七级数学上册 第4章 4.3 角 4.3.3 余角和补角备课素材 （新版）新人教版.doc

4.3角4.3.3余角和补角 情景导入置疑导入归纳导入复习导入类比导入悬念激趣图4358情景导入举世闻名的比萨斜塔位于意大利的比萨小镇，是一座由白色云石建成的古塔该塔发生倾斜但斜而不倒，比萨因此远近闻名比萨斜塔始建于1173年，从地面到塔顶高55米，自建成以后曾发生多次倾斜，常人只凭眼睛也能察觉意大利科学家伽利略曾在斜塔的顶层做过自由落体运动的实验，开创了实验物理的新时代，斜塔也因而更加闻名遐迩意大利政府曾想尽办法制止古塔的继续倾斜，但到目前为止未能成功你知道斜塔的倾角是多少度吗？你能用什么方法测量呢？某位游客设计的测量斜塔倾角的方案是：将斜塔看成一条线段oa在正午太阳直射地面时标记塔顶的影子b，画出直线ob，想办法测出了aob85度，然后让学生思考：(1)斜塔oa倾斜了多少度？(2)斜塔oa与oc所成的角是多少度？(3)斜塔oa与ob所成的另外一个角即aod是多少度？说明与建议 说明：从学生的兴趣着手，激发学生的探究欲望，给学生一种轻松的心理氛围，易于学生学习新知识，让学生注重观察生活，知道数学来源于生活，并服务于生活建议：让学生自由组合，相互讨论，活跃课堂气氛，从他们的兴趣入手，让学生无形中参与到课堂的活动中，在学生的讨论探究中口头归纳出余角和补角的性质复习导入(课件演示)计算：(1)4446_90_；(2)302034593926_90_；(3)102555_90_；(4)9684_180_；(5)584512115_180_学生计算并回答，总结它们的特点说明与建议 说明：通过计算复习上节课的知识，设置悬念，调动学生的积极性，更进一步促使学生渴望尽快寻求到答案，同时也为判断余角和补角做铺垫建议：教师应关注：计算的准确性，学生是否认真观察并思考命题角度1 直接运余角与补角的概念求角的度数在计算时要紧扣余角、补角的定义进行计算注意互余的两个角都是锐角，互补的两个角可能是一个是锐角，另一个是钝角；也可能两个角都是直角例求3542角的余角和补角的度数解：余角的度数为9035425418；其补角的度数为180354214418.命题角度2 根据余角、补角的性质说理的问题余角、补角的性质是：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等这个性质也为说明两个角相等提供了思路认真观察分析图形，挖掘出图形中隐含的数量关系是关键例1已知1与2互补，3与4互补，如果13，那么2与4有什么关系？说说理由解：由1与2互补，3和4互补，得12180，34180，又13，根据等角的补角相等，可知24.图4359例2如图4359，点e，o，a在同一直线上，aobcod90，那么图中与aod互补的角为_doe，boc_解析 因为doeaod180，所以doe与aod互为补角根据aobcod90，可得出doeboc，所以bocaod180，所以boc与aod互为补角这样，aod的补角有两个分别是：doe，boc.命题角度3 用角度表示方向方位角是以南北方向为起始方向，一般是以北偏东，南偏西等加上角度来表示的特殊的方位角如下：例如图4360，oa表示什么方向的一条射线？并画出表示下列方向的射线(1)北偏西60；(2)南偏东30；(3)西南方向图4360图4361答案：oa表示北偏东30的射线(1)射线ob(2)射线oc(3)射线od(如图4361所示) p138练习1图中给出的各角中，哪些互为余角？哪些互为补角？答案 10与80互为余角；30与60互为余角；10与170互为补角；30与150互为补角；60与120互为补角；80与100互为补角2一个角是7039，求它的余角和补角答案 余角：9070391921，补角：180703910921.3的补角是它的3倍，是多少度？答案 设这个角为x，则它的补角为180x.根据题意，得3x180x，解这个方程，得x45.所以45.4一个角是钝角，它的一半是什么角？答案 锐角p139习题4.3复习巩固1如果把钟表的时针在任一时刻所在的位置作为起始位置，那么时针旋转出一个平角及一个周角，至少各需要多长时间？答案 6小时，12小时2凭你的感觉画出30，45，90，120，135的角，再用量角器量一量，你画的准确度如何？答案 略3计算：(1)48396731；(2)21175.答案 (1)11610；(2)10625.4如果12，23，则1_3；如果12，23，则1_3.答案 5如图，bd和ce分别是abc和acb的平分线，且dbcecb31，求abc和acb的度数，它们相等吗？答案 abc2dbc23162，acb2ecb23162.所以abcacb.6按图填空：(1)aobboc_；(2)aoccod_；(3)bodcod_；(4)aod_aob.答案 (1)aoc；(2)aod；(3)boc；(4)bod.7如图，要测量两堵围墙所形成的aob的度数，但人不能进入围墙，如何测量？答案 延长ao或bo，先量出aob的补角的度数，再计算出aob的度数8按照上北下南，左西右东的规定画出表示东南西北的十字线，然后在图上画出表示下列方向的射线：(1)北偏西30；(2)南偏东60；(3)北偏东15；(4)西南方向(南偏西45)答案 (1)如图所示，射线oa表示北偏西30；(2)如图所示，射线ob表示南偏东60；(3)如图所示，射线oc表示北偏东15；(4)如图所示，射线od表示西南方向综合运用9如图，ob是aoc的平分线，od是coe的平分线(1)如果aob40，doe30，那么bod是多少度？(2)如果aoe140，cod30，那么aob是多少度？答案 (1)bod70；(2)aob40.10如图，一个齿轮有15个齿，每相邻两齿中心线间的夹角都相等，这个夹角是多少度？如果是22个齿的齿轮，这个夹角又是多少度(精确到分)?答案 3601524；360221622.答：齿轮有15个齿时，相邻两齿中心线间的夹角为24；有22个齿时，其夹角约为1622.11如图，将一副三角尺按不同位置摆放，在哪种摆放方式中与互余？在哪种摆放方式中与互补？在哪种摆放方式中与相等？答案 在(1)中与互余；在(2)(3)中与相等；在(4)中与互补12如图，a地和b地都是海上观测站，从a地发现它的北偏东60方向有一艘船，同时，从b地发现这艘船在它北偏东30方向试在图中确定这艘船的位置答案 如图所示，图中o点即为这艘船的位置13(1)互余且相等的两个角，各是多少度？(2)一个锐角的补角比这个角的余角大多少度？答案 (1)都是45；(2)90.拓广探索14画几个不同的四边形，使每个四边形中都有30，90，105的角，量一量这些四边形中另一个角的度数，你能发现什么规律？答案 图略，每一个四边形的另一个角都等于135.规律：四边形的四个内角的和为360.15(1)图(1)中，射线ad，be，cf构成1，2，3，量出1，2，3，并计算123.画出几个类似的图，计算相应的三个角的和，你有什么发现？(2)类似地，量出图(2)中1，2，3，4，计算1234.再换几个类似的图试试，你有什么发现？综合(1)(2)的发现，你还能进一步得到什么猜想？答案 (1)123360.发现：无论是怎样的三角形，与每个内角相邻的三个外角的和都为360.(2)1234360，发现：无论是怎样的四边形，与每个内角相邻的四个外角的和都为360.综合(1)(2)发现，多边形的外角和都为360当堂检测1. 下列说法:（1）互余的两个角都是锐角;（2）若两角都是锐角，则这两角互余;（3）a+b+c=90，则a、b、c互余;（4）同一个锐角的补角一定比它的余角大90;（5）钝角只有余角、没有补角.其中正确的有（ ）a一个 b. 两个 c. 三个 d. 四个2. 小明站在小颖的北偏东，则小颖在小明的（）.东偏北 .东偏北.南偏西 .南偏西3. 如果=3931,的余角 =_,的补角=_.4. 如图所示，且aoc=bod，则aoc的余角是_.5. 一个角的余角比它的补角的 少40,求这个角的度数.参考答案：1. 2. 3. 5029 129314. boc或aod5. 40能力培优专题一 角的个数与表示1. 下列说法中正确的个数是（）由两条射线组成的图形叫做角，角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的角度有关，角的两边是两条射线，把一个角放到一个放大10倍的放大镜下观看，角度数也扩大10倍a1个 b2个 c3个 d4个2.下图，在已知角内画射线，画1条射线，图中共有 3个角；画2条射线，图中共有 6个角；画3条射线，图中共有 10个角，求画n条射线所得的角的个数专题二 钟面上的角度问题3. 4点10分，时针与分针所夹的小于平角的角为（）a55 b65 c70 d以上结论都不对4.如图，在地面上有一个钟，钟面的12个粗线段刻度是整点时时针（短针）所指的位置，根据图中时针与分针（长针）所指的位置，该钟面所显示的时刻是 9时 12分5.周末莉莉跟妈妈去乡下的外婆家，8点多临出门她看到墙壁上钟表的时针与分针正好是重合的，下午2点多她和妈妈回家后，一进门看见钟表的时针与分针方向相反，正好成一条直线，问莉莉是几点钟去姥姥家？几点钟回到家？共用了多少时间？专题三 角的折叠与拼接6. 一副三角板不能拼出的角的度数是（拼接要求：既不重叠又不留空隙）（）a75 b105 c120 d1257一副三角板按如图所示方式重叠，若图中dce=35025则acb=_.8.如图，先找到长方形纸的宽dc的中点e，将c过e点折起任意一个角，折痕是ef，再将d过e点折起，使de和ce重合，折痕是ge，你得到的gef是直角吗？为什么？专题四 角的和、差、倍、分9.已知、是两个钝角,计算的值,甲、乙、丙、丁四位同学算出了四种不同的答案分别为24、48、76、86,其中只有一个答案是正确的,则正确的答案是（ ）a86 b76 c48 d2410.计算： 11.已知一条射线oa，若从点o再引两条射线ob和oc，使aob=60，boc=20，求aoc的度数.12. 已知aob=boc，cod=aod=3aob，求aob和cod的度数.13. 已知，o是直线ab上的一点，cod是直角，oe平分boc.（1）如图，若aoc=30，求doe的度数;（2）在如图中，若aoc=，直接写出doe的度数（用含的代数式表示）;（3）将图中的doc绕顶点o顺时针旋转至图的位置.探究aoc和doe的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；在aoc的内部有一条射线of,满足：aoc4aof=2boe+aof,试确定aof 与doe的度数之间的关系，说明理由.专题五 余角、补角、方位角14（2012孝感）已知是锐角，与互补，与互余，则-的值等于（）a45 b60 c90 d18015. 如图，oa的方向是北偏东15，ob的方向是西偏北50度（1）若aoc=aob，则oc的方向是 北偏东70；（2）od是ob的反向延长线，od的方向是 南偏东40；（3）bod可看作是ob绕点o逆时针方向至od，作bod的平分线oe，oe的方向是 南偏西50；（4）在（1）、（2）、（3）的条件下，coe= 16016.已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大10，求这个角的度数17.如图所示：点o是直线ab上的一点，oe平分，od平分。求：(1) 的度数；（2）图中互余的角有多少对？请把它们写出来.（一定要仔细哦!）知识要点：1.有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.2.1度=60分，1分=60秒.1周角=2平角=4直角=360.3.从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线.4.如果两个角的和等于90（直角），就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于180（平角），就说这两个角互为补角.5.同角（等角）的余角相等；同角（等角）的补角相等.温馨提示：1.与角有关的注意事项：（1）角的两条边是射线，而不是线段，所以无法度量和延长.（2）角的大小与边的长短粗细无关（3）放大镜不能改变角的度数.（4）平角是一个角，它有角的内部，而直线是一条线，故不能说“平角是一条直线”.同理周角是一个角，而不是一条射线，故不能说“周角是一条射线”2.与角的和、差、倍、分有关的注意事项.（1）度分秒加法：度与度相加，分和分相加，秒和秒相加，计算结束后，满60进一；（2）度分秒减法：度与度相减，分和分相减，秒和秒相减，如果不够减，就向前一位借1，借1就相当于60，借1就相当于60；（3）度分秒乘法：计算结束后，满60进一；60就相当于1, 60就相当于1.（4）度分秒除法：余1就相当于60，余1就相当于603.余角与补角中的注意事项：（1）互为余角、互为补角均是指两个角的关系，与第三个角无关；（2）互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关（3）锐角的余角为锐角，锐角的补角为钝角；钝角的余角不存在，钝角的补角为锐角.（4）表示方向时我们一般书写形式为“南（北）偏东（西）”方法技巧：1.在已知角内画n条射线所得的角的个数为：1+2+3+（n+1）=.2.时钟上每格30，时针速度0.5度/分钟，分针速度6度/分钟，这三个结论是解决时钟问题的基本工具3.用一副三角板可以画0180中15的倍数的角，即15、30、45、60、75、90、105、120、135、150、165、180共12个角.4.如果互补的两个角相等，那么这两个角都是直角5.在没有给出图形，角的位置关系不确定时，需要分类讨论.答案：1. b 解析:角是有公共端点的两条射线所构成的图形,故错误；角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的角度有关，故正确；角的两边是两条射线，故正确；把一个角放到一个放大10倍的放大镜下观看，角度数不变，故错误2. 解：因为在已知角内画1条射线，图中共有3个角，即1+2=3个角；在已知角内画2条射线，图中共有6个角，即1+2+3=6个角；在已知角内画3条射线，图中共有10个角，即1+2+3+4=10个角所以在已知角内画n条射线所得的角的个数为：1+2+3+（n+1）=.3. b 解析：因为4点10分时，分针从12到2转动两个格转动角度为：302=60，时针转动430=125，所以4点10分时，分针与时针的夹角是12560=65.4. 9时12分 解析：由图可知，时针过1个大格线，走过60=12分钟，所以，分针逆时针数12小格即为12点的位置，所以，该钟面所显示的时刻是9时12分5. 解：设8点x分时针与分针重合，则：6x0.5x=180+60，解得：x=所以约8点43分时莉莉出门去姥姥家设2点y分时，时针与分针方向相反则：6x0.5x=180+60，解得：y=所以约2点43分时莉莉回家.所以共用了6个小时6. d 解：一副三角板的度数分别为：30、60、45、45、90，因此可以拼出75、105和120，不能拼出125的角7. 14435解析：因为acd=bce=90,故ace=acddce=90 35025=54035.所以acb=ace+bce=90+54035=14435.8. 解析：gef是直角.理由如下：由折纸实验，知3=1，4=2，而1+2+3+4=1800，所以1+2=900，所以gef是直角9. c 解析: 因为、是两个钝角，所以90180, 90180所以180360，所以3060所以c选项符合要求10.（4）176523=58+1723=58+57+603=585720.11. 解析 ：若oc在aob的内部，如图1，则aoc=aobboc=6020=40;若oc在aob的外部，如图2，则aoc=aob+boc=60+20=80.所以aoc的度数为40或80. 图1 图212. 解析：设aob=x，所以cod=aod=3aob=3x.因为aob=boc，所以boc=2x.因为boc+cod+aod+aob=360，所以3x+3x+2x+x=360. 解得x=40.所以aob=40，cod=120.13. 解析：（1）因为aoc=30，所以boc=18030=150.因为oe平分boc，所以eoc=eob=1502=75.因为cod是直角，所以doe=codeoc=9075=15.（2）.（3）doe =aoc . 设doe=x,则coe=90x，aoc=1802coe=1802(90x)=2x.所以doe =aoc.4doe 5aof=180，设doe=x,aof=y.则aoc=2x，boe=90-x.因为aoc4aof=2boe+aof,所以2x4y=2(90x)+y，所以4x5y=180.所以4doe 5aof=180. 14. c 解析：由题意得，+=180，+=90，两式相减可得：-=90故选c15. 解：（1）aoc=aob=90-50+15=55，oc的方向是北偏东15+55=70；（2）od是ob的反向延长线，od的方向是南偏东40；（3）oe是bod的平分线，boe=90；oe的方向是南偏西50；（4）coe=90+50+20=16016. 解：设这个角的度数是x，则（180-x）-3（90-x）=10，解得x=50答：这个角的度数为50.17解析:（1）=90.因为o是直线ab上的一点，所以 , 因为 oe平分,所以因为 od平分，所以 , 所以 ，即.（2）图中互余的角有4对. 例谈角在生活中的应用学过有关角的基本知识后,能用来解决