高考数学一轮总复习 专题6.1 数列的概念及其表示练习（含解析）理.doc

6.1 数列的概念及其表示1. 【2016高考浙江理数】设数列an的前n项和为sn.若s2=4，an+1=2sn+1，nn*，则a1= ，s5= .【答案】 【解析】由题可得；，再由，又，所以【考点解读】本题考查了与的关系及等比数列的定义与求和。可由转化为，根据递推公式，为等比数列（注意一定要检验当时是否满足）。2.【2015高考新课标2理16】设是数列的前n项和，且，则_【答案】【考点解读】本题考查了与的关系及等差数列的定义与数列求和。解题由与的关系入手，从而转化为与的递推式，再根据等差数列的定义判断是等差数列可得。3.【2015江苏高考11】数列满足，且（），则数列的前10项和为 【答案】【解析】由题意得：所以【考点解读】本题考查了数列的递推公式与求和。若递推关系为an1anf(n)或an1f(n)an，则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式。数列求和可运用裂项相消法。4. 【2014高考新课标2】数列满足，则_【答案】【解析】将a82代入an1，可求得a7；再将a7代入an1，可求得a61；将a61代入an1，可求得a52；由此可以推出数列an是一个周期数列，且周期为3，所以a1a7.【考点解读】本题考查了数列的概念及递推数列。可由数列递推关系，逐步推算可得，体现了数列的函数特征。5.【2014新课标2理17】已知数列满足=1，.（）证明是等比数列，并求的通项公式；【答案】（）.【考点解读】本题考查了数列的概念，递推公式，等比数列的定义。本题体现了化归与转化的基本数学思想方法。6.【2015高考新课标1理17】为数列的前项和.已知0，=.（）求的通项公式；（）设 ,求数列的前项和.【答案】（）（）【解析】（）当时，因为，所以=3，当时，=，即，因为，所以=2，所以数列是首项为3，公差为2的等差数列，所以=；（）由（）知，=，所以数列前n项和为=.【考点解读】本题考查了与的关系及等差数列的定义与求和。（）已知与的关系，可用将所给条件化为关于前n项和的递推关系或是关于第n项的递推关系，若满足等差数列定义，用等差数列通项公式求出数列的通项公式，（）根据（）数列的通项公式，再用拆项消去法求其前项和.7.【2016高考新课标3理数】已知数列的前n项和，其中（i）证明是等比数列，并求其通项公式；（ii）若 ，求【答案】（）；（）（）由（）得，由得，即，解得【考点解读】本题考查了数列通项与前项和为关系，等比数列的定义与通项及前项和为（）首先利用公式，得到数列的递推公式，然后通过变换结合等比数列的定义可证；（）利用（）前项和化为的表达式，结合的值，建立方程可求得的值考点了解a掌握b灵活运用c数列的概念和表示法b数列是高中数学领域的重要模块，高考主要考查考生对数列概念的理解，等差和等比两个基本数列的定义与性质的理解和运用及函数与方程的思想、分类与转化的思想、运算能力等本节复习注意对数列概念的深刻理解，领会数列是特殊的函数。在数列的表示方法中特别要掌握通项公式，对数列的递推关系及an与sn的关系也要重点掌握。知识点1数列的概念按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项数列一般形式可以写成a1，a2，a3，an，简记为an，其中数列的第1项a1也称首项；an是数列的第n项，也叫数列的通项知识点2数列的分类分类原则类型满足条件按项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系递增数列an1an其中nn*递减数列an1an常数项an1an摆动数列从第2项起有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项周期性周期数列nn*，存在正整数k，ankan知识点3数列的表示方法列表法列表格表示n与an的对应关系图象法把点(n，an)画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项使用公式表示的方法递推公式使用初始值a1和an1f(an)或a1，a2和an1f(an，an1)等表示数列的方法知识点4数列与函数的关系从函数观点看，数列可以看作定义域为正整数集n*(或它的有限子集)的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列必会结论；在数列an 中，若an最大，则若an最小，则必知联系； 数列中的数与集合中的元素的区别与联系：(1)若组成两个数列的数相同而排列次序不同，则它们是不同的数列这区别于集合中元素的无序性(2)数列中的数可以重复出现而集合中的元素不能重复出现知识点5an与sn的关系若数列an的前n项和为sn，通项公式为an，则an题型一由数列的前几项归纳数列的通项公式典例1.（1）(2017银川一中高一月考) 已知数列的前4项为2，0，2，0，则依次归纳该数列的通项不可能是（ ）a b c d【答案】c【解析】对于c，当时，则，与题意不符，所以选c（2）（2017襄阳高中高一期末） 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，记为数列an，则数列的通项公式为 【答案】 【解析】由图可知，由累加法可得（3）（2017郑州模拟）意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”： 即，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，若此数列被整除后的余数构成一个新数列， _.【答案】 （4）（2017兰州模拟）设数列是首项为0的递增数列， ，满足：对于任意的总有两个不同的根，则的通项公式为_【答案】【解析】，当n=1时，f1（x）=|sin（x-a1）|=|sinx|，x0，a2，又对任意的b0，1），f1（x）=b总有两个不同的根，a2=，f1（x）=sinx，x0，a2=又f2（x）=|sin（x-a2）|=|sin（x-）|=|cos|，x，a3对任意的b0，1），f1（x）=b总有两个不同的根，又f3（x）=|sin（x-a3）|=|sin（x-3）|=|sin|，x3，a4对任意的b0，1），f1（x）=b总有两个不同的根，a4=6，由此可得， （5）（2017安徽六安市高中月考）已知数列（1）求这个数列的第10项；（2）是不是该数列中的项，为什么?（3）求证：数列中的各项都在区间（0,1）内；（4）在区间内有、无数列中的项?若有，有几项?若没有，说明理由【答案】（1）；（2）不是；（3）证明见解析；（4）项，（2）令，无正整数解，所以不是该数列的项（3）解法一；证明：，又，解法二；证明：， （4）解法一；，又，当且仅当时等式成立 解题技巧与方法总结由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略1常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法2具体策略：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项的符号特征和绝对值特征；(5)化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；(6)对于符号交替出现的情况，可用(1)k或(1)k1，kn*处理【变式训练】（1）（2017银川一中高一期末）如图，一个树形图依据下列规律不断生长：1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点.第12行的实心圆点的个数为（ ）.a. 88 b. 89 c. 90 d. 91【答案】b【解析】第行实心圆点有个，空心圆点有个，由树形图的生长规律可得，（即斐波那契数列），可得数列为0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89，即,故选b.（2）（2017福建莆田一中月考）已知数列则是这个数列的（ ）a. 第6 项 b. 第7项 c. 第19项 d. 第11项【答案】b（3）（2017北京大兴区模拟）数列an的前4项是，1，则这个数列的一个通项公式是an_.【答案】【解析】数列可以看作，分母可以看作121,221,321,421，第n项分母为n21，分子可以看作211,221,231,241，第n项分子为2n1，故an.（4）（2017武汉模拟）把数列的所有数按照从大到小的原则写出如图所示的数表，第行有个数，第行的第个数（从左数起）记为，则数列中的项应记为 【答案】【解析】令是数列的第项，由,则t=8, s=144-127=17, 所以题型二由an与sn的关系求通项典例2. （1）（2017福建莆田一中高一期末）已知数列的前项和，则首项_，当时，_【答案】，【解析】由可得:当 时，；当时，（2）（2017南昌一中模拟）数列的前项和是， ，则_【答案】（3）（2017大连模拟）已知数列满足)， ,则数列中最大项的值是_【答案】【解析】依题意有，当时， 为，当时， ，即，也即，所以， ，所以， ，当时， ，所以最大项为.（4）（2017石家庄一中月考）若数列满足，则称数列为“差递减”数列若数列是“差递减”数列，且其通项与其前n项和满足，则实数的取值范围是_【答案】 （5）（2017武汉模拟）设数列的各项都是正数，且对任意，都有，其中为数列的前n项和.（i）求数列的通项公式；（ii）设（为非零整数，），试确定的值，使得对任意；都有成立.【答案】（i）； （ii）1【解析】（）时， 当时，由得，即，由已知得，当时，.故数列是首项为1，公差为1的等差数列.（），,.要使得恒成立,只须.(1)当为奇数时,即恒成立.又的最小值为,.(2)当为偶数时,即恒成立.又的最大值为,由(1),(2)得,又且为整数, 对所有的,都有成立.解题技巧与方法总结已知sn求an的三个步骤1当n1时，a1s1.2当n2时，ansnsn1.3对n1时的结果进行检验，看是否符合n2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则an应写成分段函数的形式，即an【变式训练】（1）（2017甘肃武威高中模拟）若数列的前n项和为，且满足，则数列的通项公式是_.【答案】（2）（2017兰州模拟）已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对任意恒成立，则的取值范围是_ .【答案】【解析】，即，即，故，由知，；若对任意恒成立，只需使，即，解得，故答案为.（3）（2017长沙模拟）已知正项数列的前项和为，且，现有如下说法： ； 当为奇数时， ；则上述说法正确的为_ .【答案】3（4）（2017衡水金卷）已知定义在r上的函数是奇函数且满足，数列an满足，且，（其中为an的前n项和），则_【答案】3【解析】由知函数的对称轴为，由于函数为奇函数，图象关于原点对称，故函数的周期为.依题意，当时，当时，两式相减得，所以，所以.（5）（2017盘锦模拟）如图所示，四边形oabp是平行四边形，过点p的直线与射线oa、ob分别相交于点m、n，若.（i）建立适当基底，利用，把表示出（即求的解析式）；（ii）设数列的首项，前项和满足：，求数列通项公式.【答案】(i) f（x）=（0x1） (ii) an=题型三由数列的递推公式求通项公式典例3. （1）(2017兰州模拟)根据下列条件，确定数列an的通项公式：a12，an1an3n2；a11，anan1(n2)；a11，an12an1.【答案】 ann2. an. an2n1.【解析】an1an3n2，anan13n1(n2)，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1(n2)当n1时，a1(311)2适合上式，ann2.anan1(n2)， (n2)，ana11， 当n1时适合上式，故an. an12an1，an112(an1)， 又a11，a112.数列an1是首项为2，公比为2的等比数列an122n1，an2n1. （2）（2017河北衡水中学押题卷）数列满足， （），则（ ）a. b. c. d. 【答案】d（3）（2017河北省衡水中学月考）已知函数的定义域为，当时， 对任意的， ， 成立，若数列满足，且， ，则的值为（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】令可得： ，令可得： ，则：，据此可得：函数是单调奇函数，有函数的单调性可得： ，整理可得： ，即数列是首项为1，公比为3的等比数列，则： ，据此可得：的值为 .（4）（2017衡水金卷）用表示不超过的最大整数，例如，已知数列满足，则 【答案】【解析】因，故，又，则，所以. （5）（2017山西师大附中模拟）已知直线与圆交于不同的两点，数列满足：，则数列的通项公式为_【答案】（6）（2017兰州模拟）下列程序的输出结果构成了数列的前n项试根据该程序求解下列问题，（i）求数列的第3项和第4项；（）写出该数列的递推公式，并求出其通项公式b=0 doa=b b=2*a+1print bloop until end（第 题程序）【答案】（i），； （） ，解题技巧与方法总结典型的递推数列及处理方法递推式方法示例an1anf(n)叠加法a11，an1an2nf(n)叠乘法a11，2nan1panq(p0,1，q0)化为等比数列a11，an12an1an1panqpn1(p0,1，q0)化为等差数列a11，an13an3n1其中(1) an1panq(p0,1，q0)的求解方法是设an1p(an)，即an1panp，与an1panq比较知只要即可(2) an1panqpn1(p0,1，q0)的求解方法是两端同时除以pn1，即得q，数列为等差数列【变式训练】（1）（2017武汉模拟）数列的第一项，且，2，这个数列的通项公式_【答案】【解析】两边取倒数得，故是以为首项，公差为的等差数列，故.（2）（2017银川模拟）在数列中， ， ，那么的通项公式是_.【答案】（3）（2017南京模拟）对于实数，将满足“且为整数”的实数称为实数的小数部分，用记号表示例如对于实数，无穷数列满足如下条件：， 其中若，则通项公式为_【答案】【解析】由题； ， ，所以； （4）（2017大连模拟）已知数列中，（1）写出的值（只写结果）并求出数列的通项公式；（2）设，若对任意的正整数，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）数列的通项公式为 （2）当时，也满足上式，数列的通项公式为（2）解法一；令，则， 当恒成立在上是增函数，故当时，即当时， 解法二： 数列是单调递减数列， 课本典例解析与变式例1.【必修第5三十六页例3】设数列满足 ，写出这个数列的前五项【解析】由题意可知； ， 则 【原题解读】本例题考查了数列递推关系的基本运用。需要学生对数列的概念有一定的理解，体会数列的函数与方程特征。变式1.（2017乌鲁木齐二诊）数列中， ，则（ ）a. b. c. d. 【答案】d变式2. （2014高考新课标2文）数列an满足an1，a82，则a1_【答案】【解析】将a82代入an1，可求得a7；再将a7代入an1，可求得a61；将a61代入an1，可求得a52；由此可以推出数列an是一个周期数列，且周期为3，所以a1a7.变式3.（2014课标2理）已知数列满足=1，.（）证明是等比数列，并求的通项公式；【答案】见解析【解析】（）证明：由得，所以，所以是等比数列，首项为，公比为3，所以，解得.变式4.（2016福建莆田模拟）已知数列满足求数列的通项公式；【答案】变式5.（2015江苏高考）数列满足，且（），则数列的前10项和为 【答案】【解析】由题意得：所以【课本回眸反思】 1. 注重运用概念思考解决教材中的例题，例题常常是高考题目生成和变化的源头；2. 在复习解题训练中因注重对数学课本中典型问题的解读和拓展；3 解题中应该注重一题多解，一题多变，达到加深理解，灵活运用的目的，并提高复习效率。1.（2017咸阳高一期末）数列的前几项为，则此数列的通项可能是（）a. b. c. d. 【答案】a【解析】数列为其分母为，分子是首项为，公差为的等比数列，故通项公式为。考点：数列通项公式2.（2017西安铁中高一期末）设数列an的前n项和snn2，则a8的值为()a15 b16 c49 d64【答案】a【解析】a8s8s7827215. 故选a.考点：an与sn的关系3.（2017银川模拟）已知数列an的通项公式是ann2kn2，若对所有的nn*，都有an1an成立，则实数k的取值范围是()a(0，) b(1，)c(2，) d(3，)【答案】d【解析】an1an，即(n1)2k(n1)2n2kn2，则k(2n1)对所有的nn*都成立，而当n1时，(2n1)取得最大值3，所以k3.考点：数列单调性4（2017兰州模拟）在各项均为正数的数列an中，对任意m，nn*都有amnaman，若a664，则a9等于()a256 b510 c512 d1 024【答案】c考点：数列递推公式5.（2017湖北黄石模拟）数列满足与（与分别表示的整数部分与分数部分），则（ ）a bc d【答案】b考点：新定义问题与数列项的求解6.（2017武汉市高三调研）已知数列满足， ，若，则数列的通项（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】 , , ,则 ,数列是首项为2，公比为2的等比数列， ，利用叠加法， ， ，则.选b.考点：数列递推公式与通项公式7.（2017郑州模拟）已知数列满足，则所有可能的值构成的集合为（ ）a b c d【答案】d考点：递推公式，合情推理与演绎推理8.（2017西安模拟）我国古代数学名著九章算术中，有已知长方形面积求一边的算法（“少广”算法），其方法的前两步如下.第一步：构造数列.第二步：将数列的各项乘以，得到一个新数列.则等于（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】由题意，所得新数列为，所以考点：数列求和.9.（2016温州模拟）已知若则数列的前2016项的和为（ ）a671 b672 c1342 d1344【答案】d考点：数列递推式与求和10（2017湖北省襄阳模拟）若数列， 的通项公式分别为， ，且对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】 可得，若 是偶数，不等式等价于 恒成立，可得 ，若 是奇数，不等式等价于 ，即 ，所以 ，综上可得实数 的取值范围是 ，故选d考点：数列与不等式，分类思想11.（2017银川一中高一期末）在数列中，则_【答案】【解析】当时，；当时，故答案为.考点：数列递推公式.12.（2017漳州模拟）已知数列an的前n项和sn3n22n1，则其通项公式为_【答案】an【解析】当n1时，a1s13122112；当n2时，ansnsn13n22n13(n1)22(n1)16n5，显然当n1时，不满足上式故数列的通项公式为an考点：an与sn的关系13.（2017宝鸡模拟）已知数列的通项公式，则数列的项取最大值时， 【答案】4或5考点：数列的函数特性.14.（2017甘肃武威模拟）如图，坐标纸上的每个单元格的边长为，由下往上的六个点：的坐标分别对应数列的前项，如下表所示：按如此规律下去，则=_【答案】【解析】将数列的奇数项，偶数项分开看可知：奇数项为满足，由此可得当时，；偶数项为，所以其通项公式为，所以当时，所以.考点：观察归纳法求数列的通项公式.15.（2017苏州模拟）在数列中， ， ，记为的前项和，则_【答案】-1007考点：数列递推公式与求和16（2017天水模拟）已知sn为正项数列an的前n项和，且满足snaan(nn*)(1)求a1，a2，a3，a4的值；(2)求数列an的通项公式【答案】（1）见解析 （2）ann.【解析】 (1)由snaan(nn*)可得；a1aa1，解得a11，s2a1a2aa2，解得a22，同理，a33，a44.(2) sna， 当n2时