高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3 双曲线 2.3.1 双曲线及其标准方程学案 新人教A版选修21.doc

2.3.1双曲线及其标准方程学习目标：1.理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程(重点)2.掌握双曲线的标准方程及其求法(重点)3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题(难点)自 主 预 习探 新 知1双曲线的定义把平面内与两个定点f1，f2距离的差的绝对值等于非零常数(小于|f1f2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距思考：(1)双曲线定义中，将“小于|f1f2|”改为“等于|f1f2|”或“大于|f1f2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)双曲线的定义中，若|mf1|mf2|2a(常数)，且2a0)，把点a的坐标代入，得b20)，把a点的坐标代入，得b29.故所求双曲线的标准方程为1.(2)法一：焦点相同，设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，c216420，即a2b220 .双曲线经过点(3，2)，1 .由得a212，b28，双曲线的标准方程为1.法二：设所求双曲线的方程为1(416)双曲线过点(3，2)，1，解得4或14(舍去)双曲线的标准方程为1.(3)设双曲线的方程为ax2by21，ab0.点p，q在双曲线上，解得双曲线的标准方程为1.规律方法1.求双曲线标准方程的步骤(1)确定双曲线的类型，并设出标准方程；(2)求出a2，b2的值2当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时，需分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，特别地，当已知双曲线经过两个点时，可设双曲线方程为ax2by21(ab0，b0)，由题意得，解得所以所求双曲线方程为y21.(2)已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为f1(，0)，点p位于该双曲线上，线段pf1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是()ay21bx21c1 d1b由双曲线的焦点可知c，线段pf1的中点坐标为(0,2)，所以设右焦点为f2，则有pf2x轴，且pf24，点p在双曲线右支上所以pf16，所以pf1pf26422a，所以a1，b2c2a24，所以双曲线的方程为x21，选b.与双曲线有关的轨迹问题探究问题1到两定点f1，f2的距离之差是常数(小于|f1f2|)的点的轨迹是双曲线的两支还是一支？提示：一支2求以两定点f1，f2为焦点的双曲线方程时，应如何建系？提示：以直线f1f2和线段f1f2的垂直平分线分别为x轴和y轴建系如图231，在abc中，已知|ab|4，且三内角a，b，c满足2sin asin c2sin b，建立适当的坐标系，求顶点c的轨迹方程图231思路探究解以ab边所在的直线为x轴，ab的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则a(2，0)，b(2，0)由正弦定理，得sin a，sin b，sin c(r为abc的外接圆半径)2sin asin c2sin b，2|bc|ab|2|ac|，即|ac|bc|2a)，a，c2，b2c2a26.即所求轨迹方程为1(x)规律方法求与双曲线有关的点的轨迹问题的方法(1)列出等量关系，化简得到方程(2)寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程提醒：双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支跟踪训练3如图232所示，已知定圆f1：x2y210x240，定圆f2：x2y210x90，动圆m与定圆f1，f2都外切，求动圆圆心m的轨迹方程. 【导学号：46342090】图232解圆f1：(x5)2y21，圆心f1(5,0)，半径r11.圆f2：(x5)2y242，圆心f2(