高考数学二轮复习 专题08 平面向量讲学案 理.doc

1 专题专题 0808 平面向量平面向量 高考侧重考查正 余弦定文与其他知识 如三角函数 平面向量等 的综合应用 试题 一般为中档题 各种题型均有可能出现 高考仍将以正 余弦定文的综合应用为主要考点 重点考查计算能力及应用数学知识分析 解决问题的能力 1 向量的基本概念 1 既有大小又有方向的量叫做向量 2 零向量的模为 0 方向是任意的 记作 0 3 长度等于 1 的向量叫单位向量 4 长度相等且方向相同的向量叫相等向量 5 方向相同或相反的非零向量叫平行向量 也叫共线向量 零向量和任一向量平行 2 共线向量定文 向量a a a a 0 与b b共线 当且仅当存在唯一一个实数 使b b a a 3 平面向量基本定文 如果e e1 e e2是同一平面内的两个不共线向量 那么对于这一平面内的任意向量a a 有 且只有一对实数 1 2 使a a 1e e1 2e e2 4 两向量的夹角 已知两个非零向量a a和b b 在平面上任取一点o 作 a a b b 则 aob 0 oa ob 180 叫作a a与b b的夹角 5 向量的坐标表示及运算 1 设a a x1 y1 b b x2 y2 则 a a b b x1 x2 y1 y2 a a x1 y1 2 若a x1 y1 b x2 y2 则 x2 x1 y2 y1 ab 6 平面向量共线的坐标表示 已知a a x1 y1 b b x2 y2 当且仅当x1y2 x2y1 0 时 向量a a与b b共线 7 平面向量的数量积 2 设 为a a与b b的夹角 1 定义 a a b b a a b b cos 2 投影 a a cos 叫做向量a a在b b方向上的投影 a a b b b b 8 数量积的性质 1 a a b b a a b b 0 2 当a a与b b同向时 a a b b a a b b 当a a与b b反向时 a a b b a a b b 特别地 a a a a a a 2 3 a a b b a a b b 4 cos a a b b a a b b 9 数量积的坐标表示 模 夹角 已知非零向量a a x1 y1 b b x2 y2 1 a a b b x1x2 y1y2 2 a a x2 1 y2 1 3 a a b b x1x2 y1y2 0 4 cos x1x2 y1y2 x2 1 y2 1 x2 2 y2 2 误区警示 1 两向量夹角的范围是 0 a a b b 0 与 a a b b 为锐角不等价 a a b b 0 与 a a b b 为钝角不等价 2 点共线和向量共线 直线平行与向量平行既有联系又有区别 3 a a在b b方向上的投影为 而不是 a a b b b b a a b b a a 4 若a a与b b都是非零向量 则 a a b b 0 a a与b b共线 若a a与b b不共线 则 a a b b 0 0 考点一考点一 平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算 例 1 2017 山东 文 11 已知向量a a 2 6 b b 1 若a a b b 则 答案 3 解析 由a a b b可得1 623 变式探究 已知向量a a m 4 b b 3 2 且a a b b 则m 3 答案 6 解析 基本法 a a b b a a b b 方法技巧 平面向量线性运算的两种技巧 1 对于平面向量的线性运算问题 要尽可能转化到三角形或平行四边形中 灵活运用 三角形法则 平行四边形法则 紧密结合图形的几何性质进行运算 2 在证明两向量平行时 若已知两向量的坐标形式 常利用坐标运算来判断 若两向 量不是以坐标形式呈现的 常利用共线向量定理 当 b 0 时 a b 存在唯一实数 使 得 a b 来判断 变式探究 1 已知点a 0 1 b 3 2 向量 4 3 则向量 ac bc a 7 4 b 7 4 c 1 4 d 1 4 答案 a 解析 基本法 设c x y 则 x y 1 4 3 ac 所以error error 从而 4 2 3 2 7 4 故选 a bc 速解法 3 2 0 1 3 1 ab 4 3 3 1 7 4 bc ac ab 举一反三 向量的三角形法则要保证各向量 首尾相接 平行四边形法则要保证两 向量 共起点 结合几何法 代数法 坐标 求解 2 设d e f分别为 abc的三边bc ca ab的中点 则 eb fc a b ad 1 2ad c d bc 1 2bc 答案 a 4 解析 基本法一 设 a a b b 则 b b a a a a b b 从而 ab ac eb 1 2 fc 1 2 eb fc a a b b 故选 a 1 2b b a a 1 2a a b b 1 2 ad 基本法二 如图 eb fc ec cb fb bc ec fb 1 2 ac ab 2 1 2 ad ad 考点二考点二 平面向量数量积的计算与应用平面向量数量积的计算与应用 例 2 2017 课标 3 文 13 已知向量 2 3 3 abm 且ab 则m 答案 2 解析 由题意可得 2 330 2mm 变式探究 1 2016 高考全国卷 已知向量 则 ba 1 2 3 2 bc 3 2 1 2 abc a 30 b 45 c 60 d 120 答案 a 5 变式探究 1 向量a a 1 1 b b 1 2 则 2a a b b a a a 1 b 0 c 1 d 2 答案 c 解析 基本法 因为 2a a b b 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 0 所以 2a a b b a a 1 0 1 1 1 1 0 1 1 故选 c 速解法 a a 1 1 b b 1 2 a a2 2 a ba b 3 从而 2a a b b a a 2a a2 a ba b 4 3 1 故选 c 方法规律 1 一般地 用向量方法解决模的问题的途径有三 一是利用公式 a a 2 a a2 将模的平 方转化为数量积问题 二是利用模的几何意义 三是坐标法 解决向量的夹角问题主要是 利用公式 cos a a b b 将向量的夹角问题转化为数量积及模的问题来解决 a a b b a a b b 2 求解向量数量积最值问题的两种思路 1 直接利用数量积公式得出代数式 依据代数式求最值 2 建立平面直角坐标系 通过坐标运算得出函数式 转化为求函数的最值 举一反三 当向量以几何图形的形式 有向线段 出现时 其数量积的计算可利用定 义法 当向量以坐标形式出现时 其数量积的计算用坐标法 如果建立坐标系 表示向量 的有向线段可用坐标表示 计算向量较简单 2 已知正方形abcd的边长为 2 e为cd的中点 则 ae bd 答案 2 b 2 0 d 0 2 e 1 2 6 1 2 2 2 ae bd 1 2 2 2 2 ae bd 1 2017 课标 ii 文 4 设非零向量a b满足 bbaa 则 a a b b ba c a b d ba 答案 a 解析 由 abab 平方得 2222 2 2 aabbaabb 即 0ab 则a b 故选 a 2 2017 山东 文 11 已知向量a a 2 6 b b 1 若a a b b 则 答案 3 解析 由a a b b可得1 623 3 2017 北京 文 12 已知点p在圆 22 1 xy 上 点a的坐标为 2 0 o为原 点 则ao ap 的最大值为 答案 6 解析 所以最大值是 6 4 2017 课标 3 文 13 已知向量 2 3 3 abm 且ab 则m 答案 2 解析 由题意可得 2 330 2mm 5 2017 天津 文 14 在 abc中 60a ab 3 ac 2 若2bddc aeacab r 且4ad ae 则 的值为 答案 3 11 7 6 2017 课标 1 文 13 已知向量a a 1 2 b b m 1 若向量a a b b与a a垂直 则m 答案 7 解析 由题得 1 3abm 因为 0aba 所以 12 30m 解得7m 7 2017 江苏 12 如图 在同一个平面内 向量oa ob oc 的模分别为 1 1 2 oa 与oc 的夹角为 且 tan 7 ob 与oc 的夹角为 45 若ocmoanob m n r 则mn a c b o 第 12 题 答案 3 8 2017 江苏 16 已知向量 cos sin 3 3 0 xxx ab 1 若a a b b 求x的值 2 记 f x a b 求 f x的最大值和最小值以及对应的x的值 答案 1 5 6 x 2 0 x 时 f x取到最大值 3 5 6 x 时 f x取 8 到最小值2 3 解析 1 因为 cos sinaxx 3 3b a b 所以3cos3sinxx 若cos0 x 则sin0 x 与 22 sincos1xx 矛盾 故cos0 x 于是 3 tan 3 x 1 2016 高考新课标 2 文数 已知向量 1 3 2 am a 且 abb 则 m a 8 b 6 c 6 d 8 答案 d 解析 向量ab 4 m2 由 ab b 得4 3 m2 2 0 解得 m8 故选 d 2 2016 高考江苏卷 如图 在abc 中 d是bc的中点 e f是 a d上的两 个三等分点 4bc ca 1bf cf 则be ce 的值是 9 答案 7 8 解析 因为 2222 11436 4 2244 adbcfdbc ba cabcadbcad 22 11114 1 23234 fdbc bf cfbcadbcad 因此 22513 82 fdbc 2222 114167 22448 edbcfdbc be cebcedbced 3 2016 年高考四川文数 在平面内 定点a b c d满足da db dc da db db dc dc da 2 动点p m满足ap 1 pm mc 则 2 bm 的 最大值是 a 43 4 b 49 4 c 376 3 4 d 372 33 4 答案 b 解析 甴已知易得1220 daadcadbddbdcbc 以 d为原点 直 10 4 2016 高考江苏卷 如图 在abc 中 d是bc的中点 e f是 a d上的两 个三等分点 4bc ca 1bf cf 则be ce 的值是 答案 7 8 解析 因为 2222 11436 4 2244 adbcfdbc ba cabcadbcad 22 11114 1 23234 fdbc bf cfbcadbcad 因此 22513 82 fdbc 11 2222 114167 22448 edbcfdbc be cebcedbced 2015 高考福建 文 9 已知 1 abac abact t 若p 点是abc 所 在平面内一点 且 4abac ap abac 则pb pc 的最大值等于 a 13 b 15 c 19 d 21 答案 a x y b c a p 2015 高考湖北 文 11 已知向量oaab 3oa 则oa ob 答案 9 解析 因为oaab 3oa 所以oa ob 93 222 oaoboaoaaboaoa 2015 高考山东 文 4 已知菱形abcd的边长为a 60abc 则 12 bd cd a 2 3 2 a b 2 3 4 a c 2 3 4 a d 2 3 2 a 答案 d 解析 因为 bd cdbd bababcba 2 222 3 cos60 2 babc baaaa 故选 d 2015 高考陕西 文 7 对任意向量 a b 下列关系式中不恒成立的是 a a ba b b abab c 22 abab d 22 ab abab 答案 b 2015 高考四川 文 7 设四边形 abcd 为平行四边形 6ab 4ad 若点 m n 满足3bmmc 2dnnc 则am nm a 20 b 15 c 9 d 6 答案 c 解析 311 443 amabad nmcmcnadab 所以 221111 43 43 169 16 369 16 9 4124848 am nmabadabadabad aa 选 c 2015 高考安徽 文 8 c a 是边长为2的等边三角形 已知向量a b 满足 2aa c2aba 则下列结论正确的是 a 1b b ab c 1a b d 4cab 13 答案 d 解析 如图 2015 高考福建 文 9 已知 1 abac abact t 若p 点是abc 所 在平面内一点 且 4abac ap abac 则pb pc 的最大值等于 a 13 b 15 c 19 d 21 答案 a x y b c a p 14 2015 高考天津 文 14 在等腰梯形abcd 中 已知 2 1 60abdc abbcabc 动点e 和f 分别在线段bc 和dc 上 且 1 9 bebc dfdc 则ae af 的最小值为 答案 29 18 解析 因为 1 9 dfdc 1 2 dcab 11919 9918 cfdfdcdcdcdcab aeabbeabbc 1919 1818 afabbccfabbcababbc 22191919 1 181818 ae afabbcabbcabbcab bc 19199 42 1 cos120 1818 2117211729 2 9218921818 当且仅当 21 92 即 2 3 时ae af 的最小值为 29 18 b a d c e f 1 2014 高考福建卷第 8 题 在下列向量组中 可以把向量 2 3 a表示出来的是 15 a 2 1 0 0 21 ee b 2 5 2 1 21 ee c 10 6 5 3 21 ee d 3 2 3 2 21 ee 答案 b 解析 由于平面向量的基本定文可得 不共线的向量都可与作为基底 只有 2 5 2 1 21 ee成立 故选 b 考点定位 平面向量的基本定文 2 2014 高考广东卷文第 5 题 已知向量 1 0 1a 则下列向量中与a 成60 的 是 a 1 1 0 b 1 1 0 c 0 1 1 d 1 0 1 答案 b 考点定位 空间向量数量积与空间向量的坐标运算 3 2014 高考湖南卷第 16 题 在平面直角坐标系中 o为原点 0 3 3 0 0 1cba 动点d满足cd 1 则oaobod 的最大值是 答案 17 16 考点定位 参数方程 三角函数 4 2014 高考江苏卷第 12 题 如图在平行四边形abcd中 已知8 5abad 3 2cppd ap bp 则ab ad 的值是 a dc b p 答案 22 解析 由题意 1 4 apaddpadab 33 44 bpbccpbccdadab 所以 13 44 ap bpadabadab 2213 216 adad abab 即 13 22564 216 ad ab 解得22ad ab 考点定位 向量的线性运算与数量积 5 2014 陕西高考文第 13 题 设 2 0 向量 1coscos2sin ba 若ba 则 tan 答案 1 2 17 解析 因为ba 所以 2 sin21 cos0 即 2 sin2cos 所以 2 2sincoscos 因为 2 0 所以cos0 所以2sincos 所以 sin1 tan cos2 故答案为 1 2 考点定位 共线定文 三角恒等变换 6 2014 高考安徽卷文第 10 题 在平面直角坐标系xoy中 已知向量 1 0 a b aba b 点q满足2 oqab 曲线 cossin 02 cp opab 区域 0 prpqr rr 若 c 为两段分离的曲线 则 a 13rr b 13rr c 13rr d 13rr 答案 a 考点定位 平面向量的应用 线性规划 7 2014 高考北京卷文第 10 题 已知向量a b满足1 a 1 2 b 且 0ba r 则 答案 5 解析 当0 ba 则ab 于是 a b 因为 1 2 b 所以 5 b 18 又因为1 a 所以5 考点定位 平面向量的模 8 2014 高考湖北卷文第 11 题 设向量 3 3 a 1 1 b 若 abab 则实数 答案 3 解析 考点定位 平面向量的坐标运算 数量积 10 2014 江西高考文第 15 题 已知单位向量 1 e 与 2 e 的夹角为 且 1 cos 3 向量 12 32aee 与 12 3bee 的夹角为 则cos 答案 2 2 3 解析 因为 22111 942 3 29 9 1 2 3 18 929 1 18 333 aba b 所以 82 2 cos 33 2 2 考点定位 向量数量积及夹角 11 2014 辽宁高考文第 5 题 设 a b c 是非零向量 已知命题p 若0a b 0b c 则0a c 命题q 若 ab bc 则 ac 则下列命题中真命题是 a pq b pq c pq d pq 答案 a 解析 由题意可知 命题 p 是假命题 命题 q 是真命题 故pq 为真命题 考点定位 命题的真假 12 2014 全国 1 高考文第 15 题 已知cba 为圆o上的三点 若 19 acabao 2 1 则ab与ac的夹角为 答案 0 90 解析 由 1 2 aoab ac 故 o b c三点共线 且o是线段bc中点 故 bc是圆o的直径 从而 0 90bac 因此ab与ac的夹角为 0 90 考点定位 平面向量基本定文 13 2014 全国 2 高考文第 3 题 设向量a ba b满足 a ba b 10 a ba b 6 则a a b b a 1 b 2 c 3 d 5 答案 a 解析 因为 10 2 2 abab ru rrr 22 2aba b rrr r 2 2 abab ru rrr 两式相加得 所以 故选 a 22 26aba b rrr r 22 8ab rr 1a b r r 考点定位 本小题主要考查平面向量的模 平面向量的数量积等平面向量 14 2014 高考安徽卷文第 15 题 已知两个不相等的非零向量 ba两组向量 54321 xxxxx和 54321 yyyyy均由 2 个a和 3 个b排列而成 记 5544332211 yxyxyxyxyxs min s表示s所有可能取值中的最小值 则下 列命题的是 写出所有正确命题的编号 s有 5 个不同的值 若 b a 则 min s与a无关 若 b a 则 min s与b无关 若ab4 则0 min s 若 2 min 2 8 ba sa 则a与b的夹角为 4 20 2222 min3 4 8 cos4 8 ssa bbaaa 2cos1 3 故 错误 所以正确的编号为 考点定位 平面向量的运算 平面向量的数量积 15 2014 四川高考文第 7 题 平面向量 1 2 a 4 2 b cmab mr 且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角 则m a 2 b 1 c 1 d 2 答案 d 解析 由题意得 58820 2 52 5 c ac bc ac bmm m cacbab 选 d 法二 由于 oa ob 关于直线yx 对称 故点 c 必在直线yx 上 由此可得2m 考点定位 向量的夹角及向量的坐标运算 16 2014 浙江高考文第 8 题 记 max x xy x y y xy min y xy