高考数学 专题突破练 5 立体几何的综合问题试题 理.DOC

专题突破练(5)立体几何的综合问题一、选择题1已知直线a平面，直线b平面，则“ab”是“ ”的()a充分不必要条件 b必要不充分条件c充要条件 d既不充分又不必要条件答案d解析“ab”不能得出“”，反之由“”也得不出“ab”故选d.2. 如图，三棱柱abca1b1c1中，aa1平面abc，a1aab2，bc1，ac， 若规定正视方向垂直平面acc1a1，则此三棱柱的侧视图的面积为()a. b2c4 d2答案a解析在abc中，ac2ab2bc25，abbc.作bdac于d，则bd为侧视图的宽，且bd，侧视图的面积为s2.3平行六面体abcda1b1c1d1中，既与ab共面也与cc1共面的棱的条数为()a3 b4 c5 d6答案c解析如图，既与ab共面也与cc1共面的棱有cd、bc、bb1、aa1、c1d1，共5条4在四边形abcd中，abadcd1，bd，bdcd.将四边形abcd沿对角线bd折成四面体abcd，使平面abd平面bcd，则下列结论正确的是()aacbdbbac90cca与平面abd所成的角为30d四面体abcd的体积为答案b解析abad1，bd，abad.abad.平面abd平面bcd，cdbd，cd平面abd，cdab，ab平面acd，abac，即bac90.5. 2016云南师大附中月考九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，在鳖臑pabc中，pa平面abc，abbc，且apac1，过a点分别作aepb于点e，afpc于点f，连接ef.当aef的面积最大时，tanbpc的值是()a. b. c. d.答案b解析因为pa平面abc，所以pabc，又abbc，abpaa，所以bc平面pab，则bcae，又pbae，则ae平面pbc，所以aeef，且aepc，又afpc，所以pc平面aef，所以aef，pef均为直角三角形，因为paac1，且paac，所以afpf，而saefaeef(ae2ef2)af2，当且仅当aeef时等号成立，所以当aeef时，aef的面积最大，此时tanbpc，故选b.6如图所示，已知在多面体abcdefg中，ab，ac，ad两两垂直，平面abc平面defg，平面bef平面adgc，abaddg2，acef1，则该多面体的体积为()a2 b4c6 d8答案b解析如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，那么显然所求的多面体的体积即为该正方体体积的一半，于是所求几何体的体积为v234.7设a，b，c，d是半径为2的球面上的四点，且满足abac，adac，abad，则sabcsabdsacd的最大值是()a6 b7 c8 d9答案c解析由题意知42ab2ac2ad2，sabcsacdsabd(abacacadadab)(ab2ac2ad2)8.8已知圆锥的底面半径为r，高为3r，在它的所有内接圆柱中，表面积的最大值是()a22r2 b.r2 c.r2 d.r2答案b解析如图所示，为组合体的轴截面，记bo1的长度为x，由相似三角形的比例关系，得，则po13x，圆柱的高为3r3x，所以圆柱的表面积为s2x22x(3r3x)4x26rx，则当xr时，s取最大值，smaxr2.9在正方体abcda1b1c1d1中，p为正方形a1b1c1d1四边上的动点，o为底面正方形abcd的中心，m，n分别为ab，bc边的中点，点q为平面abcd内一点，线段d1q与op互相平分，则满足的实数的值有()a0个 b1个c2个 d3个答案c解析本题可以转化为在mn上找点q使oq綊pd1，可知只有q点与m，n重合时满足条件，所以选c.102016河北唐山模拟四棱锥mabcd的底面abcd是边长为6的正方形，若|ma|mb|10，则三棱锥abcm的体积的最大值是()a16 b20 c24 d28答案c解析三棱锥abcm体积三棱锥mabc的体积，又正方形abcd的边长为6，sabc6618，又空间一动点m满足|ma|mb|10，m点的轨迹是椭球，当|ma|mb|时，m点到ab距离最大，h4，三棱锥mabc的体积的最大值为vsabch18424，三棱锥abcm体积的最大值为24，故答案为c.112016河北衡水模拟在一个棱长为4的正方体内，最多能放入的直径为1的球的个数()a64 b66 c68 d70答案b解析根据球体的特点，最多应该是放5层，第一层能放16个；第2层放在每4个小球中间的空隙，共放9个；第3层继续往空隙放，可放16个；第4层同第2层放9个；第5层同第1、3层能放16个，所以最多可以放入小球的个数：1691691666(个)，故答案为b.122016太原模拟如图所示，正方体abcdabcd的棱长为1，e，f分别是棱aa，cc的中点，过直线e，f的平面分别与棱bb、dd交于m，n，设bmx，x0,1，给出以下四个命题：平面menf平面bddb；当且仅当x时，四边形menf的面积最小；四边形menf周长lf(x)，x0,1是单调函数；四棱锥cmenf的体积vh(x)为常函数以上命题中假命题的序号为()a b c d答案c解析连接bd，bd，则由正方体的性质可知ef平面bddb，所以平面menf平面bddb，所以正确连接mn，因为ef平面bddb，所以efmn，四边形menf的对角线ef是固定的，所以要使面积最小，则只需mn的长度最小即可，此时当m为棱的中点时，即x时，此时mn长度最小，对应四边形menf的面积最小，所以正确因为efmn，所以四边形menf是菱形当x时，em的长度由大变小，当x时，em的长度由小变大，所以函数lf(x)不单调，所以错误连接ce，cm，cn，则四棱锥分割为两个小三棱锥，它们以cef为底，以m，n分别为顶点的两个小棱锥因为三角形cef的面积是常数m，n到平面cef的距离是常数，所以四棱锥cmenf的体积vh(x)为常函数，所以正确所以四个命题中假命题，选c.二、填空题13. 如图，在正方体abcda1b1c1d1中，p为棱dc的中点，则d1p与bc1所在直线所成角的余弦值等于_答案解析连接ad1，ap，则ad1p就是所求的角设ab2，则apd1p，ad12，cosad1p.14. 如图，已知球o的面上有四点a、b、c、d，da平面abc，abbc，daabbc，则球o的体积等于_答案解析如图，以da，ab，bc为棱长构造正方体，设正方体的外接球球o的半径为r，则正方体的体对角线长即为球o的直径，所以|cd|2r，所以r，故球o的体积v.15. 2016江西新余模拟如图，有一圆柱开口容器(下表面封闭)，其轴截面是边长为2的正方形，p是bc的中点，现有一只蚂蚁位于外壁a处，内壁p处有一粒米，则这只蚂蚁取得米粒的所经过的最短路程是_答案解析由于圆柱的侧面展开图为矩形(如图所示)，则这只蚂蚁取得米粒所经过的最短路程应为aqpq，设点e与点a关于直线cd对称，因为两点之间线段最短，所以q为pe与cd的交点时有最小值，即最小值为ep.162016山西太原模拟棱长为a的正方体abcda1b1c1d1中，若与d1b平行的平面截正方体所得的截面面积为s，则s的取值范围是_答案解析如图，过d1b的平面为bmd1n，其中m，n分别是aa1，cc1的中点，由于bd1a，mnaca，acbd1，即mnd1b，所以过d1b与m，n的截面的面积为sacbda2，因此s的取值范围是.三、解答题17. 2016安徽模拟如图，六面体abcdefgh中，四边形abcd为菱形，ae，bf，cg，dh都垂直于平面abcd，若dadhdb4，aecg3.(1)求证：egdf；(2)求be与平面efgh所成角的正弦值解(1)证明：连接ac，由ae綊cg可得四边形aegc为平行四边形，所以egac，又acbd，acbf，所以egbd，egbf，因为bdbfb，所以eg平面bdhf，又df平面bdhf，所以egdf.(2)设acbdo，eghfp，由已知可得平面adhe平面bcgf，所以ehfg，同理可得efhg，所以四边形efgh为平行四边形，所以p为eg的中点，又o为ac的中点，所以op綊ae，从而op平面abcd.又oaob，所以oa，ob，op两两垂直，且由平面几何知识知bf2.如图，建立空间直角坐标系，则b(0,2,0)，e(2，0,3)，f(0,2,2)，p(0,0,3)，(2，2,3)，(2，0,0)，(0,2，1)设平面efgh的法向量为n(x，y，z)，由可得令y1，则z2，得平面efgh的一个法向量为n(0,1,2)，设be与平面efgh所成角为，则sin.182017河南洛阳月考如图，在直三棱柱abca1b1c1中，acb90，aa1bc2ac4.(1)若点p为aa1的中点，求证：平面b1cp平面b1c1p；(2)在棱aa1上是否存在一点p，使得二面角b1cpc1的大小为60？若存在，求出ap的值；若不存在，说明理由解(1)证明：如图，以c为原点，ca，cb，cc1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则c(0,0,0)，a(2,0,0)，b1(0,4,4)，c1(0,0,4)，p(2，0,2)，b(0,4,0)，故(0,4,0)，(2,0,2)，(2,0,2)，由(0,4,0)(2,0,2)0，得c1b1cp，由(2,0,2)(2,0,2)0，得c1pcp.又c1pc1b1c1，cp平面b1c1p，又cp平面b1cp，平面b1cp平面b1c1p.(2)设apa，则p点坐标为p(2,0，a)，(2,0，a)，(0,4,4)，设平面b1cp的法向量为m(x，y，z)，则令z1，m，而(0,4,0)为平面c1cp的一个法向量，cos60，解得a2.在aa1上存在一点p满足题意，且ap2.19. 2016厦门质检如图，直三棱柱abca1b1c1中，abac，a1aabac，d是ab的中点(1)记平面b1c1d平面a1c1cal，在图中作出l，并说明画法；(2)求直线l与平面b1c1cb所成角的正弦值解(1)延长b1d与a1a的延长线交于点f，连接c1f交ac于点e，则直线c1e(或c1f)即为l.(2)d是ab的中点，ada1b1，a是a1f的中点又aea1c1，e为ac的中点以a为原点，分别以ab，aa1，ac所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图令a1aabac2，则有b(2,0,0)，b1(2,2,0)，c(0,0,2)，c1(0,2,2)，e(0,0,1)，(0，2，1)，(0,2,0)，(2,0,2)，设平面b1c1cb的法向量为n(x，y，z)，由可取n(1,0,1)设l与平面b1c1cb所成角为，则sin|cos，n，即直线l与平面b1c1cb所成角的正弦值为.202017山东联考如图甲，直角梯形abcd中，abcd，dab90，点m，n分别在ab，cd上，且mnab，mccb，bc2，mb4.现将梯形abcd沿mn折起，使平面amnd与平面mncb垂直(如图乙)(1)求证：ab平面dnc；(2)当dn的长为何值时，二面角dbcn的大小为30？解(1)证明：mbnc，mb平面dnc，nc平面dnc，mb平面dnc，同理ma平面dnc.又mambm，且ma，mb平面mab，平面mab平面dnc，ab平面mab，ab平面dnc.(2)解法一：过n作nhbc交bc延长线于点h，连接dh.平面amnd平面mncb，dnmn，dn平面mncb，bc平面mncb，dnbc，dnnhn，bc平面dnh，从而dhbc，dhn为二面角dbcn的平面角，dhn30.由mb4，bc2，mcb90