毕业设计（论文）-浅谈凸函数以及一类内积表达函数的凸性.doc

安庆师范学院数学与计算科学学院2012届毕业论文 浅谈凸函数以及一类内积表达函数的凸性作者：周金艮 指导教师：许娟摘要 凸函数是一类重要的函数， 它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用，现已成为数学规划、对策论、数理经济学、变分学和最优控制等学科的理论基础和有力工具. 本文首先给出了凸函数的定义及其性质，研究了凸函数的等价定义及常用的一些判别方法，探讨了凸函数在证明不等式当中的应用. 另外，本文还重点研究了用内积表达的一类函数， 并分析了它们的凸性.关键词 凸函数 不等式 内积 凸性1 引言凸函数是一类非常重要的函数，广泛应用于数学规划，控制论等领域，函数凸性是数学分析中的一个重要概念，它在判定函数的极值、研究函数的图像以及证明不等式诸方面都有广泛的应用. 凸分析作为数学的一个比较年轻的分支，是在50年代以后随着数学规划，最优控制理论、数理经济学等应用数学学科的兴起而发展起来的.本世纪初建立了凸函数理论以来，凸函数这一重要概念已在许多数学分支中得到了广泛应用. 现行高等数学教材中，也都对函数的凸性作了介绍，由于各版本根据自己的需要，对凸函数这一概念作了不同形式的定义，本文就以凸函数几种定义的等价性给以证明，并给出简单的应用，应用凸函数的概念与性质来证明几个重要且常用的不等式和凸函数在证明一般不等式中的应用；另外，本文还研究用内积表达的某些函数，分析它们的凸性.2 凸函数的概念及其等价性定义初探2.1 基本概念大家都熟悉函数的图像，它的特点是：曲线上任意两点间的弧总在这两点连线的下方.我们可以下这样一个定义：设在上有定义，若曲线上任意两点间的弧总位于连接该两点的直线之下，则称函数是凸函数.上面的定义只是几何描述性的，为了便于凸函数的应用，用严格的式子分析定义凸函数是十分必要的.在不等式的证明中经常会应用到凸函数的两个等价定义： 设为实数轴上的开区间，函数定义1 ，都有不等式 (1)成立，则称为 内的凸函数.定义21 ,，都有不等式 (2)成立，则称为内的凸函数.2.2 主要结论不同定义下的凸函数是互不相同的2个概念，但它们之间有着内在的联系这2个定义都是通过解析性给凸函数下定义，定义1是由詹森1905年给出的，它的几何意义是函数曲线上任意2点间弦的中点始终位于2点间弧的中点之上定义2的几何意义是函数曲线上任意2点间的弦始终位于2点间弧的上方定义1只要求在内有意义，它未必是连续函数，甚至是不可测函数；定义2蕴含在内连续 换言之，若函数是定义1下的凸函数则它必定是定义2下的凸函数，但反之却不成立由此可见定义1要与定义2等价必须有一些条件限制结论13 当在内连续时，定义1与定义2等价.证明 定义2定义1，显然，令即可. 定义1定义2：及有理数用二进制表示为：=或于是 其中： . 从而 （3）重复使用（1）式得：利用（3）式得：为有理数的情况获证.若为无理数，则存在有理数使得由于在内连续， （4） 对于有理数，前面已经证明：对上式两边同时令取极限后代入（4）式得： 即（1）式对任意无理数也成立.这就证明了对任意，由定义1可以推出定义2.故当在内连续时，定义1与定义2等价.事实上，定义1与定义2等价的条件还可以进一步降低：结论2 设在区间 的任一闭子区间上有界，则定义1与定义2等价.证明 定义1定义2：假若（2）式不成立，则及 使 即不妨设因为若，则成立；若，令代入上式仍可保证，作辅助函数： 显然与在有界，且又有： 由此可知还满足式，于是可得： 令，显然，则 （5）这是若则可重复上述步骤得： 其中， (6) 若，则令代入式，由于仍可重复上述步骤得到式.因此存在使得： 由于可以无限增大，这就与有界矛盾，故式成立.定义2定义1：令即可.事实上，由于在定义2下的函数在区间内是连续的，因此在闭子区间也是连续的，因而是有界的.3 凸函数的性质及其判定定理定理15 设在区间上有定义,则以下条件等价（其中各不等式要求对任意, 保持成立）：（）在上为凸函数 （1） （） （2）() （3）() （4）推论11 若在区间上为凸函数，则上任意三点，有.推论2 若在区间上的凸函数，则过的弦的斜率是的增函数（若为严格凸的,则严格增）.推论3 若是区间上的凸函数，则上任意四点有.推论4 若是区间上的凸函数，则对上的任一内点,单侧导数皆存在，皆为增函数，且 这里表示的全体内点组成之集合.（若为严格凸的，则与为严格递增的）.证明 因为内点,故使得,从而（利用推论2）,.再由推论2所述,当递增时,也递增.故由单调有界原理知,如下极限存在且(x)= .同理,在此式中，令时,可知存在,且.最后由推论3中的不等式重新取相应的极限,可知与皆为增函数.推论5 若在区间上为凸的，则在任一内点上连续.事实上由推论4知与存在，所以在处左右都连续.定理2 设函数在区间上有定义，则为凸函数的充要条件是：，使得,有 .证明（必要性）因为凸函数，由上面的推论4知， 存在且. 由此任取一则时有.因,所以对任取一:恒有. (充分性)设是区间上的任意三点，由已知条件,由此令和，可以得到,由定理1可知为凸的. 定理3 设在区间上有导数，则在上为凸函数的充要条件是递增.证明（充分性）,不妨设及记，则，或 (1)由于 (1)式等价于 (2) 应用定理，使得，但,.故（2）式左端=按已知条件递增，得知,从而上式0,(2)式获证.（必要性）由定理1的推论4,在内为递增的，因存在，故亦在内为递增的，若有右端点,按照已知条件在点有左导数，易知: 同理，若有左端点,则即在上为递增的.推论 若在区间上有二阶导数，则在上为凸函数的充要条件是：定理4 2（不等式）若为上的凸函数，则 , ，有.证明 应用数学归纳法.当时，由定义1命题显然成立.设时命题成立,即对任何 与都有现设及（i=1,2,k+1）,.令i=1,2,k,则.由数学归纳法假设可推得 = =即对任何正整数,上述不等式成立.推论 设在区间上是凸函数,则对于任意的和都有. 4 凸函数在证明不等式中的应用在初等数学中，调和平均值不大于几何平均值，几何平均值不大于算术平均值，算术平均值不大于平方平均值，而证明用到数学归纳法.其实，这些不等式可在凸函数框架下统一证明.例1 设 ，证明： 证明 设 ，有，从而，函数在是严格凸函数， 取 有 或 即 取 同样方法，有 于是， ， 有 例2 证明 有 上式称为算术平均不大于 次平均，特别的，当 ，得到算术平均值不大于平方平均值. 证明 考察函数 由于有 所以为凸函数，从而 有 在上式中，令 即得 例3 若 且，求证：不等式 证明 从所求证的不等式的形式来看，不容易直接找到合适的凸函数，因此，我们要对它进行一定的变形.不妨不等式两边同取自然对数，则有 由此很容易找到合适的凸函数.考察函数，因为，由定理1知，在时为凸函数，因为有， 所以 于是 即 特别地，当 时，此不等式就是前面例1的结果，即平均值不等式.不等式在泛函分析，偏微分方程中应用很广.凸函数在一些几何和三角函数不等式证明中的精巧妙用如下.例4 设 ，证明： 证明 取它是 上的凸函数，由不等式，得所以 特别的：（1）如果在这个不等式中，令 则得 ； （2）对于三角形的三个内角，有例5 设，证明：证明 先将原不等式化为 因为 为上的凸函数，故当时，有 令则 而 所以 这道题目很难用初等知识证明，但通过构造凸函数 巧妙地令，便可很方便的证得.对于数学分析，泛函分析中的一些重要不等式，利用凸函数也可以建立统一框架，简捷方便地进行证明.例6 设在上可积，是上的凸函数，则 证明 由不等式，有 令 则有 由于可积，为凸函数，故 可积.上式中令取极限，即得到 特别的，若 在 上连续，且取 则有 前例结合凸函数的定义，可得不等式：设是区间上的凸函数，则 5 一类用内积表达的函数凸性的研究75.1内积表达函数的概念 定义1 设为阶实矩阵，、均属于维欧氏空间向量，那么由（为常数），则是构成关于向量的一类内积函数. 定义2 设、均为阶实矩阵，、均属于维欧氏空间向量，那么由，则是构成关于向量的内积函数.5.2内积表达函数的凸性引理1 设为一个线性空间，是中的一个凸子集，函数,对任给的令则，在上凸的充分必要条件为在上是一个凸函数.证明 必要性，任给，则：即由的凸性在上的凸性，必要性证得.充分性：任给，则即由在上的凸性的凸性.引理结论成立.引理2 设有欧氏空间是一个阶实矩阵，到的一个函数定义为对任给的，则在上凸的充分必要条件为是一个半正定阵. 证明 由引理1，若令如下的一元函数 则，是凸的充分必要条件为在上凸，但根据2,是凸函数的充分必要条件为为此，计算 令 则得 .于是 由该式得出结论：的充分必要条件为,而由2知，对任何 的充分必要条件为是一个半正定矩阵.综合上述：是凸的充分必要条件为是凸.而凸的充要条件是是半正定阵.所以，在上凸的充分必要条件为是一个半正定矩阵.推论1 设为一个实的半正定矩阵，上的函数则为上的凸函数. 证明 的凸性已由引理2给出，仅证的凸性.为此，任给，则 故在上凸，而两个函数之和为凸函数2.所以为上的凸函数.推论1成立.在统计学中，常常需要考虑如下一个用内积表达的函数：均为阶实矩阵.定理1 设是一个欧氏空间，上的一个用内积表达的函数：是阶实矩阵，则在上凸的充分条件是任意，是半正定的.证明 记.则，由推论1，若能证得在上凸，那么结论成立，但这是肯定的.事实上，由题设，是半正定阵，则一定存在正交阵,使得所以于是 综合上述， 为上的一个凸函数. 定理2 设是一个欧氏空间，上的一个函数 在上严凸的充分必要条件为可逆，正定矩阵.证明 由引理2知，严凸的充分必要条件是，由2知，是正定矩阵.令是正定矩阵，则：故所以即可逆 而所以与合同.所以正定.定理结论成立.结束语本文对凸函数这一概念作了不同形式的定义，以凸函数几种定义的等价性给以证明，并给出凸函数的几个简单性质和判定定理，并给出有关凸函数的简单应用；应用凸函数的概念与性质来证明几个重要且常用的不等式及凸函数在证明一般不等式中的应用，特别是在不等式的证明中，运用它解题显得巧妙、简练，利用凸函数的定义、性质及判定定理证明不等式，关键是寻找合适的凸函数，若不能直接找出，则可以对不等式进行适当的变形，从而达到证明不等式的目的；此外，本文还研究用内积表达的某些函数，分析它们的凸性.参考文献1 华东师范大学数学系，数学分析M，高等教育出版社,2002.2 菲赫金哥尔茨，微积分学教程(第八版)M，高等教育出版社，2006.3 谢艳，凸函数的两种定义及其等价性初探J，云南民族大学学报（自然科学版）,16：4（2007），364-366.4 杨新民，凸函数的一个新特征性质J，重庆师范学院学报（自然科学版）,17:4（2000），9-11. 5 刘国华，关于凸函数的八个等价定义J，河北建筑科技学院学报，20:3（2003），82-83.6 S.K.Mishra, K.K.Lai. Role of a-pseudo-univex functions in vector variational-like inequality problems. Journal of Systems Science& Complexity, 2007.7 程如捷，一类内积表达的函数凸性J，哈尔滨师范大学自然科学学报,7:2（1991），26-29.On the convex function, as well as the inner product in a class of convex function and expressionAuthor: Zhou Jingen Supervisor: Xu JuanAbstract Convex function is a kind of important function. It has many applications in pure Mathematics and applied Mathematics. Convex function now plays important role in mathematical planning theory, response theory, numerical economics, change hours theory and sub-optimal control and so on.This paper deals with some questions of convex function. First of all, we give a definition of convex and its calculation characters. Then some equal definitions are given and proved. After t