高考数学 命题角度2.2 利用正弦、余弦定理解与三角形面积有关的问题大题狂练 理.doc

命题角度2.2：利用正弦、余弦定理解与三角形面积有关的问题1.已知abc的三个内角a,b,c的对边分别为a,b,c.（）若c=2b，求证：cosa=3cosb-4cos3b；（）若bsinb-csinc=a，且abc的面积s=b2+c2-a24，求角b.【答案】（）详见解析（）58【解析】试题分析: （）有条件及三角形内角和关系可得a=-3b，再根据诱导公式可得cosa=cos(-3b)=-cos3b，然后利用两角和余弦公式展开，结合二倍角公式及平方关系，将式子转化为关于cosb的关系式，（）由三角形面积公式s=12bcsina及余弦定理b2+c2-a2=2bccosa，代入条件s=b2+c2-a24化简得a=45；再根据正弦定理将条件bsinb-csinc=a化角：sin2b-sin2c=sina，最后根据三角形内角关系消去c角得：sin2b-sin2（34-b）=22，根据二倍角及配角公式可得sin(2b+4)=-1，结合b角范围可得结果.（）在abc中，s=b2+c2-a24,s=b2+c2-a24=12bcsina由余弦定理知：b2+c2-a24=12bccosa12bccosa=12bcsinatana=1a=45bsinb-csinc=a,sin2b-sin2c=sina=22cos2c-cos2b=2,2c=2-2a-2b=32-2b-sin2b-cos2b=2,sin(2b+4)=-12b+4=32b=58=112.52.在中， 为边上一点， ， ， .（1）若，求外接圆半径的值；（2）设，若，求的面积.【答案】（1）;（2）.试题解析：（1）由余弦定理，得，解得.由正弦定理得， .（2）设，则，.，.，即，解得.，.3.如图，在 中，角 的对边分别为 , . （1）求角 的大小；（2）若 为外一点， ，求四边形面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）先根据正弦定理将条件转化为角的关系再利用三角形内角关系、诱导公式及两角和正弦公式化简得即得， .（2），由余弦定理得，将数据代入可得，利用配角公式得，最后根据三角形有界性可得四边形 的面积最大值。4.在中，三边所对应的角分别是，已知成等比数列.（1）若，求角的值；（2）若外接圆的面积为，求面积的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）先将切化弦变形得，利用等比数列性质和正弦定理得，进而得，即，由不是最大边得；（2）易得外接圆半径，利用余弦定理和均值不等式得，即，再利用正弦定理和三角形正弦公式得，利用，进而解得.（2）外接圆的面积为，的外接圆的半径， 由余弦定理，得，又，.当且仅当时取等号，又为的内角， 由正弦定理，得.的面积， ，.考点：1、正弦定理；2、余弦定理；3、均值不等式.5.已知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减如图，四边形中， 为的内角的对边，且满足（1）证明： ；（2）若，设， ， ，求四边形面积的最大值【答案】（1）见解析;（2）.试题解析:（1）由题意知： ，解得： ， ， ，.（2）因为， ，所以，所以为等边三角形， ，当且仅当，即时取最大值， 的最大值为.6.已知中，角所对的边分别为，且， .（1）若，求的大小；（2）若为三个连续正整数，求的面积.【答案】（1）（2）的面积为【解析】试题分析：(1)由题意边化角，结合三角函数的性质可得，则.(2)由题意可设， ， ， ，结合余弦定理得，据此可得的面积为.试题解析：（1），由正弦定理有，又，即，于是，在中， ，于是， .（2）因为，故，故设， ， ， ；由，得，.由余弦定理得： ，代入可得：，解得： ， ， ，故，故，故的面积为.7.在中， 分别是角的对边， 成等比数列，且（）求的大小；（）若，且，求的面积【答案】（）;（）.【解析】试题分析：（）由是一个等比数列得： ，得，再由余弦定理，即可求解角的值.（）由题意得或，分类讨论，利用正、余弦定理，即可求解的面积.试题解析：（）由是一个等比数列得： ，所以由得， ， ，又 （）由得： ， 当，由题意， ， ，所以由正弦定理得： ， ，故由勾股定理得： ， 当时，由题意， ， ，所以由余弦定理得： ， ， ， 综上得： 的面积： 8.在abc中，已知a,b,c分别是角a,b,c的对边，且a=2。（1）若c=2,c=4，求b的值；（2）若b+c=22，求abc的面积的最大值。【答案】(1)2；(2)1.【解析】试题分析：(1)由题意结合正弦定理可得abc是等腰直角三角形，则b=c=2；(2)结合余弦定理得到面积的表达式，然后利用均值不等式的结论可得abc的面积的最大值是1.法2：因为a=2，c=2,c=4所以由余弦定理，得(2)2=22+b2-22bcos4即b2-22b+2=0 所以b=2（2）因为a=2，b+c=22，所以 由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosa=(b+c)2-2bc-2bccosa所以cosa=2bc-1 因为a(0,),所以sina=1-(2bc-1)2所以abc的面积s=12bcsina=bc-1由b+c=22，bc=b(22-b)=-b2+22b,b(0,22)所以b=2时，bc的最大值为2 故abc的面积s=bc-11所以abc的面积的最大值为19.四边形如图所示，已知， .（1）求的值；（2）记与的面积分别是与，求的最大值.【答案】（1）;（2）14.【解析】试题分析: (1)在中,分别用余弦定理,列出等式,得出 的值; (2)分别求出 的表达式,利用(1)的结果,得到是关于的二次函数,利用三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,求出 的范围,由 的范围求出的范围,再求出的最大值.试题解析:（1）在中， ，在中， ，所以.（2）依题意， ，所以，因为，所以.解得，所以，当时取等号，即的最大值为14.10.如图，在边长为2的正三角形中， 为的中点， 分别在边上.（1）若，求的长；（2）若，问：当取何值时， 的面积最小？并求出面积的最小值【答案】（1）（2）时， 的面积的最小值为（2）设，在中，由正弦定理，得，所以，同理，故，因为，所以当时， 的最大值为1，此时的面积取到最小值即时， 的面积的最小值为【方法点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角