与角终边相同的角的表示：在弧度制下，与角的终边相同的角可以表示为|2k，kz，即与角终边相同的角可以表示成加上2的整数倍2根据已知图形写出区域角的集合的步骤：(1)仔细观察图形(2)写出区域边界作为终边时角的表示(3)用不等式表示区域范围内的角提醒：角度制与弧度制不能混用. 跟踪训练3下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是()a2k45(kz)bk360(kz)ck360315(kz)dk(kz)ca，b中弧度与角度混用，不正确2，所以与终边相同31536045，所以315也与45终边相同故选c.4用弧度写出终边落在如图118阴影部分(不包括边界)内的角的集合图118解30，150.终边落在题干图中阴影区域内角的集合(不包括边界)是.弧长公式与扇形面积公式的应用探究问题1用公式|求圆心角时，应注意什么问题？提示：应注意结果是圆心角的绝对值，具体应用时既要注意其大小，又要注意其正负2在使用弧度制下的弧长公式及面积公式时，若已知的角是以“度”为单位，需注意什么问题？提示：若已知的角是以“度”为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，否则结果易出错(1)如图119，以正方形abcd中的点a为圆心，边长ab为半径作扇形eab，若图中两块阴影部分的面积相等，则ead的弧度数大小为_图119(2)已知扇形oab的周长是60 cm，面积是20 cm2，求扇形oab的圆心角的弧度数思路探究(1)先根据两块阴影部分的面积相等列方程再解方程求ead的弧度数(2)先根据题意，列关于弧长和半径的方程组，再解方程组求弧长和半径，最后用弧度数公式求圆心角的弧度数(1)2(1)设ab1，ead，s扇形ades阴影bcd，由题意可得1212，解得2.(2)设扇形的弧长为l，半径为r，则或扇形的圆心角的弧度数为433或433.母题探究：1.(变条件)将本例(2)中的条件“60”改为“10”，“20”改为“4”，其他条件不变，求扇形圆心角的弧度数解设扇形圆心角的弧度数为(02)，弧长为l，半径为r，依题意有由得l102r，代入得r25r40，解得r11，r24.当r1时，l8(cm)，此时，8 rad2 rad舍去当r4时，l2(cm)，此时， rad.2(变结论)将本例(2)中的条件“面积是20 cm2”删掉，求扇形oab的最大面积及此时弧长ab.解设弧长为l，半径为r，由已知l2r60，所以l602r，|，从而s|r2r2r230r(r15)2225，当r15时，s取最大值为225，这时圆心角2，可得弧长abr21530.规律方法弧度制下解决扇形相关问题的步骤：(1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l|r，sr2和slr.(这里必须是弧度制下的角)(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式(3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解提醒：看清角的度量制，恰当选用公式当 堂 达 标固 双 基1下列转化结果错误的是() a60化成弧度是b化成度是600c150化成弧度是d.化成度是15c对于a,6060；对于b，180600；对于c，150150；对于d，18015.故选c.2是()a第一象限角b第二象限角c第三象限角d第四象限角b4.是第二象限角，是第二象限角3圆的半径为r，该圆上长