高考数学二轮复习 专题对点练23 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 理.doc

专题对点练23圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1.(2017北京,理18)已知抛物线c:y2=2px过点p(1,1).过点0,12作直线l与抛物线c交于不同的两点m,n,过点m作x轴的垂线分别与直线op,on交于点a,b,其中o为原点.(1)求抛物线c的方程,并求其焦点坐标和准线方程;(2)求证:a为线段bm的中点.(1)解 由抛物线c:y2=2px过点p(1,1),得p=12.所以抛物线c的方程为y2=x.抛物线c的焦点坐标为14,0,准线方程为x=-14.(2)证明 由题意,设直线l的方程为y=kx+12(k0),l与抛物线c的交点为m(x1,y1),n(x2,y2).由y=kx+12,y2=x得4k2x2+(4k-4)x+1=0.则x1+x2=1-kk2,x1x2=14k2.因为点p的坐标为(1,1),所以直线op的方程为y=x,点a的坐标为(x1,x1),直线on的方程为y=y2x2x,点b的坐标为x1,y2x1x2.因为y1+y2x1x2-2x1=y1x2+y2x1-2x1x2x2=kx1+12x2+kx2+12x1-2x1x2x2=(2k-2)x1x2+12(x2+x1)x2=(2k-2)14k2+1-k2k2x2=0,所以y1+y2x1x2=2x1.故a为线段bm的中点.2.(2017山西实验中学3月模拟,理20)已知o为坐标原点,椭圆c:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为f,e,上顶点为p,右顶点为q,以f1f2为直径的圆o过点p,直线pq与圆o相交得到的弦长为233.(1)求椭圆c的方程;(2)若直线l与椭圆c相交于m,n两点,l与x轴、y轴分别相交于a,b两点,满足:记mn的中点为e,且a,b两点到直线oe的距离相等;记omn,oab的面积分别为s1,s2,若s1=s2,则当s1取得最大值时,求的值.解 (1)因为以f1f2为直径的圆o过点p,所以b=c,则圆o的方程为x2+y2=b2,直线pq的方程为y=-bax+b=-22x+b,则2b2-|b|1+122=233,解得b=1,所以a=1+1=2,所以椭圆c的方程为x22+y2=1.(2)由题意,设直线的方程为y=kx+m(k,m0),m(x1,y1),n(x2,y2),则a-mk,0,b(0,m).由方程组y=kx+m,x22+y2=1得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,(*)=16k2-8m2+80,所以m22k2+1,由根与系数的关系得x1+x2=-4km1+2k2,x1x2=2m2-21+2k2,因为a,b两点到直线oe的距离相等,所以线段mn的中点与线段ab的中点重合,所以x1+x2=-4km1+2k2=0-mk,解得k=22.于是,s1=12|mn|d=12(x1-x2)2+(y1-y2)2|m|1+k2=121+k2|x1-x2|m|1+k2=12-4km1+2k22-42m2-21+2k2|m|=124m2-2m4=12-2(m2-1)2+2.由m22k2+1及k=22,可得m2b0)的离心率为32,f是椭圆e的右焦点,直线af的斜率为233,o为坐标原点.(1)求e的方程;(2)设过点a的动直线l与e相交于p,q两点,当opq的面积最大时,求l的方程.解 (1)设f(c,0),由条件知2c=233,得c=3.又ca=32,所以a=2,b2=a2-c2=1.故e的方程为x24+y2=1.(2)当lx轴时不合题意,故设l:y=kx-2,p(x1,y1),q(x2,y2).将y=kx-2代入x24+y2=1,得(1+4k2)x2-16kx+12=0.当=16(4k2-3)0,即k234时,x1,2=8k24k2-34k2+1.从而|pq|=k2+1|x1-x2|=4k2+14k2-34k2+1.又点o到直线pq的距离d=2k2+1,所以opq的面积sopq=12d|pq|=44k2-34k2+1.设4k2-3=t,则t0,sopq=4tt2+4=4t+4t.因为t+4t4,当且仅当t=2,即k=72时,等号成立,且满足0,所以,当opq的面积最大时,l的方程为y=72x-2或y=-72x-2.4.(2017宁夏中卫二模,理20)已知动圆m过定点e(2,0),且在y轴上截得的弦pq的长为4.(1)求动圆圆心m的轨迹c的方程;(2)设a,b是轨迹c上的两点,且oaob=-4,f(1,0),记s=sofa+soab,求s的最小值.解 (1)设m(x,y),pq的中点n,连接mn,则|pn|=2,mnpq,|mn|2+|pn|2=|pm|2.又|pm|=|em|,|mn|2+|pn|2=|em|2.x2+4=(x-2)2+y2,整理得y2=4x.(2)设ay124,y1,by224,y2,令y10,则sofa=12|of|y1=12y1.oaob=-4,y12y2216+y1y2=-4,解得y1y2=-8,直线ab的方程为y-y1y2-y1=x-y124y224-y124(y1-y2),即y-y1=4x-y124y1+y2,令y=0得x=2,即直线ab恒过定点e(2,0),当y1=-y2时,abx轴,a(2,22),b(2,-22).直线ab也经过点e(2,0),soab=12|oe|y1-y2|=y1-y2.由可得soab=y1+8y1,s=12y1+y1+8y1=32y1+8y1212=43.当且仅当32y1=8y1,即y1=433时,smin=43.导学号168042185.(2017山东潍坊一模,理20)已知椭圆c与双曲线y2-x2=1有共同焦点,且离心率为63.(1)求椭圆c的标准方程;(2)设a为椭圆c的下顶点,m,n为椭圆上异于a的不同两点,且直线am与an的斜率之积为-3.试问m,n所在直线是否过定点?若是,求出该定点;若不是,请说明理由;若p点为椭圆c上异于m,n的一点,且|mp|=|np|,求mnp的面积的最小值.解 (1)由题意,椭圆的焦点坐标为(0,2),ca=63,设椭圆方程为y2a2+x2b2=1(ab0),c=2,a=3,b=1,椭圆c的标准方程为y23+x2=1;(2)若mn的斜率不存在,设m(x1,y1),n(x1,-y1).则kamkan=y1+3x1-y1+3x1=3-y12x12=-3,而y123,故不成立,直线mn的斜率存在,设直线mn的方程为y=kx+m,联立y=kx+m,y23+x2=1得(k2+3)x2+2kmx+m2-3=0.x1+x2=-2kmk2+3,x1x2=m2-3k2+3,kam=y1+3x1,kan=y2+3x2.直线am与直线an斜率之积为-3,kamkan=y1+3x1y2+3x2=(kx1+m+3)(kx2+m+3)x1x2=k2x1x2+k(m+3)(x1+x2)+(m+3)2x1x2=k2m2-3k2+3+k(m+3)-2kmk2+3+(m+3)2m2-3k2+3=3(m+3)m-3=-3,整理得m=0.直线mn恒过(0,0).由知xm2=3k2+3,ym2=3k2k2+3,|mp|=|np|,opmn.当k0时,设op所在直线方程为y=-1kx,则xp2=3k23k2+1,yp2=33k2+1,当k=0时,也符合上式,smnp=|om|op|=xm2+ym2xp2+yp2=3(k2+1)k2+33(k2+1)3k2+1=3(k2+1)2(k2+3)(3k2+1),令k2+1=t(t1),k2=t-1,smnp=3t23t2+4t-4=31-4t2+4t+3.t1,00)的焦点为f,a为c上位于第一象限的任意一点,过点a的直线l交c于另一点b,交x轴的正半轴于点d.(1)若当点a的横坐标为3,且adf为等边三角形时,求c的方程;(2)对于(1)中求出的抛物线c,若点d(x0,0)x012,记点b关于x轴的对称点为e,ae交x轴于点p,且apbp,求证:点p的坐标为(-x0,0),并求点p到直线ab的距离d的取值范围.解 (1)由题知fp2,0,|fa|=3+p2,则d(3+p,0),fd的中点坐标为32+3p4,0,则32+3p4=3,解得p=2,故c的方程为y2=4x.(2)依题可设直线ab的方程为x=my+x0(m0),a(x1,y1),b(x2,y2),则e(x2,-y2),由y2=4x,x=my+x0消去x,得y2-4my-4x0=0.x012,=16m2+16x00,y1+y2=4m,y1y2=-4x0,设p的坐标为(xp,0),则pe=(x2-xp,-y2),pa=(x1-xp,y1),由题知pepa,所以(x2-xp)y1+y2(x1-xp)=0,即x2y1+y2x1=(y1+y2)xp=y22y1+y12y24=y1y2(y1+y2)4,显然y1+y2=4m0,所以xp=y1y24=-x0,即证xp(-x0,0).由题知epb为等腰直角三角形,所以kap=1,即y1+y2x1-x