高考数学 黄金100题系列 第08题 函数的解析式 理.doc

第8题 函数的解析式i题源探究黄金母题【例1】如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为，试求的解析式，并画出函数的图象【解析】当时，；当时，；当时，综上知，精彩解读【试题来源】人教版a版必修一第13页复习参考题b组第2题【母题评析】本题以平面几何图形为载体，考查函数解析式的求法，以及根据函数解析画函数的图象本类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式，达到对学生能力的考查【思路方法】此类试题是平面几何图中由于动点的运动引起了某些几何量的变化，由此也与函数有了紧密联系，也就产生了此类试题解答此类试题通常要利用分类讨论的思想，同时要注意结合平面几何及三角知识进行求解ii考场精彩真题回放【例2】【2017高考新课标ii】已知函数，且求（节选）【解析】的定义域为设，则等价于，故，而，得若，则当0x1时，单调递减；当x1时，0，单调递增所以x=1是的极小值点，故综上，【例3】【2015高考新课标】如图，长方形的边，是的中点，点沿着边，与运动，记将动到两点距离之和表示为的函数，则的图象大致为（ ）【答案】b【解析】由已知得，当点在边上运动时，即时，；当点在边上运动时，即时，当时，；当点在边上运动时，即时，综上可知由此可知函数的图象是非直线型的，排除a，c又，排除d，故选b【命题意图】本类题通常主要考查函数解析式的求法与图象识别【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题的形式出现，中等偏上难度，往往与平面几何知识、三角函数等知识有联系【难点中心】此类试题的解答通常结合图形的具体特点，首先明确哪个是自变量？哪个是因变量，它们对应于几何图形中哪些线段或角，然后结合分类讨论的思想进行求解iii理论基础解题原理考点一 函数解析式概念（1）函数解析式定义：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式（2）解析式优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值考点二 基本初等函数的解析式（1）一次函数：；（2）反比例函数：；（3）二次函数：；（4）指数函数：；（5）对数函数：； （7）幂函数：；（8）三角函数：题型攻略深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常在选择题、填空题中均可能出现考查，在解答题常常伴随函数在实际问题的应用、涉及函数的导数问题应用【技能方法】求函数解析式常用方法有：待定系数法、换元法（或凑配法）、消元法（方程法）、图象法、性质法等，这些方程的选择都要根据所给有关函数的具体信息进行分析，如已知函数模型时，常用待定系数法【易错指导】（1）因为解析具有定义域、对应法则、值域，而定义域是函数的灵魂，因此一定要注意在求得解析后要注意函数的定义域；（2）利用换元法（或凑配法）求函数解析式时，确定函数的定义域是一个难点，同时也是一个易错点，因为这类题主要涉及到复合函数问题；（3）利用性质法求函数解析式时，常常在自变量的转换上或函数名称变换上犯糊涂，因为这类题实质上是涉及到分段函数问题（4）求实际应用问题的函数模型问题，确定函数定义域时，除函数解析式本身要求有意义外，自变量的取值还必须符合实际意义举一反三触类旁通考向1利用待定系数法求解析式【例1】已知二次函数满足条件，及，则求_【解析】设，则由题又，于是由已知条件，得，解得，【例2】【改编题】已知函数在点处的切线方程为，则函数_【点评】待定系数法是求函数解析式常用的方法之一，适用于已知或能确定函数的解析式的构成形式(如一次函数、二次函数、反比例函数、函数图象等)，求函数解析式其解法是根据条件写出它的一般表达式，然后由已知条件，主要通过系数的比较，列出等式，确定待定系数【跟踪练习】1【2017河南安阳一模】已知是定义在上的函数的导函数，若方程无解，且， ，设， ， ，则， ， 的大小关系是（ ）a b c d【答案】d点睛：此题意主要考查了函数的导数、单调性在函数值大小的比较中的应用，以及真数相同底数不同的对数值的比较等方面的知识，属于中高档题型，亦是高频考点有三个关键点：（1）由方程无解，可知函数在上为单调函数；（2）由，可知是定值；（3）对于对数函数，在真数相同底数不同的函数值中，当时，底数越小，函数值越大；当时，底数越大，函数值越小2【2018山西运城康杰中学高一上学期第一次月考】已知， 是二次函数，且为奇函数，当时， 最小值为1，求的解析式【答案】或【解析】试题分析：令，而为奇函数，故，解得， 其对称轴为，根据对称轴和区间的位置关系，分成类讨论当为何值时取得最小值，由此求得函数的解析式【试题解析】设 则为奇函数 对任意恒成立，即 对任意恒成立 的图象的对称轴为直线当时， 的最小值为1 或或 或或即或或（舍）综上可知： 或点睛：本题主要考查待定系数法求函数的解析式，考查了二次函数的图象与性质，考查了函数的奇偶性与单调性由于已知函数为二次函数，故可设出二次函数的一般式，然后利用函数的奇偶性可求得的值，在利用对称轴和定义域，结合最小值可求得的值考向2利用换元法（或配凑法）求解析式【例3】【改编题】（1）若，则（ ）abcd（2）已知，则_【点评】已知复合函数的表达式，要求的解析式时，可考虑令，反解出，将其代入的表达式中，再用替换便可得到函数的表达式；（2）已知复合函数的表达式，要求的解析式时，若的表达式右边易配成的运算形式，则可用配凑法，使用配凑法时要注意定义域的变化【跟踪练习】1【四川省双流中学2017-2018学年高一上学期期中考试】已知，则的值为（ ）a b c d【答案】b【解析】令，则，所以，故选b2【山西省实验中学2017-2018学年高一上学期10月月考】若，则的解析式为（ ）a bc d【答案】a考向3利用函数性质求解析式【例4】已知为奇函数，为偶函数，且，则函数_，_【解析】为奇函数，为偶函数，又 ，故，即 由得：，【例5】 函数是上的奇函数，满足，当时，则当时，_【解析】因为，所以函数的图象关于直线对称，即成立又为奇函数，所以设，则，则，所以，即当时，【点评】已知函数的某些性质(奇偶性、周期性、对称性等)，可利用这些性质求解常常涉及到两个转换过程：（1）自变量的转换，即将所求解析式的定义域范围转移到已知函数的定义域内；（2）函数名称的转换，如将转换为、（为常数）转化为等【跟踪练习】1【2018江西六校第五次联考】设函数是定义在上的奇函数，且=，则（ ）a1 b2 c1 d2【答案】a2【2017河南南阳、信阳等六市第一次联考】已知是定义在上的偶函数，且恒成立，当时，则当时，（ ）a bc d【答案】b【解析】试题分析：，即是最小正周期为的函数，令，则，当时，是定义在上的偶函数，令，则，当时，函数的解析式为:所以b选项是正确的考点：利用函数的性质求解析式【思路点睛】根据将换为，再将换为，得到函数的最小正周期为，由当时，求出的解析式，再由是定义在上的偶函数，求出的解析式，再将的图象向左平移个单位即得的图象，合并并用绝对值表示的解析式考向4利用方程法（消元法）求函数解析式【例6】【改编2016届湖北龙泉中学等校9月联考】定义在上的函数满足: ，则_【例7】【改编题】定义在上的函数及二次函数满足：，则_【解析】（1），即由联立解得【点评】消元法适用的范围是：题设条件有若干复合函数与原函数混合运算，则充分利用变量代换，然后联立方程消去其余部分可求得函数的表达式【跟踪练习】1【2018江西樟树中学高一上学期第一次月考】若函数对于任意实数恒有，则等于a b c d【答案】a【解析】对任意实数恒有，用代替式中的可得，联立可解得，故选a点睛：本题主要考查了函数解析式的求法，属基础题；常见的函数解析式方法：待定系数法，已知函数类型（如一次函数、二次函数）；换元法：已知复合函数的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式；消去法：已知与或之间的关系，通过构造方程组得解2【2017河南新乡三模】若 对恒成立，则曲线在点处的切线方程为_【答案】（或）考向5根据图象确定解析式【例8】【2018山东枣庄模拟】函数的部分图象如图所示，则的解析式可以是（ ）ab cd【解析】根据已知条件可知，函数为奇函数，所以应排除；函数的图象过原点，所以应排除；图象过，所以排除；故选【点评】根据给出函数的图象确定函数的解析式，主要有两种题型：（1）根据函数图象求函数的解析式，解答时常常根据图象特征及图象上的特殊点，求出具体的相关的量的值；（2）根据函数图象，同时给出了多个函数解析式，从中进行选择，解答时通常结合函数的性质，结合排除法进行解决【例9】【2017安徽江南十校高三3月联考】若函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ )a b c d【答案】b点睛：本题在求解时，充分利用题设中提供的函数的图象信息，没有直接运用所学知识分析求解，而是巧妙借助单项选择题的问题特征，独出心裁的运用了答案排除法使得问题的求解简捷、巧妙而获解【跟踪练习】【2017四川成都七中6月1日高考热身考试】如图，在棱长为的正方体中，动点在其表面上运动，且，把点的轨迹长度称为“喇叭花”函数，给出下列结论：；其中正确的结论是：_（填上你认为所有正确的结论序号）【答案】考向6建立解析式识别图象【例10】如图，圆的半径为1，是圆上的定点，是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示成的函数，则在上的图象大致为()abcd【解析】如图所示，作，垂足为，当时，在中，在中，；当时，在中，在中，综上可知，所以当时，的图象大致为c【例11】【2017福建厦门双十中学下期热身】如图，半径为2的圆与直线切于点，射线从出发，绕点逆时针旋转到，旋转过程中与圆交于，设，旋转扫过的弓形的面积为，那么的图象大致为（ ）【点评】此类试题比较灵活，是近几年考查的热点之一解答时从已知条件出发，根据图形结构，结合三角函数知识、勾股定理、正弦定理、余弦定理、距离公式等知识建立函数的解析式，然后作出选择，有时也要根据函数的性质（奇偶性、单调性、定义域与值域），利用动态过程中涉及的界点情况作出判断【跟踪练习】1【2017广西5月份考前模拟】函数的图象大致为（ ）a b c d【答案】a【解析】因为，所以函数是奇函数，又定义域是，且，则在区间上单调递减；在区间上单调递增，应选答案a点睛：本题旨在考查函数的图象的识读和分析推断能力的综合运用解答本题的关键是借助函数的图象和基本性质，综合运用所学知识分析判断答案的正确与错误，求解时先运用函数的奇偶性的定义判断函数是奇函数，进而通过函数的取值推断该函数的零点所在和单调变化，进而获得正确答案2【2018贵州遵义航天中学一模】已知p是圆上异于坐标原点o的任意一点，直线op的倾斜角为，若，则函数的大致图象是（ ）abcd【答案】d点睛：(1)运用函数性质研究函数图象时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向(2)在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去，即将函数值的大小转化自变量大小关系考向7建立解析式解决实际问题【例12】【2018湖北宜昌一中、龙泉中学联考】如图所示，桶1中的水按一定规律流入桶2中，已知开始时桶1中有升水，桶2是空的，分钟后桶1中剩余的水量符合指数衰减曲线（其中是常数，是自然对数的底数）假设在经过5分钟时，桶1和桶2中的水恰好相等求：（1）桶2中的水（升）与时间（分钟）的函数关系式；（2）再过多少分钟，桶1中的水是升?【点评】在函数应用题中，建立函数的解析式常常设置在解答题的第（1）题的位置上，只有进行正确的建模，才能解答第（1）题后面的其它小题而建立函数解析时，一定要注意结合实际应用的要求与题设条件确定函数的定义域【例13】【2018福建三明一中高一上学期第一次月考】楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低01万元/辆根据市场调查，月销售辆不会突破30台（1）设当月该型号汽车的销售量为辆（，且为正整数），实际进价为万元/辆，求与的函数关系式；（2）已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润25万元，那么月需售出多少辆汽车？（注：销售利润=销售价-进价）【答案】（1）（2）该月需售出10辆汽车【解析】试题分析：（1）根据条件分段讨论进价：当时，为常函数， 当时，为一次函数（2）根据得销售利润=销售价-进价，分段列方程：当时， ；当时， ，解出方程的解即得结果试题解析：解：（1）由题意， 当时， 当时， ；当时，不符合题意，当时，解得： （舍去），答：该月需售出10辆汽车【例14】【2018江苏南京上学期期初学情调研】某工厂有100名工人接受了生产1000台某产品的总任务，每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成，每个工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置设加工甲型装置的工人有x人，他们加工完甲型装置所需时间为t1小时，其余工人加工完乙型装置所需时间为t2小时设f(x)t1t2（）求f(x)的解析式，并写出其定义域；（）当x等于多少时，f(x)取得最小值？【答案】（1） 定义域为x|1x99，xn*（2）当x75时，f(x)取得最小值，根据基本不等式可得结果试题解析：解：（1）因为 所以 定义域为x|1x99，xn* （2）f(x)， 因为1x99，xn*，所以0， 0，所以26， 当且仅当，即当x75时取等号 答：当x75时，f(x)取得最小值点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求