高中数学 第一章 不等关系与基本不等式专题训练 北师大版选修45.doc

第一章 不等关系与基本不等式本章整合提升 1(2016全国卷)已知函数f(x)|2xa|a.(1)当a2时，求不等式f(x)6的解集；(2)设函数g(x)|2x1|，当xr时，f(x)g(x)3，求a的取值范围解：(1)当a2时，f(x)|2x2|2.解不等式|2x2|26，得1x3.所以不等式f(x)6的解集为x|1x3(2)当xr时，f(x)g(x)|2xa|a|12x|2xa12x|a|1a|a，所以当xr时，f(x)g(x)3等价于|1a|a3.当a1时，等价于1aa3，无解当a1时，等价于a1a3，解得a2.所以a的取值范围是2，)2(2015湖南卷)设a0，b0，且ab.证明：(1)ab2；(2)a2a2与b2b2不可能同时成立证明：由ab，a0，b0，得ab1.(1)由基本不等式及ab1，有ab22，当且仅当ab1时等号成立(2)假设a2a2与b2b2同时成立，则由a2a2及a0，得0a1.同理0b1.从而ab1，这与ab1矛盾故a2a2与b2b2不可能同时成立3已知函数f(x)|2xa|x1|.(1)当a1时，解不等式f(x)3；(2)若函数f(x)的最小值为1，求a的值解：(1)当a1时，f(x)|2x1|x1|且f(1)f(1)3，所以不等式f(x)3的解集为x|1x1(2)|2xa|x1|x1|0，当且仅当(x1)0且x0时取等号，所以1.解得a4或a0.4(2016全国卷)已知函数f(x)|x1|2x3|.(1)在图中画出函数yf(x)的图像；(2)求不等式|f(x)|1的解集解：(1)f(x)由分段函数的图像画法，可得f(x)的图像，如图(2)由|f(x)|1，可得当x1时，|x4|1，解得x5或x3.所以x1.当1x时，|3x2|1，解得x1或x.所以1x或1x.当x时，|4x|1，解得x5或x3.所以x5或x3.综上，x或1x3或x5.故不等式|f(x)|1的解集为(1, 3)(5，)5已知函数f(x)的定义域为r.(1)求实数m的取值范围；(2)若实数m的最大值为n，当正数a，b满足n时，求7a4b的最小值解：(1)函数定义域为r，关于x的不等式|x1|x3|m0恒成立设g(x)|x1|x3|，则m不大于函数g(x)的最小值|x1|x3|(x1)(x3)|4，即函数g(x)的最小值为4，m4.故实数m的取值范围为(，4(2)由(1)，知n4.7a4b(6a2b)(a2b)，当且仅当a2b3ab，即b2a时取等号7a4b的最小值为.6设a0，b0，c0，且abbcca1.求证：(1)abc；(2) ()证明：(1)由于a0，b0，c0，要证abc，只需证(abc)23，即证a2b2c22(abbcca)3.而abbcca1，故只需证a2b2c22(abbcca)3(abbcca)，即证a2b2c2abbcca.而这可以由abbccaa2b2c2(当且仅当abc时等号成立)证得所以原不等式成立(2) .在(1)中已证abc.要证原不等式成立，只需证，即证abcabbcca，a，b，c，abcabbcca. ()7设a0，b0，ab1.求证：(1)8；(2)22.证明：(1)a0，b0，ab1，1ab2，即.4.(ab)2248.8.(2) ，2.2222.22.8某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的三级污水处理池(平面图如图所示)如果池四周围墙建造单价为400 元/m，中间两道隔墙建造单价为248 元/m，池底建造单价为80 元/m2，水池所有墙的厚度忽略不计(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16 m，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价解：(1)设污水处理池的长为x m，则宽为m.设总造价为y元，则有y2x400800248280200800x16 000216 00044 800，当且仅当800x，即x18 时取等号当污水池的长为18 m、宽为 m时，总造价最低，为44 800元(2)0x16,016，12.5x16.由(1)，知y(x)80016 000(12.5x16)对任意x1，x212.5,16，设x1x2，则(x1)(x2)800