高中数学 第一章 集合与函数概念 1.2 函数及其表示 1.2.2 函数的表示法 第2课时 分段函数学案 新人教A版必修1.doc

第2课时分段函数学习目标：1.了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象(重点，难点)2.能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题(重点、难点)3.通过本节内容的学习，使学生了解分段函数的含义，提高学生数学建模、数学运算的能力(重点)自 主 预 习探 新 知分段函数如果函数yf(x)，xa，根据自变量x在a中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数思考：分段函数对于自变量x的不同取值区间对应关系不同，那么分段函数是一个函数还是几个函数？分段函数的定义域和值域分别是什么？提示分段函数是一个函数，而不是几个，各段定义域的并集即为分段函数的定义域，各段值域的并集即为分段函数的值域基础自测1思考辨析(1)分段函数由几个函数构成()(2)函数f(x)是分段函数()(3)函数f(x)|x|可以用分段函数表示()答案(1)(2)(3)2f(x)|x1|的图象是()bf(x)|x1|当x1时，f(1)0，可排除a，c.又x1时，f(1)2，排除d.3函数f(x)则f(f(4)_. 【导学号：37102111】0f(4)431，f(1)110，f(f(4)f(1)0.4函数f(x)的值域是()arb0,23c0，) d0,3b当0x1时，02x2，即0f(x)2；当1x2时，f(x)2；当x2时，f(x)3.综上可知f(x)的值域为0,23合 作 探 究攻 重 难分段函数的求值问题已知函数f(x)(1)求f(5)，f()，f的值；(2)若f(a)3，求实数a的值. 【导学号：37102112】解(1)由5(，2，(2,2)，(，2，知f(5)514，f()()22()32.f1，而22，不合题意，舍去当2a2时，a22a3，即a22a30.(a1)(a3)0，解得a1或a3.1(2,2)，3(2,2)，a1符合题意当a2时，2a13，即a2符合题意综上可得，当f(a)3时，a1或a2.规律方法1分段函数求函数值的方法：(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止当出现f(f(x0)的形式时，应从内到外依次求值2已知函数值求字母取值的步骤：(1)先对字母的取值范围分类讨论(2)然后代入不同的解析式中(3)通过解方程求出字母的值(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内提醒：求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验跟踪训练1函数f(x)则f(7)_.8函数f(x)f(7)f(f(12)f(9)f(f(14)f(11)8.分段函数的解析式如图127所示，已知底角为45的等腰梯形abcd，底边bc长为7 cm，腰长为2 cm，当垂直于底边bc(垂足为f)的直线l从左至右移动(与梯形abcd有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令bfx，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象. 【导学号：37102113】图127思路探究：可按点e所在的位置分e在线段ab，e在线段ad及e在线段cd三类分别求解解过点a，d分别作agbc，dhbc，垂足分别是g，h.因为四边形abcd是等腰梯形，底角为45，ab2 cm，所以bgagdhhc2 cm，又bc7 cm，所以adgh3 cm.(1)当点f在bg上，即x0,2时，yx2；(2)当点f在gh上，即x(2,5时，y22x2；(3)当点f在hc上，即x(5,7时，ys五边形abfeds梯形abcdsrtcef(73)2(7x)2(x7)210.综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为y图象如图所示规律方法1当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画2通过本例让学生初步尝试用分段函数解决实际问题的意识，培养学生的建模素养跟踪训练2某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：(1)5公里以内(含5公里)，票价2元；(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象解设票价为y元，里程为x公里，定义域为(0,20由题意得函数的解析式如下：y函数图象如图所示：分段函数的图象及应用探究问题1函数f(x)|x2|能用分段函数的形式表示吗？能否作出其图象？提示：能f(x)函数f(x)的图象如图所示2结合探究点1，你能说一下画含有绝对值的函数图象的方法吗？提示：含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象已知函数f(x)1(2x2)(1)用分段函数的形式表示f(x)；(2)画出f(x)的图象；(3)写出函数f(x)的值域思路探究：(1)分2x0和0x2两种情况讨论，去掉绝对值可把f(x)写成分段函数的形式；(2)利用(1)的结论可画出图象；(3)由(2)中得到的图象，找到图象最高点和最低点的纵坐标，可得值域解(1)当0x2时，f(x)11，当2x0时，f(x)11x，f(x)(2)函数f(x)的图象如图所示(3)由(2)知，f(x)在(2,2上的值域为1,3)规律方法分段函数图象的画法作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏.母题探究：1.在本例条件不变的情况下，试讨论直线ya与函数yf(x)图象的交点个数解当a3或a1时，ya与yf(x)的图象无交点；当1a3时，ya与yf(x)的图象有且只有一个交点；当a1时，ya与yf(x)的图象有无数个交点2把本例条件改为“f(x)|x|2”，再求本例的3个问题解(1)f(x)|x|2(2)函数的图象如图所示(3)由图可知，f(x)的值域为2，)当 堂 达 标固 双 基1下列图形是函数yx|x|的图象的是() 【导学号：37102114】abcddf(x)x|x|图象d符合2已知f(x)则f(x)的定义域为()arb(，1c(，2) d(1，)cf(x)的定义域为(，1(1,2)(，2)3设函数f(x)则f(f(3)() 【导学号：